(完整版)數(shù)學(xué)歸納法測(cè)試題及答案

1、選修2-2 2. 3數(shù)學(xué)歸納法、選擇題1 .用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 1+ ；+ +2 3N*,n>1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）1A. 1 + 2<21 , 1 cB. 1 + ;+尸2 2 3C. 1 + ”<3 2 3D. 1+1+1+1V32 3 4答案B解析. n Nn>1,，n取第一個(gè)自然數(shù)為，一 一，112,左端分母最大的項(xiàng)為獲=3，2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+-一+ain+11 2-(n N*, aw1),在驗(yàn)證 n= 1 時(shí),左邊所得的項(xiàng)為（）A. 1D. 1 + a+a2+a3答案解析因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，an+1 = a2,所以此時(shí)式子左邊=1 +

2、a+a2故應(yīng)選B.1113.設(shè);右+舟+ 2n(nC N ),那么f(n+1) f(n)等于()1 1A.2n+1 B.2n+ 2111_ 1C.2n+ 1 + 2n + 2 D.2n+ 1 - 2n+2答案D解析f(n+ 1)-f(n)1(n+ 1)+ 111+ (n+1) + 2+2n +12n+ 11+2(n+1)111111十+ 玄1-1- n+1 n+2 2n 2n+1 2(n + 1) n+11 1= 一 . 2n+ 1 2n+24.某個(gè)命題與自然數(shù) n有關(guān)，若n=k（k N*）時(shí)，該命題成立，那么可推得n = k+ 1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n = 5時(shí)，該命題不成立，那么可推

3、得（）A.當(dāng)n= 6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n= 4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n= 4時(shí)該命題成立答案C解析原命題正確，則逆否命題正確故應(yīng)選C.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng) n是正奇數(shù)時(shí)，xn + yn能被x + y整除"，在第二步的證 明時(shí)，正確的證法是()A .假設(shè)n = k(kC N ),證明n=k+1時(shí)命題也成立B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+ 1時(shí)命題也成立C.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+ 2時(shí)命題也成立D.假設(shè)n = 2k+1(kCN),證明n=k+1時(shí)命題也成立答案 C解析.力為正奇數(shù)，當(dāng)n=k時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k+ 2,而非k

4、+ 1.故應(yīng)選C.6.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n+1邊形對(duì)角線的條數(shù) 頷+1)為()A f(n) n 1B f(n) nC f(n) n 1D f(n) n 2答案 C解析 增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n 1 3 條對(duì)角線，另外原來(lái)的一邊也變成了對(duì)角線，故 f(n+ 1) = f(n)+ 1 + n+ 1 3 = f(n)+ n 1.故應(yīng)選 C.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切nC N*,都有2n>n22”這一命題，證明過(guò)程中應(yīng)驗(yàn)證()A. n=1時(shí)命題成立B. n = 1, n = 2時(shí)命題成立C. n= 3時(shí)命題成立D. n= 1, n=2, n= 3時(shí)命題成立答案 D解析假設(shè)n=k時(shí)不

5、等式成立，即2k>k2-2,當(dāng) n = k+ 1 時(shí) 2k+1 = 2 2k>2(k2 2)由 2(k22)R(k 1)24? k2-2k- 3>0? (k+1)(k-3)>0? k>3,因此需要驗(yàn)證 n= 1,2,3時(shí)命題成立.故應(yīng)選 D.8 .已知f(n)=(2n+7) 3n+9,存在自然數(shù) m,使得又任意nCN*,都能使m整除f(n), 則最大的m的值為()A. 30B. 26C. 36D. 6答案C解析因?yàn)?f(1) = 36, f(2)= 108= 3X 36, f(3)= 360= 10X 36,所以 f,f(2), f(3)能被36整除，推測(cè)最大的m

6、值為36.9 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n2an(n>2),而ai=1,通過(guò)計(jì)算32、a3、a4,猜想an=()2222A.(n+1)2B.n(n+1)C.2nTD.2n-1答案B解析 由 Sn=n2an知 Sn+1= (n+ 1)2an+1. Sn+ 1 Sn = (n + 1)2an+ 1 n23n.3n+ 1 = (n + 1)2an+ 1 n2ann_31 1 ,a2= 3=3 3n+1= an (n>2).當(dāng) n = 2 時(shí)，S2= 4a2,又 S2=aI+a2,2131a3 = "?a2=二，a4=a3=77.a 4a6，a 5a10.,11 A由 a=

7、1, a2 = 3, a3 = 6，a4= 10-2,猜想an=,故選B.n(n+ 1)10 .對(duì)于不等式，n2+ nwn+1(nCN + ),某學(xué)生的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n=1時(shí)，12+ 1 w 1 + 1,不等式成立.(2)假設(shè) n=k(kC N+)時(shí)，不等式成立，即-k2+k<k+1,則 n=k+1 時(shí)，：(k+ 1)2+(k+1)='k2+ 3k+ 2<1、2+ 3k+ 2)+ (k+ 2) =、(k+ 2)2 = (k+ 1) + 1,當(dāng)n=k+ 1時(shí)，不等式成立，上述證法 ()A .過(guò)程全都正確B. n =1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從門(mén)=卜到門(mén)=卜+1

