CH52換元積分法’課件

1、CH52換元積分法PPT課件dxxx sectan3求求復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)解：原式解：原式= =dxxxx sectantan2)(sectan2xdx )(secsectan xxx)(sec)1(sec2xdx cxx 3sec31secCH52換元積分法PPT課件以上的例子中運氣很好，被積函數(shù)以上的例子中運氣很好，被積函數(shù)g(x)有形式有形式),)()(x( xfxg至多差一個常數(shù)因子，接下來研究運氣稍差一點至多差一個常數(shù)因子，接下來研究運氣稍差一點例子，仍然可經(jīng)過一適當(dāng)換元，求出原函數(shù)。例子，仍然可經(jīng)過一適當(dāng)換元，求出原函數(shù)。CH52換元積分法PPT課件例例 xxxd 23)7(3求求解：解：

2、取中間變量取中間變量u=3 2x, 注意到注意到du= 2dx, 因子因子(x+7)dx不是變量不是變量u的微分的微分, 不能使用第一換元法。不能使用第一換元法。現(xiàn)在將積分號下的每一部分變?yōu)閾Q為現(xiàn)在將積分號下的每一部分變?yōu)閾Q為u的函數(shù)，包括因子的函數(shù)，包括因子x+7.因因此此,223ux 72237 ux,2217u u=32x, 得得CH52換元積分法PPT課件得得代代入入原原積積分分因因此此又又, .d21d,d2duxxu uuuxxxd)2217(21d23)7(33 uuud)17(413 uuud)17(413431CH52換元積分法PPT課件Cuu )1341131117(411

3、34131Cuu )73451(413734Cxx )23(73)23(451(413734CH52換元積分法PPT課件3323 223 1uxux.換換成成了了能能積積分分的的部部分分復(fù)復(fù)雜雜的的代代入入后后將將被被積積函函數(shù)數(shù)中中最最取取 uxud21d . 2 包包括括的的函函數(shù)數(shù)，表表示示成成將將被被積積函函數(shù)數(shù)中中每每一一部部分分3. 求出關(guān)于求出關(guān)于u 的積分，取反函數(shù)的積分，取反函數(shù)u=3-2x代回原變量代回原變量x.CH52換元積分法PPT課件練習(xí)練習(xí) 求求解解: :1.1dxx 令令tx 2xt11xxd 112t ttd 21tdtt 112()tttdd 2dxtdt 1

4、2 (1)1dtt 1121tdtt CH52換元積分法PPT課件1(1)12tdttd 22ln 1ttC22ln 1xxC tx 10 x 22ln(1)xxC CH52換元積分法PPT課件 dxxf)( dxxxf)()( 好好求求！()xu 令令難難求求！)(tx 令令好好求求！難難求求！相反的情況相反的情況 duuf)(dtttf)()( 技巧性要求高技巧性要求高第一類換元法解決的問題第一類換元法解決的問題第第二二類類換換元元法法則用第二類換元積分法則用第二類換元積分法 .CH52換元積分法PPT課件第二換元法CH52換元積分法PPT課件1( )( ) ( )( )txf x dxf

5、tt dt 則有換元公式則有換元公式定理定理2 2第二類積分換元公式第二類積分換元公式1( )( ) ( )( )txf x dxftt dt 第二類積分換元法第二類積分換元法= =變量代換變量代換+ +第一換元法第一換元法+ +變量代換變量代換CH52換元積分法PPT課件例例2. 2. 求求),(aa 函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域. )0(d22axxa解解: : 則則)2,2( ,sin ttax令令0)(sin2 tta-at22sinttdtaxcosd CH52換元積分法PPT課件taaxa22222sin ta2sin1 tacos cost22t)2,2( ,sin ttax令令 t

6、tataxxadcoscosd22 ttadcos22 ttad22cos12Ctata 2sin4222CH52換元積分法PPT課件則則取取反反函函數(shù)數(shù),arcsin axt , sinaxt 2221sin1cosaxtt Cttaaxaxxacossin24arcsin2d2222Cxaxaxa2222arcsin2ax22xa tCH52換元積分法PPT課件例例3. 3. 求求. )0(d22aaxx解解: : 令令, ),(,tan22ttax則則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22

