實(shí)變函數(shù)論課件1

1、 曹 廣 福 目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本運(yùn)算；熟悉一些常用集合的符號(hào)；準(zhǔn)確理解集合序列的上、下限集。重點(diǎn)與難點(diǎn)：集合序列的上、下限集?；緝?nèi)容：一背景1Cantor的樸素集合論2悖論3基于公理化的集合論二集合的定義具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象的全體1集合的幾種表示法我們?cè)谥T如數(shù)學(xué)分析等前期課程中已接觸過(guò)集合這個(gè)概念，所謂集合，指的是具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象的全體，通常用大寫(xiě)英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每個(gè)對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素。一般說(shuō)來(lái)，我們總用小寫(xiě)字母a,b,x,y表示集合中的元素。 對(duì)于集合A，某一對(duì)象x如果是A的元素，則稱(chēng)x屬于A，記作 ；如果x不是A的元素，則稱(chēng)x不屬于A，

2、記正如定義所說(shuō)，集合是由具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象全體組成的，因此，在表示一個(gè)集合時(shí)，常把這一性質(zhì)寫(xiě)出來(lái)，例如，A是由具有性質(zhì)P的元素全體組成時(shí)，通常記為： ，其中P可以是一段文字，也可以是某個(gè)數(shù)學(xué)式子。 |PxxA具有性質(zhì)xAxAxA或2幾個(gè)特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有時(shí)也用特殊記號(hào)表示某些特殊的集合。比如，在大多數(shù)場(chǎng)合下，R始終表示實(shí)數(shù)全體（或直線）C始終表示復(fù)數(shù)全體（或復(fù)平面），N、Z、Q分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)全體，以后如無(wú)特別聲明，我們也都不加解釋地使用這些符號(hào)。此外，直線上的區(qū)間也采用諸如a,b，（a,b）等記號(hào)，如果一個(gè)集合僅由有限個(gè)元素組成，則最方便的辦法是將其一

3、一列出，例如，1到10的自然數(shù)全體可記作1,2,3,10，不含任何元素的集合稱(chēng)為空集，記作 。三集合的運(yùn)算1.集合的子集 假設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果A中的元素都是B中的元素，則稱(chēng)A是B的子集，記作 前者讀作“A包含于B中”，后者讀著“B包含A”。顯然，空集 是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要證明A是B的子集，最常用的辦法是，任取 。 如果A是B的子集，且存在 ，則稱(chēng)A是B的真子集，記作 。 如果A是B的子集，B又是A的子集，則稱(chēng)A與B相等，記作A=B。 BxAx然后設(shè)法證明,AbBb使,BABAAB或2交運(yùn)算 所有既屬于A，又屬于B的元素組成的集合稱(chēng)為A與B的交集（或通集），記作

4、 ，若 ，則稱(chēng)A與B互不相交，顯然 B當(dāng)且僅當(dāng) 且 。 對(duì)于一簇集合 ，可類(lèi)似定義其交集， 即 BABAAxAxBxAA,|AxAxAA有對(duì)每一3.并運(yùn)算 假設(shè)A，B是兩個(gè)集合，所謂A與B的并集（或和集），指的是由A與B中所有元素構(gòu)成的集合，記作 ，換句話說(shuō) ， 對(duì)于一簇集合 ，可類(lèi)似定義其并集，即 BA.BxAxBAx或當(dāng)且僅當(dāng)AA,AxAAA使存在注：在本書(shū)中我們未把0包含在N內(nèi),+不在中不在中,11:11NnxxAnnn設(shè)0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf ( a

5、-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa4差（余）運(yùn)算 由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為A減B的差集，記作A-B（AB），也就是說(shuō)， ，但 ，應(yīng)該注意的是，此處并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，則稱(chēng)A-B為B關(guān)于A的余集，記作CAB。 AxBAx當(dāng)且僅當(dāng)Bx 應(yīng)該注意的是，此處并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，則稱(chēng)A-B為B關(guān)于A的余集，記作CAB。需要指

6、出的是，我們講某個(gè)集合的余集時(shí)，要弄清相對(duì)于哪個(gè)集合的余集，特別是涉及到多個(gè)集合時(shí)，尤其應(yīng)注意。有時(shí)，我們總是限定在某個(gè)固定集合A內(nèi)討論一些子集，在這種情況下，可以省略A，而將CAB記作CB（或BC）。 集合 稱(chēng)為A與B的對(duì)稱(chēng)差，記作 。 )()(ABBABA四.集合的運(yùn)算問(wèn)題問(wèn)題1 1：回憶數(shù)的四則運(yùn)算，由此猜測(cè)：回憶數(shù)的四則運(yùn)算，由此猜測(cè)集合的運(yùn)算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。集合的運(yùn)算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。定理1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） AAAAAA,AAAAA,ABBAABBA;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBA)()()(CBCACBA（7）

