八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第二章實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+練習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)其次章：實(shí)數(shù)【無理數(shù) 】1. 定義： 無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；注：它必需滿意“無限”以及“不循環(huán)”這兩個(gè)條件；2. 常見無理數(shù)的幾種類型：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如： 2-，3等；（ 2）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)（看似循環(huán)而實(shí)就不循環(huán)）：如： 2.010 010 001 000 01（兩個(gè) 1 之間依次多 1 個(gè) 0）等；（3）無理數(shù)與有理數(shù)的和差結(jié)果都是無理數(shù)；如：2-是無理數(shù)（4）無理數(shù)乘或除以一個(gè)不為 0 的有理數(shù)結(jié)果是無理數(shù)；如2,（5）開方開不盡的數(shù)， 如:2 ,5 , 3 9等；應(yīng)當(dāng)要留意的是： 帶根號(hào)的數(shù)不肯定是無理數(shù)，如：9 等；無理數(shù)也不

2、肯定帶根號(hào)，如：）3. 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)分：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）全部的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1 的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)就不能寫成分?jǐn)?shù)形式；例 ：（ 1 ） 下 列各 數(shù)： 3.141 、 0.33333、57 、 、 2.25 、 2 、30.3030003000003（相鄰兩個(gè) 3 之間 0 的個(gè)數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有；（填序號(hào)）（2）有五個(gè)數(shù) :0.125125,0.1010010001,-,4 , 3 2 其中無理數(shù)有 個(gè)【算術(shù)平方根】：1. 定義： 假如一個(gè)正數(shù) x 的平方等于 a，即

3、 x2a ，那么，這個(gè)正數(shù)x 就叫做 a 的算術(shù)平方根，記為：“a ”，讀作，“根號(hào) a”，其中， a 稱為被開方數(shù)；例如32=9，那么 9 的算術(shù)平方根是3，即93；特殊規(guī)地， 0 的算術(shù)平方根是0，即00 ，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根2. 算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：（1）如a有意義，就被開方數(shù)a 是非負(fù)數(shù)；（2）算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)；3. 算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了 平方根；因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：a ；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：a ；例：（1）以下說法正確選項(xiàng)（）學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)a 1 的立方

4、根是1；b42 ；（c）、81 的平方根是3 ；（ d）、0 沒有平方根；（ 2）以下各式正確選項(xiàng)（）a、819b、3.143.14c 、2793d、532（ 3）3 2的算術(shù)平方根是；（ 4）如xx 有意義，就x1 ；（ 5）已知 abc的三邊分別是a, b,c, 且 a, b 滿意a3b4 20 ，求 c 的取值范疇；（6）（提高題）假如x、y 分別是 43 的整數(shù)部分和小數(shù)部分；求x y 的值.平方根：1. 定義： 假如一個(gè)數(shù) x 的平方等于 a，即 x2a ，那么這個(gè)數(shù) x 就叫做 a 的平方根；，我們稱 x是 a 的平方（也叫二次方根） ，記做： xa a02. 性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)

5、有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；（2）0 只有一個(gè)平方根，它是0 本身；（ 3）負(fù)數(shù)沒有平方根例（ 1）如x 的平方根是± 2，就 x=； 16 的平方根是（ 2）當(dāng) x時(shí)，32 x有意義；22（ 3）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和 m-4，就 m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？3.a a0與a 的性質(zhì)（ 1）（a 2aa0如： 7）27 （2）a2| a |中， a 可以取任意實(shí)數(shù)；如52| 5|5（ - 3）2| -3 |3例： 1. 求以下各式的值2（ 1）7（2）（ - 7（3）（ -49）222. 已 知 （a21a）1 ， 那 么a的 取 值 范 圍 是； 3. 已 知2 x 3

6、, 化 簡2（2 - x| x3 |；【立方根】1. 定義： 一般地，假如以個(gè)數(shù)x 的立方等于 a，即 x3 =a, 那么這個(gè)數(shù) x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）記為3 a ，讀作， 3 次根號(hào) a；如 23=8，就 2 是 8 的立方根， 0 的立方根是 0；2. 性質(zhì)： 正數(shù)的立方根的正數(shù)； 0 的立方根是 0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；立方根是它本身的數(shù)有0,1 ，-1.學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)3例 ：（ 1 ） 64的 立 方 根 是（ 2 ） 如a2.89, 3 ab28.9， 就b等于（ 3）以下說法中：3 都是 27 的立方根， 3 y 3y ，64 的立方根是 2， 38 24

