71向量坐標(biāo)課件

1、課件71向量坐標(biāo)PPT課件第七章第七章空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)課件71向量坐標(biāo)PPT課件引引 言言 在平面解析幾何中，通過(guò)坐標(biāo)法把平面上的在平面解析幾何中，通過(guò)坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序的數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把平面上的圖形和點(diǎn)與一對(duì)有序的數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把平面上的圖形和方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題問(wèn)題. . 空間解析幾何也是按照類似的方法建立起空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來(lái)的來(lái)的. . 空間解析幾何作為學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的空間解析幾何作為學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí). .課件71向量坐標(biāo)PPT課件第一節(jié)第一節(jié)

2、 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 混合積混合積第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程 第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程內(nèi)內(nèi) 容容課件71向量坐標(biāo)PPT課件 第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算課件71向量坐標(biāo)PPT課件向量：向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1的向量的向量.零向量零向量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0的向量的向量. .向量的模：向量的模： 向量的大小向量的大小, ,記為記為 單位向量單位向量：一

3、、向量的概念一、向量的概念21MM00a或或| a12M M 或或a21MM或或幾何上：以幾何上：以 為起點(diǎn)為起點(diǎn) 為終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段. .1M2M0記為記為任意方向任意方向1M2Ma.rOM 以以坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量稱稱為為向向徑徑課件71向量坐標(biāo)PPT課件自由向量：自由向量： 不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .aba aa 記作記作向量平行：向量平行： 兩個(gè)方向相同或相反的非零向量?jī)蓚€(gè)方向相同或相反的非

4、零向量. .記作記作ababaa課件71向量坐標(biāo)PPT課件1. 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（或三角形法則）（或三角形法則）二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算bac| |abab 三角不等式三角不等式課件71向量坐標(biāo)PPT課件特殊地特殊地：若若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向ac|bac b同向同向反向反向cba cba 課件71向量坐標(biāo)PPT課件向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：）交換律：.abba （2）結(jié)合律：）結(jié)合律：()abc ()abc 1234aaaacabcba cb cba 1a4a 3a

5、 2a cabc 首尾相接首尾相接起點(diǎn)起點(diǎn) 終點(diǎn)終點(diǎn) 連加連加課件71向量坐標(biāo)PPT課件2. 減法減法)( baba abb b ba ba ab()0.aa | |abab 特別地特別地ba ()ab 課件71向量坐標(biāo)PPT課件, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |aa aa2a21 3.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的乘積的乘積是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù),向量向量設(shè)設(shè) a a 與與規(guī)定為規(guī)定為:（數(shù)乘）（數(shù)乘）a a與 反向，課件71向量坐標(biāo)PPT課件數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：）結(jié)合律： )()(aa a)( （2）分配律：）分

6、配律： aaa )(baba )(0.ababa 定定理理設(shè)設(shè)向向量量，那那末末向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，使使兩個(gè)向量的平行關(guān)系：兩個(gè)向量的平行關(guān)系：課件71向量坐標(biāo)PPT課件必要性必要性證證 充分性顯然；充分性顯然；設(shè)設(shè) b a ,ba 取取ba 當(dāng)當(dāng)與與同同向向時(shí)時(shí)取取正正值值，ba 當(dāng)當(dāng)與與反反向向時(shí)時(shí)取取負(fù)負(fù)值值，.ba 即即有有.ba 此此時(shí)時(shí)與與同同向向aa 且且aab .b 的的唯唯一一性性：，設(shè)設(shè)ab ba 又又設(shè)設(shè)，兩式相減兩式相減,得得，0)( a 0a 即即，0a ，0 故故，. 即即課件71向量坐標(biāo)PPT課件0

7、aa 設(shè)設(shè)表表示示與與非非零零向向量量同同方方向向的的單單位位向向量量，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量. .b aba 存存在在唯唯一一的的數(shù)數(shù) ，使使，單位化單位化課件71向量坐標(biāo)PPT課件例例1 1 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 課件71向量坐標(biāo)PPT課件例例2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形

8、平分的四邊形必是平行四邊形. .證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC 與與 平行且相等平行且相等, ,ADBC結(jié)論得證結(jié)論得證. .ABCDMab課件71向量坐標(biāo)PPT課件x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o正方向符合正方向符合右手系右手系, , 構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系. . 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系, , ,Oi j k 取取點(diǎn)點(diǎn) 和和三三個(gè)個(gè)兩兩兩兩垂垂直直的的單單位位向向量量ijk確定三個(gè)坐標(biāo)軸：橫軸確定三個(gè)坐標(biāo)軸：橫軸, ,縱軸和豎軸，縱軸和豎軸，課件71向量坐標(biāo)PPT課件xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系有三個(gè)坐標(biāo)面