8、的推理不正確答案D解析n= 1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n= k到n= k+ 1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè)，而通過(guò)不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故應(yīng)選D.二、填空題11 .用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 2n+1>n2+n + 2(nC N*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為 答案當(dāng)n= 1時(shí)，左邊=4,右邊=4,左>右，不等式成立解析當(dāng)n=1時(shí)，左右，不等式成立，nC N*, .第一步的驗(yàn)證為n=1的情形.一 111已知數(shù)列1*2，2X3 3X4'此可猜測(cè)Sn=.1n(n+ 1)通過(guò)計(jì)算得S1=；, &S3 = ，由234答案解析解法1 ：通過(guò)計(jì)算易得答案. 一 1

9、11111n n+1斛法2：+2+碎+ nT11 111=12 + 23 + 3.4+=1-'n+ 113,對(duì)任意nCN*，34n+2+a2n+1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a=.答案5解析當(dāng)n=1時(shí)，36+a3能被14整除的數(shù)為a= 3或5,當(dāng)a= 3時(shí)且n = 3時(shí)，310 + 35不能被14整除，故a=5.14.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1X4 + 2X7+3X 10+ n(3n+1)=n(n + 1)2(1)當(dāng) no=時(shí)，左邊=, 右邊=; 當(dāng) n =k 時(shí)，等式左邊共有 項(xiàng)，第(k-1)項(xiàng)是.(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 成立.(3)當(dāng)n=k+ 1時(shí)，命題的形式是 ;此時(shí)，

10、左邊增加的項(xiàng)為.答案(1)1; 1x(3X1+1); 1x(1 + 1)2; k;(k 1)3(k1)+1_2(2)1 x 4+2X7+3X 10+ k(3k+ 1)=k(k+1)2(3)1 x 4+2X7+ + (k+ 1)3(k+ 1)+ 1 = (k+ 1)(k+ 1)+ 12； (k+ 1)3(k+ 1)+ 1三、解答題15 .求證：12 22+ 3242+ (2n1)2(2n)2= n(2n+1)(n C N*).證明n=1時(shí)，左邊=12-22=- 3,右邊=3,等式成立.假設(shè) n=k 時(shí)，等式成立，即 12 22+ 3242+ (2k1)2(2k)2= k(2k+1)2當(dāng) n=k+

11、1 時(shí)，12 22+3242+(2k 1)2- (2k)2+ (2k+ 1)2- (2k+ 2)2= - k(2k+ 1) + (2k+1)2-(2k+ 2)2 = - k(2k+ 1)-(4k+ 3)=- (2k2+5k+3) = - (k+ 1)2( k+1)+1,所以 n =k+ 1時(shí)，等式也成立.由得，等式對(duì)任何 nC N都成立.1 1 11 n-216 .求證：2+3+4+尹>-2_(n>2). 一，1,證明當(dāng)n = 2時(shí)，左=2>0=右，不等式成立.假設(shè)當(dāng)n = k(k>2, kN N )時(shí)，不等式成立.即；+； + T7>k72成立.2 32.12那

12、么 n=k+1 時(shí)，1+1+ +2 32k 11 12 2k 1 1+ 2k 1 _|_ 2 k-1k-211 k-2 111>-2-+2k-1+ 1 + + m>-2-+下+牙+ /k-2 2k 1 (k+1) 2=2 + 2k =2，當(dāng)門(mén)=卜+1時(shí)，不等式成立.據(jù)可知，不等式對(duì)一切n C N*且n > 2時(shí)成立.17.在平面內(nèi)有n條直線，其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同'_*玄八、求證：這n條直線將它們所在的平面分成n2+； + 2個(gè)區(qū)域.證明(1)n = 2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立.k2 + k+ 2(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k

13、>2)時(shí)，k條直線將平面分成 一2一 塊不同的區(qū)域，命題成立.k? + k+ 2當(dāng)n=k+ 1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為 1,其余k條直線將平面分成 一2一 塊區(qū)域，直 線1與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將1分成k+1段，每段都將它所 在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域 k+ 1塊.k2+k+ 2(k+l)2+(k+1) + 2從而k +1條直線將平面分成 一2+ k+ 1 =2塊區(qū)域.所以n=k+ 1時(shí)命題也成立.由(1)(2)可知，原命題成立.18. (2010衡水高二檢測(cè))試比較2n+2與n2的大小(nCN*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的 結(jié)論.分析由題目可獲取以下主要信息：

14、此題選用特殊值來(lái)找到 2n+ 2與n2的大小關(guān)系；利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想.解析當(dāng) n=1 時(shí)，21 + 2 = 4>n2=1,當(dāng) n = 2 時(shí)，22+2 = 6>n2=4,當(dāng) n = 3 時(shí)，23+2 = 10>n2= 9,當(dāng) n = 4 時(shí)，24+2 = 18>n2= 16,由此可以猜想，2n+2>n2(nC N*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng) n=1 時(shí)，左邊=21 + 2 = 4,右邊=1 ,所以左邊 > 右邊，所以原不等式成立.當(dāng)n = 2時(shí)，左邊=22+2=6,右邊=22 = 4,所以左邊 >右邊；當(dāng) n = 3 時(shí)，左邊=23+2= 10,右邊=32=9,所以左邊 &g