幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1、幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用李莉軍摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門系統(tǒng)性、邏輯性及相關(guān)性較強(qiáng)的學(xué)科。幾何畫板作為一個有力的數(shù)學(xué)教學(xué)工具,作圖方便準(zhǔn)確,色彩鮮艷,富有動感,可使課堂高潮迭起,妙趣橫生,從根本上改變了數(shù)學(xué)學(xué)科枯燥、乏味的特點,極大限度地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。本文結(jié)合作者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用幾何畫板的一些經(jīng)驗，和大家探討下幾何畫板在其中的作用。關(guān)鍵詞：幾何畫板 初中數(shù)學(xué) 初中函數(shù) 幾何變換一、傳統(tǒng)的教學(xué)模式傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課基本上都是以這樣的方式進(jìn)行:復(fù)習(xí)舊知識引入新課學(xué)習(xí)新概念和定理例題講解學(xué)生模仿性解題教師點評、總結(jié)。這種教學(xué)模式下學(xué)生的發(fā)展還是基本上以老師為中心,在

2、很大程度上還處于老師講學(xué)生聽的狀態(tài),并沒有使課堂真正成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。新課標(biāo)的數(shù)學(xué)大綱明確規(guī)定:教師應(yīng)該幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的教學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。 因此,為適應(yīng)新的形勢,教師的觀念要更新,特別是課堂教學(xué)的模式要改革,要能體現(xiàn)出“向課堂要效率,向教改要質(zhì)量”的教學(xué)原則和“面向全體,因材施教”的教學(xué)思想,完善教學(xué)模式,改進(jìn)教學(xué)方式。二、要想有進(jìn)步必須思變。如今，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用越來越得到一線教師的重視與青睞，也引起了許多教育工作者對這個問題的思考與探索。一線教師普遍在不斷提高信息技術(shù)的運用水平，特別是計算機(jī)操作及軟件使

3、用水平以適應(yīng)新的形勢。對于數(shù)學(xué)教師，使用的動畫制作軟件主要有幾何畫板、Authorware、Flash等。雖說Flash與Authorware在動畫制作上很有利，但在操作上比較復(fù)雜，難以掌握，不太符合日常工作繁重的教師實際。而幾何畫板具有容易學(xué)習(xí)、操作簡單、功能強(qiáng)大等特點，已成為廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的首選軟件。幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來越重要的作用。幾何畫板是Windows環(huán)境下的一個動態(tài)的數(shù)學(xué)工具軟件。它提供了畫點、畫線（線段、射線、直線）、畫圓（正圓）的工具，以及旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能。幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便

4、于學(xué)生自行動手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律，從而打破了千百年來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一支筆一張紙的純理論局面，成為提倡數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營造一種動態(tài)、開放、新型的教學(xué)環(huán)境。本文筆者就重點談?wù)剮缀萎嫲逶诔踔袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中的簡單應(yīng)用。三、幾何畫板簡介與教學(xué)中的實際應(yīng)用（一）幾何畫板簡介幾何畫板是適用于數(shù)學(xué)、平面幾何、物理的矢量分析、作圖，函數(shù)作圖的動態(tài)幾何工具。 由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優(yōu)秀教育軟件，1996年該公司授權(quán)人民教育出版社在中國發(fā)行該軟件的中文版。正如其名“21世紀(jì)動態(tài)幾何”，它能

5、夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關(guān)系、運行變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)與物理教師制作課件的“利劍”?。ǘ缀萎嫲逶诮虒W(xué)中的應(yīng)用案例1、幾何畫板直觀的反映函數(shù)中兩個變量的關(guān)系例一：利用幾何畫板幫助學(xué)生理解函數(shù)與圖像的關(guān)系，化抽象為具體。函數(shù)及其圖像對于初一的學(xué)生難于理解，為了展示圖像對函數(shù)關(guān)系的動態(tài)反映，把抽象變?yōu)榫唧w，以課堂演示這條直線的形成為例。打開幾何畫板，建立坐標(biāo)系，先在x軸上取點A，度量該點的橫坐標(biāo)，然后利用“度量”菜單中的“計算”功能計算出2x，“度量”菜單下的“繪制點”繪出點B（x,2x）,最后將點B設(shè)置為“顯示”菜單下的“追蹤繪制的點”。師：圖中的點B是滿足函數(shù)關(guān)系的點，大家知道這樣的點有多少

6、個嗎？生：無數(shù)個師：這無數(shù)個滿足函數(shù)關(guān)系的點有什么特點呢？請大家仔細(xì)觀察（慢慢的拖動圖1中的A點）拖動的過程中請同學(xué)們注意變化的點B的橫縱坐標(biāo)的數(shù)值，是否滿足關(guān)系？生：都滿足。師：這些點形成了什么圖形？生：點動成線，形成了一條直線。圖1這個演示的兩個作用：幫助學(xué)生理解函數(shù)圖像是由無數(shù)個滿足函數(shù)關(guān)系的點形成的 彌補了描點法畫圖像只能由有限個點來猜測圖像形狀的弱點，僅僅是在紙上描點，學(xué)生不禁會問為什么圖像就是直線呢？通過課件演示，學(xué)生清楚地看到了直線的形成過程，印象十分深刻。例二：利用幾何畫板形象地反映雙曲線的圖像特點，深化對圖像的理解。反比例函數(shù)的圖像雙曲線的特點，學(xué)生也不好把握，什么叫“與坐標(biāo)