7、；其中正確的有（）a、1 個(gè)b、2 個(gè)c、3 個(gè)d、4 個(gè)比較兩個(gè)數(shù)的大小：方法一：估算法；如310 4方法二：作差法；如a b 就 a-b 0.方法三：乘方法 . 如比較 26與33 的大??；例：比較以下兩數(shù)的大?。?1）【實(shí)數(shù)】10 - 3 與 122（2） 52與35定義：（ 1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)；在實(shí)數(shù)中，沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)；肯定值最小的實(shí)數(shù)是 0，最大的負(fù)整數(shù)是 -1 ；（ 2）實(shí)數(shù)也可以分為正實(shí)數(shù)、0 負(fù)實(shí)數(shù)；實(shí)數(shù)的性質(zhì)： 實(shí)數(shù) a 的相反數(shù)是 -a ；實(shí)數(shù) a 的倒數(shù)是1 （ a 0）；實(shí)數(shù) a 的肯定值 |a|=aa a0，aa0它的幾何意義是：在數(shù)軸上的

8、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；實(shí)數(shù)的大小比較法就：實(shí)數(shù)的大小比較的法就跟有理數(shù)的大小比較法就相同：即正數(shù)大于0， 0 大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，肯定值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，肯定值大的反而??；（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)） ；對于一些帶根號(hào)的無理數(shù)， 我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小；實(shí)數(shù)的運(yùn)算： 在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算；運(yùn)算法就和運(yùn)算次序與有理數(shù)的一實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系： 每個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的（ 1）每個(gè)實(shí)數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；（ 2）數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示已個(gè)實(shí)數(shù)；例：（1）以下說法正確選項(xiàng)（）；a、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示；b、

9、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對應(yīng)；c、1 和 2 之間的無理數(shù)只有2；d、不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；（2）a，b 在數(shù)軸上的位置如下列圖，就以下各式有意義的是a0b學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)a、abb、abc、abd、ba（3）比較大小 填“ >”或“ <”.310 ，33 20 ，（4）數(shù)7,2,3的大小關(guān)系是 76 67 ，511 ，22a.732b.372c.273d.327（5）將下列各數(shù)：2,38 ,3 ,15，用“”連接起來； ；_（6）如 a3,b2 ，且ab0 ，就： ab =；【二次根式】定義： 形如（a a0）的式子叫做二次根式，a 叫做被開方數(shù)留意：（ 1）從形式上看二次根式

10、必需有二次根號(hào)“”，如9 是二次根式，而9 =3,3明顯就不是二次根式；（2）被開方數(shù) a 可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式；如a 是數(shù)，就這個(gè)數(shù)必需是非負(fù)數(shù)；如a 是代數(shù)式，就這個(gè)代數(shù)式的取值必需是非負(fù)數(shù)，否就沒有意義；例： 以下根式是否為二次根式（1）- 3（ 2）- 3（ 3）- a（4）23二次根式的性質(zhì)：性質(zhì) 1：aba .b a0,b0積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)也可以對二次根式進(jìn)行化簡；性質(zhì) 2： aba . a b0, b0商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根；最簡二次根式： 被開方數(shù)中不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次

11、根式，叫做最簡二次根式；例： 1. 化簡：（1）1215（2）27a4 b2 b0（3）49 x2. 運(yùn)算：學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)10.52483 11273 0.12523 1311683. 已知：x7 2121, y1 30.064 ，求代數(shù)式x2x10 y3 245y 的值；6. （提高題）觀看以下等式：回答疑題：11121112 2111 1112112211132211 1216113 21114 2311 1 ，3112（1）依據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請猜想111的結(jié)果；4252（2）請依據(jù)上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n 表示的等式，并加以驗(yàn)證；課后練習(xí)一、重點(diǎn)考查題型：1. 1 的相反數(shù)的

12、倒數(shù)是2. 已知 a+3|+b+1 0，就實(shí)數(shù)（ a+b）的相反數(shù)3. 數(shù) 314 與 的大小關(guān)系是4. 和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對應(yīng)關(guān)系的是5. 和數(shù)軸上表示數(shù) 3 的點(diǎn) a 距離等于 25 的 b 所表示的數(shù)是26. 在實(shí)數(shù)中 , 5 ,0,3 , 314,4 無理數(shù)有個(gè)7一個(gè)數(shù)的肯定值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（ a）非負(fù)數(shù)（ b）非正數(shù)（c）負(fù)數(shù)（ d）正數(shù)8如 x 3，就 x 3 =；9以下說法正確是（）（a） 有理數(shù)都是實(shí)數(shù)（b）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)（b） 帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)（ d）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)10實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較以下每組數(shù)的大?。海?） c-b和 d

