初一幾何難題例題練習(xí)題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系；許多其它問(wèn)題最終都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證；證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)， 其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也常常用到；例 1. 已知：如圖1 所示，abc 中，c90 ，acbc， addb，aecf ；求證： de dfaedcfb圖1分析： 由abc 是等腰直角三角形可知，ab45，由 d 是 ab 中點(diǎn)，可考慮連結(jié) cd ，易得 cdad ，dcf45 ；從而不難發(fā)覺(jué)dcfdae證明： 連結(jié) cdacbcabacb90， a

2、ddbcdbdad，dcbbaaecf ，adcb ， adcda d ecdf dedf說(shuō)明： 在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的幫助線；在等腰三角形中，作頂角的 平分線或底邊上的中線或高是常用的幫助線；明顯， 在等腰直角三角形中，更應(yīng)當(dāng)連結(jié)cd ，由于 cd 既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線；此題亦可延長(zhǎng)ed 到 g，使 dg de，連結(jié) bg，證efg 是等腰直角三角形；有愛(ài)好的同學(xué)不妨一試；例 2. 已知：如圖2 所示， ab cd ， ad bc， ae cf；求證： e f學(xué)習(xí)必備歡迎下載eadbcf圖2證明： 連結(jié) ac在abc 和cda 中，abcd ， bcad， ac

3、caabccda bd sssabcd ， aecfbedf在bce 和daf 中，bedfbdbcdabcedaf efsas說(shuō)明： 利用三角形全等證明線段求角相等；常須添幫助線， 制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：（ 1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；（ 2）添幫助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形；2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中， 平行與垂直是兩種特別的位置； 證兩直線平行， 可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證， 也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、 三角形中位線定理證明； 證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于 90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證；例 3

4、. 如圖 3 所示，設(shè)bp、cq 是abc 的內(nèi)角平分線，ah 、ak 分別為 a 到 bp、cq的垂線；求證： kh bc學(xué)習(xí)必備歡迎下載aqpkhbmnc圖3分析： 由已知， bh 平分 abc ，又 bh ah ，延長(zhǎng) ah 交 bc 于 n ，就 ba bn ，ahhn ；同理，延長(zhǎng)ak 交 bc 于 m ，就 ca cm ，ak km ；從而由三角形的中位線定理，知 kh bc；證明： 延長(zhǎng) ah 交 bc 于 n，延長(zhǎng) ak 交 bc 于 m bh 平分 abcabh nbh又 bh ah a h b n h b90bh bhabhnbh asababn， ahhn同理， ca c

5、m ， ak kmkh 是amn 的中位線kh / / mn即 kh/bc說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中顯現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，就此三角形必為等腰三角形；我們也可以懂得成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱(chēng)）而成一個(gè)等腰三角形；例 4. 已知：如圖4 所示， ab ac ， a90 ，aebf，bddc ；求證： fd ed學(xué)習(xí)必備歡迎下載aef2 31bdc圖4證明一： 連結(jié) adabac， bddc 1 290， dae dab bac90 bdad， bddc b dab dae在ade 和bdf 中，ae bf， b ade bdf 3 13290fdeddae，adbd說(shuō)明： 有等

6、腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用幫助線；證明二： 如圖 5 所示，延長(zhǎng)ed 到 m ，使 dm ed，連結(jié) fe， fm ， bmafebdcm圖5學(xué)習(xí)必備歡迎下載bddcbdmcde ， dmde bdmcdecebm ，ccbmbm / / ac a90abm90aabac， bfae afcebmaefbfm fefmdmdefded說(shuō)明： 證明兩直線垂直的方法如下：（ 1）第一分析條件，觀看能否用供應(yīng)垂直的定理得到，包括添常用幫助線，見(jiàn)此題證二；（ 2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余；（ 3）證明二直線的夾角等于90°；3

7、、證明一線段和的問(wèn)題（一） 在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段；（截長(zhǎng)法）例 5. 已知：如圖6 所示在abc 中，b60， bac 、 bca 的角平分線ad 、ce相交于 o；求證： ac ae cdbedo1423a56fc圖6分析： 在 ac 上截取 af ae ；易知aeoafo ，12 ；由b60，學(xué)習(xí)必備歡迎下載知5660 ，160 ，23120；123460 ，得：focdoc，fcdc證明： 在 ac 上截取 af aebadcad，aoao aeoafosas42又b60566016023120123460focdoc fcdc即 acaecd

8、 aas（二） 延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，就兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段；（補(bǔ)短法）例 6. 已知：如圖7 所示，正方形abcd 中， f 在 dc 上， e 在 bc 上，eaf45；求證： efbe dfad312fgb ec圖7分析： 此題如仿照樣1，將會(huì)遇到困難， 不易利用正方形這一條件；不妨延長(zhǎng)cb 至 g，使 bg df ；證明： 延長(zhǎng) cb 至 g，使 bg df在正方形 abcd中，abgd90 ，abadabgadf sasagaf ，13學(xué)習(xí)必備歡迎下載又eaf4523452145即 gae faegeefefbedf4、中考題：如圖 8

9、 所示，已知abc 為等邊三角形，延長(zhǎng)bc 到 d，延長(zhǎng) ba 到 e，并且使ae bd ，連結(jié) ce、de ；求證： ec edefabcd圖8證明： 作 df/ac 交 be 于 fabc 是正三角形bfd 是正三角形又 ae bdaefdbfbaafef即 ef acac / / fdeacefdeacdfe eced sas題型展現(xiàn)：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9 所示，12，abac ；求證： bddc學(xué)習(xí)必備歡迎下載a1 2cbde圖9證明一： 延長(zhǎng) ac 到 e，使 ae ab ，連結(jié) de在ade 和adb 中，aeab，21， adadadeadbbdde， dcebdc

10、ee dedc ，ebbddc證明二： 如圖 10 所示，在 ab 上截取 af ac ，連結(jié) dfa1 2f34bdc圖10就易證adfadc34 ， dfdcbfd3，4bbfdb bddfbddc說(shuō)明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用幫助線；【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知： 如圖 11 所示，abc 中，c90，d 是 ab 上一點(diǎn)， de cd 于 d，交 bc于 e，且有 acadce ；求證： de1 cd2學(xué)習(xí)必備歡迎下載ceadb圖112. 已知：如圖12 所示，在abc 中，a2b ， cd 是 c 的平分線；求證： bc ac adadbc圖123.

11、 已知：如圖13 所示，過(guò)abc 的頂點(diǎn) a ，在 a 內(nèi)任引一射線，過(guò)b、c 作此射線的垂線 bp 和 cq ；設(shè) m 為 bc 的中點(diǎn)；求證： mp mqaqbmc p圖13學(xué)習(xí)必備歡迎下載4. abc 中，bac90 ，adbc 于 d，求證：ad1abacbc4學(xué)習(xí)必備歡迎下載【試題答案】1. 證明： 取 cd 的中點(diǎn) f，連結(jié) afc41f3eadbacad afcdafccde90又1490 ，139043acceacfced cfed1decd 2 asa2. 分析： 此題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)潔，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們常常采納“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法；“截長(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分， 證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段；eadbc證明： 延長(zhǎng) ca 至 e，使 ce cb，連結(jié) ed在cbd 和ced 中，學(xué)習(xí)必備歡迎下載cbcebcdecd cdcdcbdced bebac2bbac2e又bacadeea d ee，adaebcceacaeacad3. 證明： 延長(zhǎng) p