7、（8）（9）（10）（11）（12） 。 )()(BACBAC)()(BABABA)()()(CABACBA)()()(CABACBABCACCAB則若,ABABABAB,則若 上述基本性質(zhì)都是常用的，其中（9），（10）兩式通常稱(chēng)為德摩根（De Morgan ）法則，它們的證明也是容易的?，F(xiàn)在以（10）式為例進(jìn)行證明。 )()( ) 10()()( ) 9 (aAaaAaaAaaAaASASASAS五集合序列的上、下限集,:nAxNnNx使是一個(gè)集合序列設(shè),21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或?qū)儆跓o(wú)限多個(gè)集合存在無(wú)限多個(gè) ，使1NNnnANB例：設(shè)A

8、2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限個(gè)集外，有當(dāng) 充分大時(shí)，有1NNnnA例：設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2,下極限集為111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或?qū)儆跓o(wú)限多個(gè)集合,:nAxNnNx有NBnAnAnAAAAnnnnlimlimAAnnlim;),(1為單調(diào)減少則稱(chēng)滿足若集列nnnnANnAAA;),(1為單調(diào)增加則稱(chēng)滿足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 單調(diào)減少，則若;

9、,) 11limnnnnnAAA則單調(diào)增加若1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)增加集列時(shí)11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)減小集列時(shí)111nnNNnnnnNnnAAAA則設(shè),),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlim

10、nnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n),(limnnA 1 , 1(limnnA則設(shè),1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA0,4)limnnA 1 , 0(limnnA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:A

11、xxA使111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，則設(shè)knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用極限的保號(hào)性知，使得從而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取極限，則兩邊關(guān)于有則，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使一域與-域有理數(shù)全體（或?qū)崝?shù)全體）相對(duì)于四則運(yùn)算是

12、封閉的，人們通常稱(chēng)它們?yōu)橛欣頂?shù)域（或?qū)崝?shù)域），整數(shù)集則不然。前面已經(jīng)定義了集合的“并”、“交”、“差”運(yùn)算，那么什么樣的集簇相對(duì)于集合的運(yùn)算是封閉的呢？ 這就是下面要引進(jìn)的定義。 定義2 假設(shè)S是一個(gè)給定的集合，F(xiàn)是以S的一些子集為元素的一個(gè)集合，稱(chēng)為S的子集簇，如果它滿足 （1） ；（2）當(dāng) 時(shí)， ；（3）當(dāng) 。 則說(shuō)F是S的一些子集構(gòu)成的一個(gè)域(或代數(shù))。 如果還有 是F中一列元素時(shí),有 則稱(chēng)F為S的一些子集構(gòu)成的一個(gè) 域(或 代數(shù))。 FFAFACsFBAFBA,時(shí),)3(21nAAA當(dāng)FAnn1 不難發(fā)現(xiàn)，如果（1）、（2）、（3）成立，則必有 ，且對(duì)任意 。如果(3)成立，則對(duì)任意

13、有 。 域的最簡(jiǎn)單例子是S的一切子集構(gòu)成的簇，這是S的子集簇中最大者；另一個(gè)例子是由空集和S本身構(gòu)成的簇，這是S的子集所構(gòu)成的域中最小者。 FS FBAFBA,21FAAAnFAnn1 問(wèn)題問(wèn)題5 5：對(duì)于一個(gè)給定集合的：對(duì)于一個(gè)給定集合的子集簇F，它關(guān)于集合的運(yùn)算可能不是封閉，它關(guān)于集合的運(yùn)算可能不是封閉的。的。 1. 1. 如何構(gòu)造一個(gè)如何構(gòu)造一個(gè)-域包含域包含F(xiàn)?F? 2. 2. 這樣的這樣的-域有多少？域有多少？ 3. 3. 存不存在滿足上述條件的最小的存不存在滿足上述條件的最小的-域？域？ 4. 4. 如何構(gòu)造？如何構(gòu)造？ 我們所要的 域G(F)必須滿足這樣兩個(gè)條件（i）（ii）任何包含F(xiàn)的 域都包含G(F)，換句話說(shuō)，G(F)是包含F(xiàn)的 域中最小者。 滿足（i）的 域不難找，S