7、軸無限接近，但永不相交”？為了幫助學(xué)生理解雙曲線的特點，可以利用幾何畫板來形象地展示這一特點。首先建立坐標(biāo)系，在x軸上取點A，度量該點的橫坐標(biāo)，然后利用“度量”菜單中的“計算”功能計算出，“度量”菜單下的“繪制點”繪出點B（x, ），最后依次選中點A、B，選擇“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”，完成雙曲線的繪制。師：當(dāng)x>0 時，x越大，的值如何變化？ 生：x越大，越小。師：大家能想象隨著x的增大，點（x, ）的變化嗎？（學(xué)生思索）師（演示向右拖動圖2中的點A），橫坐標(biāo)x的數(shù)值越來越大，大家觀察雙曲線上的點有什么特點？生：向右運動，與x軸的距離越來越小。師：圖像上的點會與x軸相交嗎？ 生：不會，因

8、為y不為0。再觀察雙曲線與y軸的關(guān)系，師生共同總結(jié)雙曲線特點：無限接近坐標(biāo)軸，但永不相交。圖2通過這樣的演示，學(xué)生對雙曲線的特點有了更加直觀的感受和深刻的印象，同時更進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識了函數(shù)和圖像的關(guān)系。例三：利用幾何畫板幫助學(xué)生理解函數(shù)的自變量的取值范圍對函數(shù)圖像的影響。初學(xué)函數(shù)時，學(xué)生往往無法結(jié)合自變量的取值范圍去畫函數(shù)圖像，比如函數(shù),同學(xué)容易畫成直線而不是線段。打開幾何畫板，在x軸上取范圍的線段，在線段上任取點A，度量該點的橫坐標(biāo)，然后利用“度量”菜單中的“計算”功能計算出2x，“度量”菜單下的“繪制點”繪出點B（x,-x+2）,最后將點B設(shè)置為“顯示”菜單下的“追蹤繪制的點”，并向坐標(biāo)

9、軸引垂線。圖3師：（拖動圖3中的點A）請同學(xué)們觀察圖中自變量x的取值范圍？ 生：師：觀察最左端點B能到達(dá)的位置，最右端能到達(dá)的位置？ 生：最左端到點，最右端到點師：觀察點B形成的圖像是什么形狀的？ 生：線段師：為什么圖像不是直線而是線段呢，這是由什么決定的？生：由自變量限制在一定范圍內(nèi)決定。通過幾何畫板的動態(tài)演示，學(xué)生在變化的點、變化的橫縱坐標(biāo)中去尋找規(guī)律，去理解自變量和自變量的函數(shù)這兩個變量之間的關(guān)系，突破了傳統(tǒng)教學(xué)無法展示點的變化，從而一切只能靠想象，而初一的學(xué)生抽象思維能力又比較弱的現(xiàn)實。通過幾何畫板的演示，將抽象的思維過程形象地展示出來，學(xué)生很容易接受。2、幾何畫板在初中圖形變換方面的

10、嘗試?yán)唬豪脦缀萎嫲逭宫F(xiàn)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的動態(tài)過程。初中階段主要學(xué)習(xí)三種全等變換：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)，一種相似變換：位似。這是新課改加強(qiáng)的部分，幫助學(xué)生從動態(tài)變換的角度去理解平面幾何。在講解三角形全等的條件時，設(shè)計這樣一個問題去理解“全等變換”：如圖4，AB=DE，畫出與ABC全等的DEF。同學(xué)通過反復(fù)嘗試、互相補充畫出了四個三角形與ABC全等（如圖4）。圖4師：大家通過嘗試得到了這四個三角形，那么現(xiàn)在我們來考慮一下它們是不是有章可循的呢？圖中的綠色三角形是如何得到的？（1）連接AD，在線段AD上取點M，依次選中點A、M，選擇“變換”菜單下的“標(biāo)記向量”，然后選中ABC，選擇“變換”下的“

11、平移”，按標(biāo)記的向量平移。師拖動點M（圖5），三角形開始平移，引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形動態(tài)的平移過程。圖5生：圖中的綠色三角形是通過平移得到的。師：圖中的紅色三角形是如何得到的呢？生：將圖中的綠色三角形翻折得到的。（2）雙擊DE，選中圖中的綠色三角形（圖6），選“變換”下的“反射”，作出紅色三角形。圖6師：圖中的粉紅色三角形是如何得到的呢？（3）選中DE的中點，雙擊它，選擇紅色三角形，按標(biāo)記的角度旋轉(zhuǎn)180°。（如圖7）圖7師引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形旋轉(zhuǎn)的過程，生：粉紅色三角形是由紅色三角形繞DE中點旋轉(zhuǎn)180°得到的。師：黑色三角形是如何得到的呢？ 生：由粉色三角形翻折得到的。通過幾

