初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題及答案,附知識點及結(jié)論總結(jié)

1、經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，o 是半圓的圓心，c、e 是圓上的兩點，cd ab ， ef ab ，eg co 求證： cd gf（初二）cegadofb2、已知：如圖，p 是正方形abcd 內(nèi)點， pad pda 150求證： pbc 是正三角形 （初二）ad pbc3、如圖，已知四邊形abcd 、a 1b 1c1d1 都是正方形，a2、b 2、c2、 d2 分別是 aa 1、bb 1、cc1、dd 1 的中點求證：四邊形a2b 2c2 d2是正方形（初二）a da 2d2a 1d1b 1c1b2c2b c4、已知：如圖，在四邊形abcd 中， ad bc ， m 、n 分別是 ab 、cd

2、 的中點， ad 、bc的延長線交mn 于 e、f求證： den ffenc經(jīng)典難題（二）damb1、已知： abc 中， h 為垂心（各邊高線的交點）， o 為外心，且om bc 于 m （ 1）求證： ah 2om ；a（ 2）如 bac 600，求證： ah ao （初二）o· hebmdc2、設(shè) mn 是圓 o 外始終線，過o 作 oa mn 于 a ，自 a 引圓的兩條直線，交圓于b 、c及 d、e，直線 eb 及 cd 分別交 mn 于 p、qg求證： ap aq （初二）eco·bd3、假如上題把直線mn 由圓外平移至圓內(nèi)，就由此可得以下命題：mpaqn設(shè) m

3、n 是圓 o 的弦，過mn 的中點 a 任作兩弦bc 、de ，設(shè) cd 、eb 分別交 mn于 p、q求證： ap aq （初二）ecmaqp·n·ob4、如圖，分別以abc的 ac 和 bc 為一邊，在 abc的外側(cè)作正方形cbfg ，點 p 是 ef 的中點dacde和正方形求證：點p 到邊 ab 的距離等于ab 的一半（初二）dgce經(jīng)典難題（三）pfaqb1、如圖，四邊形abcd為正方形， de ac ，ae ac ， ae 與 cd 相交于 f求證： ce cf（初二）a dfeb c2、如圖，四邊形abcd為正方形， de ac ，且 ce ca ，直線 ec

4、 交 da 延長線于f 求證： ae af （初二）fadbc3、設(shè) p 是正方形 abcd一邊 bc 上的任一點， pfap ，cf 平分 dce e求證： pa pf（初二）adfbpce4、如圖， pc 切圓 o 于 c， ac 為圓的直徑， pef 為圓的割線， ae 、af 與直線 po 相交于b 、d求證： ab dc ，bc ad （初三）ap經(jīng)典難題（四）bodefc1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形內(nèi)一點，pa3， pb 4，pc 5求： apb 的度數(shù)（初二）ap2、設(shè) p 是平行四邊形abcd 內(nèi)部的一點，且pba pda 求證： pab pcb （初二）bac

5、dp3、設(shè) abcd 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ab · cd ad · bc ac · bd （初三）bac dbc4、平行四邊形abcd 中，設(shè) e、f 分別是 bc、ab 上的一點， ae 與 cf 相交于 p，且 ae cf求證： dpa dpc （初二）adf經(jīng)典難題（五）pbec1、設(shè) p 是邊長為 1 的正 abc 內(nèi)任一點， l pa pb pc，求證： l 2ap2、已知： p 是邊長為1 的正方形abcd 內(nèi)的一點，求pa pb pc 的最小值bca dpb c3、p 為正方形abcd 內(nèi)的一點，并且pa a， pb 2a， pc 3a，求正方形

6、的邊長adp4、如圖， abc 中， abc acb eba 200，求 bed 的度數(shù)0，d 、e 分別是 ab 、ac 上的點， dca 300，80abced經(jīng)典難題（一）bc1.如下圖做gh ab, 連接 eo；由于 gofe 四點共圓，所以gfh oeg,即 ghf oge, 可得eogo=gfghco=,又 co=eo ，所以 cd=gf 得證；cd2. 如下圖做 dgc 使與 adp 全等，可得 pdg 為等邊，從而可得 dgc apd cgp,得出 pc=ad=dc, 和 dcg= pcg 150所以 dcp=30 0 ，從而得出 pbc 是正三角形3. 如下圖 連接 bc1

