函數(shù)的單調(diào)性-知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)1. 單調(diào)函數(shù)的定義2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如函數(shù) fx在區(qū)間 d 上是增函數(shù)或減函數(shù) ，就稱函數(shù) fx 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性， 區(qū)間 d 叫做 fx的單調(diào)區(qū)間 .留意：關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)留意哪些問題？ 1定義中 x1， x2 具有任意性 ，不能是規(guī)定的特定值 2函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間必需是定義域的子集； 3定義的兩種變式 ：設(shè)任意 x1，x2 a，b且 x1<x2，那么名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn) f x1 f x2 0 . fx在a，b上是增函數(shù)；x1x2f x1 f x2 0 . fx在a，b上是減函數(shù)x1x2 x1 x2fx1fx2>0 . fx在a，b

2、上是增函數(shù)；x1 x2fx1fx2<0 . fx在a，b上是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間的表示留意哪些問題？單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“ ”聯(lián)結(jié)，也不能用 “或”聯(lián)結(jié)學(xué)問點(diǎn)二單調(diào)性的 證明 方法： 定義法及導(dǎo)數(shù)法(1) 定義法 :利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：任取 x1、x2 d，且 x1<x2；作差 fx1fx2，并適當(dāng)變形 “分解因式 ”、配方成同號(hào)項(xiàng)的和等；依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性(2) 導(dǎo)數(shù)法 :設(shè)函數(shù) y fx在某區(qū)間 d 內(nèi)可導(dǎo)假如 fx>0，就fx在區(qū)間 d 內(nèi)為增函數(shù)；假如f x<0，就 fx在區(qū)間

3、 d內(nèi)為減函數(shù) 留意： 補(bǔ)充（ 1）如使得 f x=0 的 x 的值只有有限個(gè)，名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)就假如 f x0 ，就 fx在區(qū)間 d 內(nèi)為增函數(shù)；假如 f x0 ，就 fx在區(qū)間 d 內(nèi)為減函數(shù)（ 2）單調(diào)性的 判定方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 同增異減 、用已知函數(shù)的單調(diào)性等補(bǔ)充單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1如 fx，gx均為增減函數(shù)， 就 fx gx仍為增 減函數(shù)2如 fx為增減函數(shù)，就 fx為減 增函數(shù)，假如同時(shí)有fx>0，就1為減增函數(shù)，fx為增 減函數(shù)fx3互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性4yfgx是定義在 m 上的函數(shù)， 如 fx與 gx的單調(diào)性相同，就其復(fù)合函數(shù)

4、 fgx為增函數(shù)；如 fx、gx的單調(diào)性相反，就其復(fù)合函數(shù) fgx為減函數(shù) 簡(jiǎn)稱”同增異減 ”5. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同； 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反二、例題分析：（一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)判定以下說(shuō)法是否正確1函數(shù) fx2x1 在 ， 上是增函數(shù) 1x2函數(shù) fx 在其定義域上是減函數(shù)3已知 fxx，gx 2x，就 y fx gx在定義域上是增函數(shù) 答案： × 例 1.2021 ·北京卷 以下函數(shù)中，在區(qū)間 0， 上為增函數(shù)的是xayx1b y x120.5cy2dy logx1答案： a.例 2.判定函數(shù) fx

5、 ax 在1， 上的單調(diào)性，并證明x1法一：定義法設(shè) 1<x1<x2，名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)就 fx1fx2 ax1 ax2x1 1x21ax1x2 ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1<x1<x2，x1 x2<0， x11>0，x2 1>0.當(dāng) a>0 時(shí)， fx1 fx2<0， 即 fx1<fx2，函數(shù) yfx在1， 上單調(diào)遞增同理當(dāng) a<0 時(shí)， fx1fx2>0，即 fx1>fx2，函數(shù) yfx在1， 上單調(diào)遞減法二：導(dǎo)數(shù)法1.判定函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；2.用定義法判定 或證明 函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：

6、取值 作差變形 判號(hào) 定論，其中變形為關(guān)鍵， 而變形的方法有因式分解、 配方法等；3.用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)潔快捷，應(yīng)引起足夠的重視（二）求復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間例 1求函數(shù) y x |1x|的單調(diào)增區(qū)間名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)yx|1x|1，x1，2x 1， x<1.作出該函數(shù)的圖象如下列圖由圖象可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是， 1例 2.求函數(shù) y log13x24x 3的單調(diào)區(qū)間解析:令 ux2 4x3，原函數(shù)可以看作ylog13u 與 u x2 4x 3 的復(fù)合函數(shù)令 ux2 4x3>0.就 x<1 或 x>3.函數(shù) y log13x24x 3的定義域?yàn)椋?13

7、， 名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)又 ux2 4x3 的圖象的對(duì)稱軸為x2，且開口向上， u x24x 3 在，1上是減函數(shù)， 在3， 上是增函數(shù)而函數(shù) y log13u 在0， 上是減函數(shù)， y log13x24x 3的單調(diào)遞減區(qū)間為 3， ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 1留意：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法1利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間2定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義3圖象法：假如 fx是以圖象形式給出的，或者fx的 圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間4導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2例 2.（2） 補(bǔ)充 ylog 1 x4log 1 x221答案