12、何畫板動態(tài)的演示平移、旋轉(zhuǎn)的過程，形象生動的反映了各種變換，加深了學(xué)生對全等變換的理解，同時也提示學(xué)生學(xué)會用全等變換的眼光去認(rèn)識和看待圖形。例二：利用幾何畫板在變化中尋求特殊，發(fā)現(xiàn)解題的思路。在初三總復(fù)習(xí)階段有這樣一道題：如圖，和均為等邊三角形，點O即是AC的中點，又是的中點，求的值。打開幾何畫板，做等邊，取AC中點O，再做等邊，生1：能不能將的位置放到一個比較特殊的位置去研究線段的比值呢？師在幾何畫板中選中點A1，拖動它，旋轉(zhuǎn)，學(xué)生觀察尋找特殊位置。生2：讓點放到線段AC上是一個特殊位置。（如圖8）圖8生3：讓放到AC上，會更簡單。（如圖9）圖9師：大家的想法很好，這是特殊值法。有沒有一般位

13、置的解題方法？師生共同得到了構(gòu)造相似三角形的一般解法。師：在旋轉(zhuǎn)的過程中，這兩個黃色三角形始終保持相似嗎？ （學(xué)生思考）師演示在幾何畫板中旋轉(zhuǎn)（圖10-1，10-2），學(xué)生直觀的看到，無論什么位置，這兩個三角形始終相似。圖10-1 圖10-2一道有一定難度的題目，在幾何畫板的幫助下，學(xué)生探索了圖形的特殊位置，從中受到啟發(fā)解決了問題，同時進(jìn)一步研究了在變化的過程中不變的規(guī)律（三角形的相似關(guān)系不變）。學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想、從特殊到一般的思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造力。例三：利用幾何畫板探索圖形的發(fā)展變化，尋求輔助線的規(guī)律。（08年的天津市中考25題）已知RtABC中，有一個圓心角為，半

14、徑的長等于的扇形繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線交于點M，N（）當(dāng)扇形繞點C在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖，求證：；CABEFMN圖思路點撥：考慮符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將沿直線對折，得，連，只需證，就可以了（）當(dāng)扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由CABEFMN圖這是一道考察圖形變換的幾何證明題，學(xué)生對第二問的輔助線添加方法感到有些困難。如果學(xué)生能夠從第一問到第二問的聯(lián)系上，從旋轉(zhuǎn)過程中圖形中的量的變化和不變上去考慮，也許就要簡單一些。在講解完第一問之后，可以利用幾何畫板將扇形旋轉(zhuǎn)的過程展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生梳理本題的思路

15、，總結(jié)提升，從而得到第二問的輔助線：師：在第一問中通過什么全等變換來構(gòu)造的輔助線呢？ 生：軸對稱變換，翻折和，構(gòu)造全等三角形。師：軸對稱變換的目的？ 生：將三條線段AM、BN、MN集中到了直角中。師：那么如果將扇形繞點C旋轉(zhuǎn)一周，結(jié)論是不是不變呢？ （學(xué)生思考）打開幾何畫板，做等腰三角形ABC和扇形CEF，雙擊CE，選中點A，選擇“變換”下的“反射”，作出點A，連接CA，構(gòu)造三角形MNA。師在幾何畫板中演示，選中點E，旋轉(zhuǎn)扇形CEF，學(xué)生觀察圖中的紅色三角形。（見下圖）圖12-1 圖12-2圖12-3 圖12-4圖12-5 圖12-6生：無論扇形CEF旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段AM、BN、MN圍成的

16、三角形都是直角三角形，結(jié)論不變。師：大家能發(fā)現(xiàn)紅色三角形構(gòu)造的規(guī)律嗎？ 生：都是翻折和，構(gòu)造全等三角形。師：對，大家已經(jīng)在變化的圖形中找到了不變的規(guī)律，無論扇形的位置在哪兒，只需分別以CM、CN為軸翻折和，構(gòu)造全等三角形即可。通過這樣的演示，訓(xùn)練學(xué)生在變化的圖形過程中去觀察、比較、歸納、總結(jié)圖形的規(guī)律，即提高了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，也鍛煉了學(xué)生在復(fù)雜變化的圖形中去抓住本質(zhì)規(guī)律的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。四、對幾何畫板與數(shù)學(xué)課程整合的心得體會教育教學(xué)必須適應(yīng)新的形勢，更新觀念，改革創(chuàng)新。因此，教師要用新的教學(xué)理念武裝自己，而新的課程標(biāo)準(zhǔn)更是向數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求。“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計和實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)