7、和 ab1 分別找其中點 f,e. 連接 c2f 與 a2e 并延長相交于 q點，連接 eb2 并延長交 c2q于 h點，連接 fb2 并延長交 a2q于 g點，2由 a2e= 1a1 b1= 1b1c1= fb2 ，eb2 = 1ab=1bc=f c1 ，又gfq+ q=900 和222 geb2+q=90 0,所以 geb2= gfq 又 b2fc2= a2 eb2 ，可得 b2fc2 a 2eb 2 ，所以 a 2b2=b2c2 ， 又 gfq+ hb 2f=900 和 gfq= eb 2a 2 ,從而可得 a 2b2 c2=90 0 ， 同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形a 2b

8、 2c2d2 是正方形；4. 如下圖 連接 ac并取其中點 q，連接 qn和 qm，所以可得 qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，從而得出den f；經(jīng)典難題（二）1.1延長 ad到 f 連 bf，做 og af,又 f= acb= bhd ，可得 bh=bf, 從而可得hd=df ，又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om2 連接 ob，oc,既得 boc=120 0，從而可得 bom=60 0,所以可得ob=2om=ah=ao,得證；3. 作 of cd，ogbe ，連接 op， oa ， of， af ， og，ag ， oq ；adacc

9、d2fdfd由于=，abaebe2bgbg由此可得 adf abg ，從而可得afc= age ；又由于 pfoa 與 qgoa 四點共圓，可得afc= aop 和 age= aoq ， aop= aoq ，從而可得ap=aq ；4. 過 e,c,f 點分別作 ab所在直線的高 eg，ci，fh；可得eg +pq=fh ；2由 ega aic ，可得 eg=ai ，由 bfh cbi ，可得 fh=bi ；從而可得pq=ai + bi=2ab ，從而得證；2經(jīng)典難題（三）1. 順時針旋轉(zhuǎn) ade ，到 abg ，連接 cg.由于 abg= ade=90 0+45 0=135 0從而可得b ，g

10、，d 在一條直線上，可得agb cgb ；推出 ae=ag=ac=gc，可得 agc 為等邊三角形； agb=30 0，既得 eac=30 0，從而可得a ec=75 0；又 efc= dfa=45 0+30 0=75 0.可證： ce=cf ；2. 連接 bd作 ch de ，可得四邊形cgdh 是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch ，可得 ceh=30 0，所以 cae= cea= aed=15 0，+45又 fae=90 00+1500，=150從而可知道f=15 0，從而得出ae=af ；3. 作 fg cd，febe ，可以得出gfec 為正方形；令 ab=y， bp=x ,ce

11、=z , 可得 pc=y-x；xztan bap=tan epf=，可得 yz=xy-x 2 +xz ，yy -x + z即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出 abp pef ，得到 pa pf ，得證；經(jīng)典難題（四）1. 順時針旋轉(zhuǎn) abp600 ，連接 pq ，就 pbq 是正三角形；可得 pqc 是直角三角形；所以 apb=150 0 ；2. 作過 p點平行于 ad的直線，并選一點e，使 ae dc，bepc.可以得出 abp= adp= aep，可得：aebp 共圓（一邊所對兩角相等）；可得 bap= bep= bcp，得證；3. 在 bd取一點 e，使 bce= acd ，既得

12、 bec adc ，可得：bead=bcac，即 ad .bc=be .ac，又 acb= dce ，可得 abc dec ，既得abde=acdc，即 ab .cd=de .ac ，由 +可得 : ab .cd+ad .bc=acbe+de= ac· bd，得證；4. 過 d作 aq ae ， ag cf ，由ss ade =abcd2= s dfc ，可得：a ep q=2ae pq ， 由 ae=fc ；2可得 dq=dg ，可得 dpa dpc（角平分線逆定理） ；經(jīng)典難題（五）1. （1）順時針旋轉(zhuǎn) bpc 600 ，可得 pbe 為等邊三角形；既得 pa+pb+pc=ap

13、+pe+ef要使最小只要ap ， pe， ef 在一條直線上，即如下圖：可得最小l=；（ 2）過 p 點作 bc的平行線交 ab,ac與點 d，f；由于 apd> atp= adp ，推出 ad>ap又 bp+dp>bp和 pf+fc>pc又 df=af由可得：最大l< 2； 由（ 1）和（ 2）既得：l 2 ；2. 順時針旋轉(zhuǎn) bpc 60 0 ，可得 pbe 為等邊三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap， pe， ef 在一條直線上，即如下圖：可得最小pa+pb+pc=af ；既 得 af= 1 + 3 + 12=2 +3 =4 +