9、，將整個(gè)空間直角坐標(biāo)系有三個(gè)坐標(biāo)面，將整個(gè)空間分為八個(gè)部分，稱為空間分為八個(gè)部分，稱為八個(gè)卦限八個(gè)卦限. .課件71向量坐標(biāo)PPT課件M xyzoPQRABCOPPA ,OPxi OQyj ORzk 設(shè)設(shè),rOMxiyjzk 則則分向量分向量坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 , ,MOMxiyjzkx y z 空間點(diǎn)空間點(diǎn) 有序數(shù)有序數(shù) OPOQOR xzy,M 空空間間點(diǎn)點(diǎn)rOM 有有AM 課件71向量坐標(biāo)PPT課件有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的坐標(biāo)表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo)表示: :(0,0,0)O坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR

10、)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C空間點(diǎn)空間點(diǎn)Mxzy , , ,.x y zMM x y z稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)，記記作作 , , ,.x y zrOMrx y z 也也稱稱為為向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo), ,記記作作rOM 課件71向量坐標(biāo)PPT課件(,)xyzaaaa (,)xyzbbbb (,)xxyyzzababab (,)xyzaaa ()()()xxyyzzabab iabjab k ()()()xyzaaiaja k 設(shè)設(shè)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算加（減）法：加（減）

11、法：數(shù)乘：數(shù)乘：,xyza ia ja k,xyzb ib jb k課件71向量坐標(biāo)PPT課件0,/ababa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)yzxxyzbbbaaa (,)xyzaaa (,)(,)xyzxyzbbbaaa ba 與與 的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例. .ba 向向量量 與與 平平行行的的充充分分必必要要條條件件是是(,)xyzaaaa 課件71向量坐標(biāo)PPT課件111222(,)(,).A xy zB xyzAB 已已知知和和，求求向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)解解 由向量的加法，有由向量的加法，有,ABOAOB ABOBOA 即即111222(,),(,)OAxy zOBxyz 212121(,)AB

12、xxyy zz 因此因此OAB例例3課件71向量坐標(biāo)PPT課件解解pnma 34,15713kji 358mijk ，kjin742 54pijk ，pnma 34例例4 4 設(shè)設(shè)求向量求向量的橫坐標(biāo)和沿的橫坐標(biāo)和沿y軸上的分向量軸上的分向量.13xaa 的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)為為，4(3,5,8)3(2, 4, 7)(5,1, 4)(13,7,15) 7 . j 在在y軸上的分向量為軸上的分向量為課件71向量坐標(biāo)PPT課件五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離向量的模與兩點(diǎn)間的距離MxyzoPQRABCxzy),(zyxr 設(shè)設(shè),OPx OQy ORz 模

13、模的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示：222rxyz r有有222rOMOPOQOR rOMOPOQOR ,OPxi OQyj ORzk 課件71向量坐標(biāo)PPT課件模模的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示：222rxyz 111222(,)(,)A xy zB xy z設(shè)設(shè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)和和，AB則則 和和 間間ABAB 的的距距離離就就是是的的模模，ABOBOA 222111(,)(,)xy zxy z 212121(,)xxyy zz AB 、 兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離ABAB 即即ABAB 222212121+xxyyzz 課件71向量坐標(biāo)PPT課件解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x 1PP 222()2

14、3x,112 x2P P 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 因?yàn)橐驗(yàn)镻在在x軸上，軸上，例例5課件71向量坐標(biāo)PPT課件解解 所求向量有兩個(gè)所求向量有兩個(gè), ,一個(gè)與一個(gè)與 同向同向, ,一個(gè)反向一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例6課件71向量坐標(biāo)PPT課件兩向量的夾角的概念：兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間

15、任意取值. . 0() 2.方向角與方向余弦方向角與方向余弦特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定規(guī)定: :課件71向量坐標(biāo)PPT課件非零向量非零向量 與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角, ,0 ,0 .0 M 稱為稱為非零向量非零向量 的的方向角方向角：r ,rxyzo課件71向量坐標(biāo)PPT課件|cosxr |cosyr |coszr 方向余弦方向余弦方向余弦用來(lái)表示向量的方向方向余弦用來(lái)表示向量的方向. .xyzo M PQRcos,| |xr cos,| |yr cos,| |zr cos,cos,cos 01( , , )| | |r

16、x y zrrr ,| | |xyzrrr 222coscoscos1 單位單位向量向量特性特性課件71向量坐標(biāo)PPT課件例例7解解已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)和和計(jì)算向量計(jì)算向量的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . .12M M1(2,2,2 )M2(1,3,0),M12M M(12,32,02 )( 1, 1,2 ), 12M M222( 1)1(2) 2. 方向余弦為方向余弦為12cosxaM M 1,2 12cosyaM M 1,2 12coszaM M 2.2 方向角為方向角為2,3 ,3 3.4 課件71向量坐標(biāo)PPT課件221 PP軸的夾角分別為軸的夾角分別為解解,3 ,4 ,