13、-a（2） bc和 ad二、考點(diǎn)訓(xùn)練：學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)*1 判定題：（ 1）假如 a 為實(shí)數(shù)，那么 a 肯定是負(fù)數(shù)；（）（2）對于任何實(shí)數(shù)a 與 b,|a b|=|b a| 恒成立；（）（3）兩個(gè)無理數(shù)之和肯定是無理數(shù)； （）（4）兩個(gè)無理數(shù)之積不肯定是無理數(shù)； （）（5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)； （）（6）最小的負(fù)數(shù)是 1；（）（7）a 的相反數(shù)的肯定值是它本身； （）（8）如|a|=2,|b|=3且 ab>0，就 ab=1；（）2把以下各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里22310 2 | 3| ，21 3， 1 234，ctg45 ° ,1.2121121112 中7 ,0，9 , 8

14、,2 ,8 , 2 3 ， 3，無理數(shù)集合負(fù)分?jǐn)?shù)集合整數(shù)集合非負(fù)數(shù)集合*3 已知 1<x<2，就|x 3|+1-x2 =；4以下各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)？ 3,2 1， 3 ， 0 3， 31 1， 1 +2 ， 3 3互為相反數(shù)：互為倒數(shù)：互為負(fù)倒數(shù)：*5 已知、是實(shí)數(shù)，且（x2 ） 2 和 2互為相反數(shù)，求， y 的值6. ,b 互為相反數(shù)， c,d 互為倒數(shù)， m的肯定值是 2，|a+b|求 2m2+1 +4m-3cd=；22*7 已知（ 3）40，求 =；a+2三、解題指導(dǎo)：1以下語句正確選項(xiàng)（）a、無盡小數(shù)都是無理數(shù)b、無理數(shù)都是無盡小數(shù)學(xué)習(xí)必

15、備精品學(xué)問點(diǎn)c、帶拫號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)d、不帶拫號(hào)的數(shù)肯定不是無理數(shù)；2和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù)是（）a、整數(shù)b 、有理數(shù)c 、無理數(shù)d、實(shí)數(shù) 2零是（）a、最小的有理數(shù)b、肯定值最小的實(shí)數(shù)c、最小的自然數(shù)d、最小的整數(shù)4. 假如 a 是實(shí)數(shù)，以下四種說法：2（1） 和都是正數(shù)， （ 2），那么肯定是負(fù)數(shù)，（3）的倒數(shù)是1a ，（4）和的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，幾個(gè)是正確的有個(gè)*5 比較以下各組數(shù)的大?。?11123122a<b<0時(shí),ab6如 a,b 滿意|4-a 2 |+a+ba+2=0, 就2a+3ba的值是*7 實(shí)數(shù) a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖，其中o是原點(diǎn)，且 |a|=|

16、c|（1） 判定 a+b,a+c,c-b的符號(hào)（2） 化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8 數(shù)軸上點(diǎn) a 表示數(shù) 1，如 ab 3，就點(diǎn) b 所表示的數(shù)為9已知 x<0,y>0 ，且 y<|x|，用"<" 連結(jié) x， x， |y|，y；10最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、肯定值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11肯定值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12把以下語句譯成式子：（ 1） a 是負(fù)數(shù)；（2） a、b 兩數(shù)異號(hào)；（3）a、b 互為相反數(shù)；（ 4） a、b 互為倒數(shù)；5x與 y 的平方和是非負(fù)數(shù)；（ 6

17、） c、d 兩數(shù)中至少有一個(gè)為零；（7） a、b 兩數(shù)均不為 0；*13. 數(shù)軸上作出表示2 ，3 ，5 的點(diǎn)；四獨(dú)立訓(xùn)練：學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)10 的相反數(shù)是，3 的相反數(shù)是3 8的相反數(shù)是； 的肯定值是，0的肯定值是，2 3 的倒數(shù)是2數(shù)軸上表示 32 的點(diǎn)它離開原點(diǎn)的距離是；11a 表示的數(shù)是2 ，且 ab3 ，就點(diǎn) b 表示的數(shù)是；32233 , ,1 2 o, ,0 1313,2cos60 o,3 1 ,1 1010010007 兩 1之間依次多一個(gè)0, 其中無理數(shù)有，整數(shù)有，負(fù)數(shù)有；4.如 a 的相反數(shù)是 27，就 a| ； 5如|a| 2 ，就 a=5如實(shí)數(shù) x，y 滿意等式（ x 3） 2 4 y 0，就 x y 的值是6實(shí)數(shù)可分為（） a 、正數(shù)和零b、有理數(shù)和無理數(shù)c、負(fù)數(shù)和零d 、正數(shù)和