7、ax tln)ln(1aCCCaxx22lnxa1C22ax a書書151151頁頁例例4 4SecSec2 2t=1+tant=1+tan2 2t tCH52換元積分法PPT課件例例4. 4. 求求. )0(d22aaxx解解: :,時當(dāng)ax 令令, ),0(,sec2ttax則則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCtta22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axaxCH52換元積分法PPT課件,時當(dāng)ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln

8、22daxx，時ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22lnCH52換元積分法PPT課件求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 0,2t dxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 練練 習(xí)習(xí)CH52換元積分法PPT課件Caxaxaaxdx ln21)13(22Caxaaxdx arctan1)11(22C

9、axxadx arcsin)12(22 三個積分公式三個積分公式CH52換元積分法PPT課件說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換. .三角代換的三角代換的目的目的是是化掉根式化掉根式. .一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令sin ;cosxatxat或或22)2(xa 可令可令tan ;cotxatxat或或22)3(ax 可令可令sec ;csc .xatxat或或221tansecxx 221cotcscxx CH52換元積分法PPT課件 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用

10、三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定根據(jù)被積函數(shù)的情況來定. .說明說明(2)(2)例例5 5 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解CH52換元積分法PPT課件求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx練練 習(xí)習(xí)CH5

11、2換元積分法PPT課件說明說明(3)(3) 當(dāng)分母的階較高時當(dāng)分母的階較高時, , 可采用倒代換可采用倒代換.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解CH52換元積分法PPT課件原式原式21) 1(22ta221a例例7. 7. 求求.d422xxxa解解: : 令令,1tx 則則txtdd21原式原式ttd12tttad) 1(2122,0時時當(dāng)當(dāng) x42112tta Cata2223) 1(23當(dāng)當(dāng) x 0 時時, , 類似可得同

12、樣結(jié)果類似可得同樣結(jié)果 . .Cxaxa32223)(23) 1(d22taCH52換元積分法PPT課件例例8 8 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu CH52換元積分法PPT課件 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx CH52換元積分法PPT課件練習(xí),1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得)(5xfx,12xx則1dd)(24xxxxxf)1(x

13、t 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) CH52換元積分法PPT課件說明說明(4)(4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例9 9 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216CH52換元積分法PPT課件 dttt221116 dtt

14、21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx CH52換元積分法PPT課件練習(xí)練習(xí) 1d24xxx求求解：解：方法：作變換方法：作變換tx1有有兩兩支支這這時時曲曲線線tx1 一一段段。上上單單調(diào)調(diào)，首首先先討討論論在在), 0(), 0()0 ,( 252424211111,ddttttxxttxCH52換元積分法PPT課件tttxxxd11d2324tttttd1)1(22221dd1tttttt22221)1 (d21)1 (d121ttttCtt22321)1 (31CH52換元積分法PPT課件Ctt221)2(31Cxxx2321312完完全全相相同同的的結(jié)結(jié)果果。

15、可可獲獲得得形形式式上上時時，作作同同樣樣變變換換當(dāng)當(dāng)txx1)0 ,( CH52換元積分法PPT課件注注: : 一般地，第一類換元法比第二類換元法用一般地，第一類換元法比第二類換元法用起來方便（起來方便（不需要變換可逆不需要變換可逆）。）。例例1010dxxex 求求解法一解法一dxxex tdttetttx2 )(0,2 dtet 2 Cet 2 . 2 Cex 解法二解法二dxxex uduueuxu2 dueu 2 Ceu 2 . 2 Cex 第二類第一類CH52換元積分法PPT課件基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)ta

16、nln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa CH52換元積分法PPT課件;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax CH52換元積分法PPT課件三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2)(2)CH52換元積分法PPT課件(k是常數(shù))，m 1)，

17、,) 1 (Ckxkdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(Cxxdx,) 1 (Ckxkdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(CxxdxCH52換元積分法PPT課件,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadxaxx,)14(Cchxshxdx.)15(Cshxchxdx,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadx