ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算課件

1、ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算六、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法六、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法定義定義: :.)(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).如如05123327xxyy0yxexy1 1、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確

2、定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解 xyyx,求導(dǎo)方程兩邊對(duì)0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線

3、方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例如：例如：.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu2 2、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法)1,0,0( babaaxxbbaybaxch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例3 3)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxax

4、bbaxlnlnlnxbalnlnaxbch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 另解

5、：另解：xxeylnsin )sinln(coslnsinxxxxeyxx )sinln(cossinxxxxxx ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算）點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線方方程程。，在在（求求曲曲線線例例2316 xyyx原原方方程程變變形形為為解：解：1lnln yxxyee方方程程兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：)ln(lnxyxyexy )(lnlnyyxyeyx 0 得：得：代入代入2, 3 yx3ln9122ln86 y所所求求切切線線方方程程為為：)3(3ln9122ln862 xych246導(dǎo)數(shù)計(jì)算七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則.,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此

6、此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?tch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方

7、程在方程 tytx ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xyy 由參數(shù)方程由參數(shù)方程teytexttsincos所確定所確定 , 求求dxdy解：解：tetetetedxdyttttsincoscossinttttsincoscossinch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例8 8解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算例例9 9

8、 設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: : 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t t 求導(dǎo)求導(dǎo) , ,得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxddch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算八、極坐標(biāo)系下曲線的切線問題八、極坐標(biāo)系下曲線的切線問題 , 極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的曲曲線線參參數(shù)數(shù)方方程程：為為參參數(shù)數(shù)的的寫寫成成直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下以以將將極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的方方程程改改 sincosyx 可可求求出出切切線線的的斜斜率率的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法

9、則則，函函數(shù)數(shù)利利用用參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的xyy 斜斜率率，為為求求切切線線，先先求求切切線線的的點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線，可可導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí)，就就可可以以求求在在當(dāng)當(dāng) ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算 sincoscossin ddxddydxdy于是可以寫出切線方程于是可以寫出切線方程.例例10 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 0 aa 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)2處的切線方程和法線方程的直角坐標(biāo)形式處的切線方程和法線方程的直角坐標(biāo)形式.解解阿基米德螺線阿基米德螺線a在直角坐標(biāo)系下以在直角坐標(biāo)系下以為參數(shù)的參數(shù)方程為為參數(shù)的參數(shù)方程為 sincosayaxch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算 sincoscossinaaaaddx

10、ddydxdy 2sincoscossin22 aaaadxdyk切切法線斜率為法線斜率為2 法法k的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為：確確定定的的于于是是，由由此此參參數(shù)數(shù)方方程程所所)(xyy 處處的的切切線線斜斜率率為為曲曲線線上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于點(diǎn)點(diǎn)2 ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)于點(diǎn)直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)于點(diǎn)2 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 2, 0 a所求切線的直角坐標(biāo)方程為所求切線的直角坐標(biāo)方程為xay 22 即即22 axy 所求法線的直角坐標(biāo)方程為所求法線的直角坐標(biāo)方程為xay22 即即22 axy ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2.

11、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)極坐標(biāo)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算1. 設(shè)設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分別用對(duì)數(shù)微分法求分別用對(duì)數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx思考題思考題ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法

12、2 等式兩邊同時(shí)對(duì)等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxddxe112. 設(shè)設(shè)ch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算, 求求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy3. 設(shè)設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0tch246導(dǎo)數(shù)計(jì)算注注方方程程常常見見的的幾幾種種曲曲線線極極坐坐標(biāo)標(biāo) cos)1(ar 圓圓-0.4 -0.20.2 0.40.20.40.60.81 sin)2(ar 圓圓0.20.40.60.81-0.4-0.20.20.40.511.52-1-0.50