8、：增區(qū)間：, 4；減區(qū)間：0, 14名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)練習(xí):y2log 2 xlog 2 x答案：增區(qū)間：2,；減區(qū)間：0,2（三）利用單調(diào)性解（證）不等式及比較大小已知函數(shù) fxlog2x1，如 x11,2，x22，1x就afx1<0，fx2<0bfx1<0， fx2>0 cfx1>0，fx2<0dfx1>0， fx2 >0【規(guī)范解答】函數(shù) fxlog2x1在1， 上為1x增函數(shù)，且 f2 0，當(dāng) x11,2時(shí)， fx1<f20， 當(dāng) x22， 時(shí)， fx2>f20，即 fx1<0， fx2>0.例 1. （ 2） 已知

9、函數(shù) fx 式x2 4x3，x0， x22x 3， x>0，就不等2fa 4>f3a的解集為 名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)a2,6b1,4c 1,4d 3,5【規(guī)范解答】 作出函數(shù) fx的圖象， 如下列圖，就函數(shù)fx在 r 上是 單調(diào)遞減的由fa24>f3a，可得 a2 4<3a，整理得 a2 3a4<0， 即a1a 4<0，解得 1<a<4，所以不等式的解集為 1,4留意: 本例分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以并.（四）已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范疇例 1. 已知函數(shù) fxa2x, xx11,x22滿意對(duì)任意的實(shí)2數(shù) x1x2，都有f x1 f x2 0 成立，就

10、實(shí)數(shù) a 的取值范疇為 x1x21313a ， 2b. ，8c ， 2d.8 ， 2名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)【規(guī)范解答】 函數(shù) fx是 r 上的減函數(shù)，a2<0，于是有1由此解得 a 13a2 ，2 1，8.即實(shí)數(shù) a 的取值范疇是，138例 2.1（補(bǔ)充） 假如函數(shù) fxax22x3 在區(qū)間，4上單調(diào)遞增，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇是 答案1， 04解析1當(dāng) a0 時(shí)， fx2x3，在定義域 r 上單調(diào)遞增，故在 ，4上單調(diào)遞增；，a2當(dāng) a0時(shí)，二次函數(shù) fx的對(duì)稱軸為直線x 1a4，解由于 fx在，4上單調(diào)遞增，所以a<0，且 1名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)得a<0.綜上所述1144a 0.

11、例 2.2（補(bǔ)充）如 fxx3 6ax 的單調(diào)遞減區(qū)間是 2,2， 就 a 的取值范疇是 a ， 0b 2,2c2d 2， 答案 c解析 f x3x26a，如 a0，就 f x 0， fx單調(diào)增，排除 a；如 a>0，就由 f x0 得 x ± 2a，當(dāng) x<2a和 x>2a時(shí)，f x>0，fx單調(diào)增，當(dāng)2a<x<2a時(shí)，fx單調(diào)減，fx的單調(diào)減區(qū)間為 2a，2a，從而2a2，a 2.變式： 如 fxx3 6ax 在區(qū)間 2,2單調(diào)遞減， 就 a 的取值范疇是？名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)點(diǎn)評(píng) fx的單調(diào)遞減區(qū)間是 2,2和 fx在 2，2上單調(diào)遞減是不同的

12、， 應(yīng)加以區(qū)分 本例亦可用 x±2 是方程 f x3x26a 0 的兩根解得 a2.例 2.3 （補(bǔ)充）如函數(shù)f xlog x312ax在3,2上單調(diào)遞減，就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是（）a 9，12b4，12c 4，27d9，27答案： a溫故知新 p23 第 9 題如函數(shù) fxlog 1x22ax3a在區(qū)間2,上單調(diào)遞減，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇是8、設(shè)函數(shù) fxax1x 2a在區(qū)間2,上是增函數(shù) ,那么 a 的取值范疇是名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)答案:1,10、設(shè)函數(shù) fxxxa xa（ 2）如 a0且 fx在區(qū)間 1,內(nèi)單調(diào)遞減 ,求 a 的取值范疇 .答案:1,（五）抽象函數(shù)的單調(diào)性例 1.（補(bǔ)充） 已知 fx為 r 上的減函數(shù)，那么滿意1f|<f1的實(shí)數(shù) x 的取值范疇是 xa 1,1b0,1c 1,00,1d ， 11， 答案： c1解析：由于 fx為減函數(shù)，f|x1|<f1，所以|x|>1，就|x|<1且 x0，即 x 1,00,1名師總結(jié)精品學(xué)問點(diǎn)練習(xí)：y f x 是定義在1,1 上的增函數(shù)，解不等式f 1xf 1x2 答案：0,1留意：解抽象函數(shù)的不等式通常立足單調(diào)性定義或借助圖像求解例 2.函數(shù)f x的定義域?yàn)?,，且對(duì)一切x0, y0都有 f x yf xfy ， 當(dāng) x1時(shí)，有f x0 ；（1） ） 求f 1 的值；（2