14、234223 +=212=2 3 + 126 +2=；23. 順時針旋轉(zhuǎn) abp900 ，可得如下圖：既得正方形邊長l =2 +2 2 + 2 2 a=5 +22 a；224. 在 ab上找一點 f，使 bcf=60 0 ， 連接 ef， dg ，既得 bgc 為等邊三角形，可得 dcf=10 0 , fce=200 ,推出 abe acf，得到 be=cf， fg=ge；推出： fge 為等邊三角形，可得 afe=80 0 ，既得： dfg=40 0又 bd=bc=bg，既得 bgd=80 0 ，既得 dgf=40 0推得： df=dg ,得到： dfe dge，從而推得：fed= bed=

15、30 0；附：平面對量 復(fù)習(xí)基本學(xué)問點及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和數(shù)量的區(qū)分；向量常用有向線段來表示，留意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）；如已知 a（ 1,2），b（ 4,2），就把向量ab 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：長度為0 的向量叫零向量，記作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；（ 3） 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 與 ab 共線的單位向量是ab ；| ab |（ 4）相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

16、（ 5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，記作： a b ，規(guī)定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共線向量，但共線向量 不肯定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線 , 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄓ捎谟?0 ；三點 a、 b、c 共線ab、ac 共線；（ 6）相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；如以下命題：（1）如 ab ，就 ab ；（ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同； （ 3）如 abdc ，就 abcd 是平行

17、四邊形； （ 4）如 abcd 是平行四邊形，就 abdc ；（ 5）如 abb,c，就 ac ；（6）如 a / b, b/c，就a / c ；其中正確選項 （答：（ 4）（ 5） 2、向量的表示方法：（ 1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如ab ，留意起點在前，終點在后； （2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i， j 為基底，就平面內(nèi)的任一向量a 可表示為axiy jx, y ，稱x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， ax, y叫做向量 a 的坐標(biāo)表示； 假如 向量的起

18、點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同；3. 平面對量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi) 的 任 一 向 量a ， 有 且 只 有 一 對 實 數(shù)1 、2 ， 使a=1 e1 2 e2 ； 如 （ 1 ） 如a1,1,b1,1,c1,2 ，就 c （答： 1 a3 b ）；224、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：1aa ,2當(dāng)>0 時，a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng)<0 時，a 的方向與 a 的方向相反，當(dāng) 0 時，a0 ， 留意 ：a 0；5、平面對量的數(shù)量積：（ 1 ） 兩 個

19、 向 量 的 夾 角 ： 對 于 非 零 向 量 a ， b ， 作 o a,ao b，baob0稱為向量 a ，b 的夾角， 當(dāng) 0 時， a ，b 同向， 當(dāng)時， a ，b 反向，當(dāng)時， a ， b 垂直；2（ 2） 平面對量的數(shù)量積：假如兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量| a | b | cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作： ab ，即 ab a b cos；規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，留意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量；如（ 1） abc 中，| ab |3， | ac |4， | bc |5，就ab bc （答： 9）；（ 3） b 在

20、 a 上的投影 為 |b | cos，它是一個實數(shù)，但不肯定大于0；如 已知 | a |3 ，| b |5 ， 且 a b12 ，就向量a 在向量 b 上的投影為 （答：12 ）5（ 4） ab 的幾何意義 ：數(shù)量積 ab 等于 a 的模 | a | 與 b 在 a 上的投影的積；（ 5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a ，b ，其夾角為，就： abab0 ；2當(dāng) a ，b 同向時， ab a b ，特殊地， a22aaa, aa；當(dāng) a 與 b 反向時，ab a b ；當(dāng)為銳角時，ab 0，且 a、b 不同向，a b0 是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，ab 0，且 a、b 不反向，

21、a b0 是為鈍角的必要非充分條件 ；非零向量a ， b 夾角的運算公式：cosab ； | ab | | a | b | ；如（ 1）a b已知 a,2 ， b3,2 ，假如 a 與 b 的夾角為銳角， 就的取值范疇是 （答：4 或0 且1 ）；336、向量的運算：（ 1）幾何運算 ：向量加法：利用“平行四邊形法就”進行，但“平行四邊形法就”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法仍可利用“三角形法就”：設(shè)aba, bcb ，那么向量ac 叫做 a 與 b 的和，即 ababbcac ；向量的減法：用“三角形法就”：設(shè)aba, acb,那么ababacca ，由減向量的終點指向被減向量的終點

