初中數(shù)學(xué)思想的例題淺談范本

1、初中數(shù)學(xué)思想的例題淺談【扌商要】教學(xué)中教會(huì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系，提 高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。數(shù)學(xué)思想方法的滲透、展現(xiàn)是借助于數(shù)學(xué)知識(shí)、 技能這些載體的，離開(kāi)了具體內(nèi)容，是無(wú)法向?qū)W生滲透、傳授數(shù)學(xué)思想方法的?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；分析能力；指導(dǎo)作用數(shù)學(xué)課的教學(xué)，是使學(xué)牛獲得基礎(chǔ)知識(shí)和技能，從而形成解決問(wèn)題的能力的過(guò)程。而在此過(guò)程 中，數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，直接影響了學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和水準(zhǔn)。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)就是要使學(xué)生獲得 知識(shí)技能和一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想，從而為接受更高教育的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)本備。初屮學(xué)生的理解和 接受能力

2、是比較有限的，所以教學(xué)中所涉及到的數(shù)學(xué)思想也是普遍和易懂的。在數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)過(guò) 程中，兒乎沒(méi)有哪位數(shù)學(xué)教師單純?yōu)榱私淌跀?shù)學(xué)思想而刻意單獨(dú)作文字闡述，而基本上是在一些特 定的情境或者以例題、習(xí)題為載體，通過(guò)解決問(wèn)題或者解答題目逐步滲透數(shù)學(xué)思想。從而通過(guò)較長(zhǎng) 一段吋間的該方式的教學(xué)，使學(xué)生能夠形成以一定的思想為指導(dǎo)解決問(wèn)題的方法。教學(xué)中教會(huì)學(xué)生 建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問(wèn) 題的能力，從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。或許直到初三畢業(yè)，好多學(xué)生也不能敘述到底 有哪些數(shù)學(xué)思想，也說(shuō)不出某某數(shù)學(xué)思想到底是什么含義，但是他們能夠?qū)芏嗬}或者習(xí)

3、題的內(nèi) 容加以分析，進(jìn)而利用長(zhǎng)期鍛煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決，這就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想最樸素的目的。下面，筆者對(duì)初中所涉及的幾種基本數(shù)學(xué)思想舉例說(shuō)明。符號(hào)思想例1、根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應(yīng)依次填寫(xiě)的數(shù)字是（） 000110010111001101a. 100, 011 b 011, 100 c oil, 101 d. 101, 110解析:從表格屮圖形與相應(yīng)代表的數(shù)z間關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)代表0、1的圖形，選b.5x247?44例2、已知：2 + 丁2匕，3 +帶3匕，4 +石=宀石10 + - = 102x符合前面式子的規(guī)律，則a + b =cia解析：觀察己知的四個(gè)等式我們發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是一個(gè)

4、整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，且整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子相 同，分?jǐn)?shù)的分母等于整數(shù)的平方減1,等式的右邊是左邊的整數(shù)的平方與左邊的分?jǐn)?shù)的積，從上述 規(guī)律可以得到式子 10 + - = 102x-中b = 10, 6z = 102 -1 = 99,所以0 + 5 = 109.aa評(píng)注：這種題形式多樣，學(xué)生感到熟悉乂易于理解，具有較強(qiáng)的探索性，求解過(guò)程反映了課程 標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等因此既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又要加強(qiáng)此種題型的訓(xùn)練和研究，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握已知和所求之間 的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理

5、來(lái)解決問(wèn)題的方法.利用整體思想往往能夠避免局部思考 帶來(lái)的困惑.q c i、工斗 j2002x+2003y二2001 例3解萬(wàn)程組（2oo3x+2oo2y二2004分析：如果選用代入法解答，比如由得,2001- 2003y2002，再代入，得2003 x2001- 2003y( 2002)+2002y=20044005x + 4005y = 4005_x + y 二 _ 3 x-y=3x + y =1x - y =3解答起來(lái)十分麻煩.如果選用加減法，比如，x2003-x2002,可以消去x,得2003x2003y-2002x2002y=2001x2003- 2004x2002 形式也很復(fù)雜，不