17、 1coscoscos222 22121cos1( )()222 ,21cos ,22cos 21PPxy3 4 1P)3 , 0 , 1(2P例例8 設(shè)有向量設(shè)有向量 ，已知，已知，它與，它與軸和軸和和和 ，如果，如果的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為，求，求的坐標(biāo)的坐標(biāo). ., 課件71向量坐標(biāo)PPT課件1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為12(1,0,3).PPxyz ,21cos ,22cos 1cos2 由前面得由前面得課件71向

18、量坐標(biāo)PPT課件u投影軸投影軸過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M 作與作與u 軸垂直的平面軸垂直的平面,點(diǎn)點(diǎn)M在在u軸上的投影軸上的投影.此平面與此平面與在在 u 軸上的軸上的投影投影.M OMM r3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影OM u 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)而而即為即為則稱為則稱為向量向量OM Pr.uj OMOM 記為記為OMOMu 稱稱為為向向量量在在 軸軸上上的的分分向向量量. .課件71向量坐標(biāo)PPT課件 稱為稱為 在三條坐標(biāo)軸上的分向量在三條坐標(biāo)軸上的分向量.a 軸軸上的投影上的投影,按照投影定義按照投影定義,xyzaaa(,).xyzxyzaaaaa ia ja k 向量向量a 在直角坐標(biāo)系在直角坐

19、標(biāo)系中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)就是向量就是向量a Oxyz在三條坐標(biāo)在三條坐標(biāo)即即jPr,xxaa Pr j,yyaa Pr j.zzaa 或記作或記作( ) ,xxaa ( ) ,yyaa ( ) .zzaa 課件71向量坐標(biāo)PPT課件Pr jcos).uaa 向量的投影具有與坐標(biāo)具有相同的性質(zhì)向量的投影具有與坐標(biāo)具有相同的性質(zhì): :( )cos ,uaa 性質(zhì)性質(zhì)1(即即與與為向量為向量au的夾角的夾角.uOa ua)(xyzo M PQR|cosxr |cosyr OMr |coszr 課件71向量坐標(biāo)PPT課件jjjPr()Pr( )Pr( ).uuuabab ()( )( ) ,uuuabab

20、 性質(zhì)性質(zhì)2即即uAABBCCab兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和兩個(gè)向量在該軸上的投影之和.ba 課件71向量坐標(biāo)PPT課件jjPr()Pr( ).uuaa ()( ) ,uuaa 性質(zhì)性質(zhì)3即即課件71向量坐標(biāo)PPT課件例例9設(shè)立方體的一條對(duì)角線為設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM ,一條棱為一條棱為OA, 且且,OAa 求求 OA 在在 OM 方向上的投影方向上的投影Pr j.OMOA 注注:a (0)a 同方向同方向的軸上的投影的軸上的投影.AOMa是指向量是指向量r在某條與向量在某條與向量jPrar 課件71向量坐標(biāo)PPT課件AOMa解解 如

21、圖所示如圖所示, ,設(shè)設(shè),MOA 則則cosOAOM jPrOMOA cosOA 3aa 1,3 .3a Pr j.OMOA 例例9設(shè)立方體的一條對(duì)角線為設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM ,一條棱為一條棱為OA, 且且,OAa 求求 OA 在在 OM 方向上的投影方向上的投影課件71向量坐標(biāo)PPT課件1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 2.空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）小小 結(jié)結(jié) 22212212121M Mxxyyzz一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系課件71向量坐標(biāo)PPT課件1.向量的概念向量的概

22、念2.向量的加減法向量的加減法3.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）二、向量的概念及其線性運(yùn)算二、向量的概念及其線性運(yùn)算（三角形法則）（三角形法則）課件71向量坐標(biāo)PPT課件三、向量的坐標(biāo)表示三、向量的坐標(biāo)表示111222(,)(,)A xy zB xy z設(shè)設(shè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)和和，212121(,)xxyy zz AB 222212121+xxyyzz 則則AB 212121()()()xx iyyjzz k 向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)向量的模向量的模課件71向量坐標(biāo)PPT課件(,),xyzaaaa 設(shè)設(shè)則則222=xyzaaaa cos,xaa cos,yaa cos.zaa 0a|aa (cos , cos,cos ). 方方向向余余弦弦為為單位向量單位向量222coscoscos1, cosPrj,xxaaa cosPrj,yyaaa Prj,ua= a cos.au 為為向向量量 與與 軸軸的的夾夾角角向量的投影向量的投影cosPrj ,zzaaa 課件71向量坐標(biāo)PPT課件思考題思考題 1. 1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？, )3 , 2, 1(