22、；留意：此處減向量與被減向量的起點相同；如（ 1）化簡： abbccd ； abaddc ； abcd acbd （答：ad ； cb ； 0 ）；（ 2）坐標(biāo)運算 ：設(shè) ax1, y1 ,b x2 , y2 ，就： 向量的加減法運算： ab x1x2 ， y1y2 ；如（ 1） 已知點a2,3, b5,4 ，c 7,10 ，如（答： 1 ）；2apabac r ，就當(dāng) 時，點 p 在第一、三象限的角平分線上 實數(shù)與向量的積：ax1, y1x1,y1；如 ax1, y1, bx2 , y2 ，就 abx 2x 1 y, 2y 1，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)

23、；如設(shè)就 c、d 的坐標(biāo)分別是 （答：11a2,3,b1,5 ，且 aca1b3，ad3ab ， 平面對量數(shù)量積： abx1 x21,7,9 ）；3y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx， cosx） ,b （ sinx，sinx ）,c （ 1，0）；（ 1）如 x ，求向量 a 、 c 的夾角；（2）如 x 33, ，函數(shù)84f xab 的最大值為1 ，求的值（答：21150 ;21 或21）；2222222 向量的模 ：| a |xy, a| a |xy；如已知a, b 均為單位向量， 它們的夾角為 60 ，那么 | a3b | （答：13 ）； 兩點間的距離：如ax1 , y1,

24、bx2 , y2，就 | ab |2x2x1y2y12；如如圖， 在平面斜坐標(biāo)系xoy 中，xoy60 ，平面上任一點p 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：如opxe1ye2，其中e1 ,e2 分別為與x 軸、 y 軸同方向的單位向量，就p 點斜2坐標(biāo)為 x, y ；（ 1）如點 p 的斜坐標(biāo)為（ 2， 2），求 p 到 o 的距離 po；（ 2）求以 o2為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xoy 中的方程；（答：（ 1） 2；（ 2） xyxy10 ）；7、向量的運算律：（ 1）交換律： abba ，aa ， abba ； 2結(jié)合律：abcabc, abcabc，ababab；（ 3）安排律

25、：aaa,abab ，abcacbc ；如 以下命題中：a bca bac ；a b c a b c ；2 ab2| a |2 | a | | b | b |2； 如 a b0 ， 就 a0 或 b0 ； 如a bc b,就 ac ；22abb222222 aa；2a； a baab； aba2a bb；其中正確選項 （答：）提示：（ 1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)分：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除 相約 ；（ 2）向量的“乘法”不滿意結(jié)合律，即abcab

26、c ，為什么？8、向量平行 共線 的充要條件 ：a / baba b2| a |b | 2x1 y2y1 x2 0；如1 如向量 a x,1,b4, x ，當(dāng) x 時 a 與 b 共線且方向相同（答：2）；9 、向量垂直的充要條件： aba b0| ab | | ab |x1x2y1 y20 .特abacabac別地 ； 如1 已知 oaabacabac1,2, ob3, m ，如 oaob ，就 m（答： 3 ）； 210. 線段的定比分點：1 p 212（ 1）定比分點的概念：設(shè)點 p 是直線 p上異于 p 、p的任意一點，如存在一個實數(shù)，使p1ppp2 ，就叫做點 p 分有向線段p1p2

27、所成的比， p 點叫做有向線段p1p2 的以定比為的定比分點；1 p 2（ 2）的符號與分點p 的位置之間的關(guān)系：當(dāng) p 點在線段p上時>0；當(dāng) p1 p 22 p1點在線段p的延長線上時< 1；當(dāng) p點在線段 p的延長線上時10 ；如點 p 分有向線段p1p2 所成的比為，就點 p 分有向線段p p 所成的比為1 ；如如點 p 分2 1ab 所成的比為34，就 a 分 bp 所成的比為 （答：7 ）3（ 3）線段的定比分點公式：設(shè)p1 x1, y1 、p2 x2 , y2 ， p x, y分有向線段p1p2 所成x1x的比為，就1yy11x21，特殊地，當(dāng) 1時，就得到線段pp 2y2的中點公式x x1x2 2y y1y2 2；在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確 x, y ， x1 , y1 、 x2 , y2 的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)；在詳細(xì)運算時應(yīng)依據(jù)題設(shè)條件，敏捷地確定起點，分點1和終點， 并依據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比；如（1）如 m（ -3，-2），n（ 6，-1），且7mpmn， 3就點 p 的坐標(biāo)為 （答：6, ）；311. 平移公式 ：假如點px, y按向量ah, k平移至px, y ，就xxhyyk；曲線f x, y0 按向量ah, k平移得曲