6、易求解.注意到兩個(gè)方程的系數(shù)正好對(duì)調(diào)這一特征，先將兩方程相加，+，得化簡(jiǎn)，得x+y二1再將兩方程相減，-，得即由、組成方程組，得解這個(gè)方程組得x 二 2y 二 _例4如圖，矩形abcd被兩條對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，如果四個(gè)小三角形的周長(zhǎng)的和為86cm, 一條對(duì)角線長(zhǎng)是13cm,那么矩形的面積是多少？分析 木題要求矩形的面積，根據(jù)面積公式s二ab bc,只需求出ab bc即可。 解根據(jù)題意，有ab+bc+cd+da=86-2 (ac+bd)=86-4x13二 34.ab+bc=17.兩邊平方，得ab2 +2ab bc+bc289,又 ab2+bc2=ac2=169,兩式相減，得2ab bo120

7、,aab bc=60 (cm2).整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅僅局限于上述的類(lèi)型，還涉及到其他的各種題型，只有通 過(guò)不斷地挖掘、歸納、提煉，才能更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，從而使問(wèn)題迎刃而解。三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)和形是初中數(shù)學(xué)中被研究得最多的對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，它通過(guò) 形理解數(shù)，利用形的直觀加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解；通過(guò)數(shù)理解形，利用數(shù)的抽象性加深對(duì)圖形位置 關(guān)系的理解，即圖形位置問(wèn)題的坐標(biāo)化，數(shù)量關(guān)系圖形化。s-k 例5已知正比例函數(shù)y = kx的圖彖與反比例函數(shù)丁 = 出(k為常數(shù)，£工0 )的圖象有一個(gè)交點(diǎn)x的橫坐標(biāo)是2.求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；若點(diǎn)a

8、(xp )0, bg,丿2)是反比例函數(shù)'= 圖象上的兩點(diǎn)，且占，試比較廿，力的大小y =5_k分析與解答：(1)由由交點(diǎn)橫坐標(biāo)的含義可得方程組5_k消去字母y,得2k二一,解得k = .所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為y = 反比例函數(shù)的表達(dá)式為y =-要求兩個(gè)函數(shù)圖象的交 點(diǎn)坐標(biāo)，只須在得岀的函數(shù)解析式基礎(chǔ)上畫(huà)岀圖象(反比例函數(shù)y=-的圖象分別在第一、三象限x內(nèi)的雙曲線，正比例函數(shù)y = x的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線)由題知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2即可求出 縱坐標(biāo)也是2即為(2, 2),由圖象的關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)可得另一交點(diǎn)為(-2,-2).所以?xún)珊瘮?shù) 圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 2), (2 &am

9、p;(2)利用上問(wèn)中所畫(huà)圖形得反比例函數(shù)y =-的圖象的y的值隨jh直的增大而減小，所以當(dāng)44x, < x2 < 0 時(shí)，x > 丿2 當(dāng) 0 <西<兀2 時(shí)，丁1歹2當(dāng)壬<0<%2 吋，因?yàn)?=一< 0 , y2 = >0,所以刃v%借助“形”的幾何直觀來(lái)闡明“數(shù)”之間的某種關(guān)系能使問(wèn)題簡(jiǎn)單。這類(lèi)問(wèn)題常把函數(shù)、方程、不 等式聯(lián)系起來(lái).化歸思想所謂化歸思想，就是指對(duì)于那些數(shù)學(xué)問(wèn)題難以求解時(shí)，我們可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、條件和關(guān)系, 采取適當(dāng)?shù)姆椒ò演^困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的或早已熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解答。例6如圖，“回”字形的道路寬為1米，整個(gè)“回

10、”字形的長(zhǎng)為8米，寬為7米，一個(gè)人從入口點(diǎn) a沿著道路中央走到終點(diǎn)b,他共走了a思路和解答 假設(shè)拖把的寬度是1米，某服務(wù)員拿著拖把沿著小路向前推，那人走遍小路相當(dāng)于把 整塊場(chǎng)地拖完了，而拖1 nf的場(chǎng)地相當(dāng)于那人向前走了 1米，整塊場(chǎng)地面積是7x8=56 (m2),所 以那人從a走到b共走了 56米，這樣我們就把求線段長(zhǎng)度問(wèn)題化歸成求面積問(wèn)題了。下面是一個(gè)化兒何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的例題例7如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成，設(shè)屮間最小 一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1,則這個(gè)矩形色塊圖的面積為思路和解答設(shè)次小正方形邊長(zhǎng)為x,則其余正方形的邊長(zhǎng)依次為l+x,2+x,3+x,根據(jù)題

11、意得：(2+x+3+x) (3+x+x)-【(3+x) 2 4- (2+x) 2 4- (l+x) 2 +2x2二1,解得x=4.所以矩形色塊圖的面積為13x11 = 143注：如果對(duì)待這個(gè)問(wèn)題時(shí)只考慮幾何的面積求法，很容易陷入分別求邊長(zhǎng)的死胡同，從而一籌莫展, 這里采用代數(shù)考慮，將問(wèn)題用一個(gè)方程表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而求岀次小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得解。這里 又包含了整體思想、方程思想.五換元思想例 8 分解因式(x，-3x+2) (x2_3x_4)-72分析：注意題目的形式特征，把某一部分(比如x2-3x+2)看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，把 原方程化為形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式，進(jìn)一步用十字相乘法

12、，最后注意分解要徹底。設(shè) x-3x+2=t 則(x-3x+2) (x-3x-4)-72二t (t-6) -72=t2-6t-72=(t+6) (t-12)-(x'-3x+2+6) (x?-3x+2-12)=(x2-3x+8) (x2-3x10) 二(x2-3x+8) (x5) (x+2)如果把(x3x+2)與(x2-3x-4)相乘，將得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，這時(shí)再分解就困難了。例 9 解方程 3x2-6x2 y/x2 2x + 4 +4=0分析：如果先移項(xiàng)，兩邊平方，方程變形為一個(gè)四次方程，題目就難解了注意到7%廠2%+4,3 (x2-2x),設(shè)jjt? _2兀+ 4為y,原方程變形為3y

13、2-2y-8=0,再?gòu)闹薪獾脃回代得x。六分類(lèi)思想分類(lèi)思想是根據(jù)所研究的對(duì)象相同點(diǎn)和不同點(diǎn)區(qū)分不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)思想方法.例10甲、乙兩人分別從相距30kn)的a、b兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過(guò)3h后相距3ki】i,再經(jīng)過(guò) 2h,甲到b地所剩的路程是乙到a地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度。解：(1)當(dāng)3h后甲、乙兩人未相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h,乙的速度為ykm/h,則j3x + 3y = 30-330-5x = 2(30-5y)5解得甲的速度為4km/h,乙的速度為5km/ho(2)當(dāng)3h后甲、乙兩人已相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h,乙的速度為ykni/h,則3兀+ 3y = 30+330-5x = 2(30-5y)16解得x =317甲的速度為16/3km/h,乙的速度為17/3km/ho答：甲的速度為4km/h,乙的速度為5km/h或甲的速度為16/3km/h,乙的速度為17/3km/ho這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的分類(lèi)討論的題目，在分類(lèi)中做到細(xì)心縝密，考慮周全，才能夠不遺漏兩外 一種情況。以上是筆者簡(jiǎn)單列舉初中數(shù)學(xué)所涉兒個(gè)基本思想，教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的方法，盡 量能夠讓學(xué)牛在多次的訓(xùn)練中找到相同的思想，事實(shí)上，這也是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想