ch064泰勒公式課件

1、2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件1二、泰勒公式應(yīng)用舉例二、泰勒公式應(yīng)用舉例第第6.36.3節(jié)節(jié) 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件2復(fù)復(fù)習(xí)習(xí) 多項(xiàng)式逼近、多項(xiàng)式逼近、泰勒公式泰勒公式 （二）函數(shù)近似（二）函數(shù)近似 用用多項(xiàng)式多項(xiàng)式逼近函數(shù)逼近函數(shù). 逼近有兩種看法：逼近有兩種看法： （1）在一點(diǎn)附近近似這個(gè)函數(shù)好；）在一點(diǎn)附近近似這個(gè)函數(shù)好； 泰勒公式泰勒公式 （2）在區(qū)間上整體逼近得好。）在區(qū)間上整體逼近得好。 傅立葉級(jí)數(shù)、正交多項(xiàng)式傅立葉級(jí)數(shù)、正交多項(xiàng)式)()()(00 xxfxfxf )()()()(0000 xx

2、oxxxfxfxf （一）（一） 比較比較2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件3)()()(xRxPxfnn nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 )()()(00 xxxxxRnn 之之間間與與介介于于xxxxnfxRnnn010)1()()!1()()( 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件4 關(guān)于皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式的證明關(guān)于皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式的證明)(!)()(! 2)()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR nnxxxxxR)()(lim00 10)()(lim

3、0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR)( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx )()()()(lim!10)(00)1()1(0 xfxxxfxfnnnnxx 0)()(!10)(0)( xfxfnnn 應(yīng)用應(yīng)用 羅比達(dá)法則羅比達(dá)法則能否再用能否再用羅比達(dá)法則？羅比達(dá)法則？ 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義不能再用不能再用羅比達(dá)法則羅比達(dá)法則 ！2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件5)0()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2之之間間與與在在xxnfxnfxfxffxfnnnn 注意注意 .)(,00冪冪展展開(kāi)開(kāi)的的就就用用點(diǎn)

4、點(diǎn)的的泰泰勒勒公公式式xxx )()()!1()()(!)()(! 2)()()()(010)1(00)(200000之間之間與與在在xxxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnn 00 x2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件6 五個(gè)常用函數(shù)的五個(gè)常用函數(shù)的泰勒泰勒公式公式12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe 12212153! ) 12() 12(sin! ) 12() 1(!5!3sin kkkxkkkxxxxx )(!1!2112nnxxoxnxxe )(! ) 12() 1(!5!3sin212153kkkxokxxxxx 2021-11-20ch064

5、泰勒公式PPT課件722242! )22() 1(sin! )2() 1(!4!21cos kkkxkkkxxxx )(! )2() 1(!4!21cos12242 kkkxokxxxxnxxxxxnn 132) 1(32)1ln( 11)1)(1()1( nnnnx )() 1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件8112)1 (! ) 1()() 1(!) 1() 1(!2) 1(1)1 ( nnnxnnxnnxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件9)()1

6、(11132nnnxoxxxxx 1 )(! ! )2(! ! )32()1(211121nnkkkxoxkkxx 21 )(! ! )2(! ! )12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件10 求未定型極限求未定型極限 確定無(wú)窮小量的階確定無(wú)窮小量的階二、泰勒公式應(yīng)用舉例二、泰勒公式應(yīng)用舉例 近似計(jì)算：近似值、近似公式近似計(jì)算：近似值、近似公式 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 局部應(yīng)用局部應(yīng)用 區(qū)間應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件112

7、00000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)( 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),00 xnnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 兩兩個(gè)個(gè)公公式式的的誤誤差差分分別別為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()1(Mxfn 110! ) 1()(! ) 1()( nnnnxnMxRxxnMxR和和（一）近似公式（一）近似公式 棄去余項(xiàng)，得近似公式棄去余項(xiàng)，得近似公式2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件120)()1(0 xexfxnxxnxxe!1!2112 例如：例如：1)!1()( nnxnexR 誤差誤差!1!2111ne )!1(3)( nxR

8、n誤差誤差2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件13! ) 12() 1(!5!3sin12153 kxxxxxkk0sin)()2(0 xxxf2) 12(sin! ) 12()(122 kkxxRkk誤差誤差! ) 12()(122 kxxRkk例如：例如：xx sin 要使誤差小于要使誤差小于0.001，問(wèn)公式的適用范圍？，問(wèn)公式的適用范圍？101817. 0001. 063 xx2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件14.10,14 使使誤誤差差不不超超過(guò)過(guò)的的值值近近似似計(jì)計(jì)算算數(shù)數(shù)例例e! ) 1(!1!21111 nenex 令令.10?4 nRn才才可可以以

9、使使誤誤差差問(wèn)問(wèn)：取取解解nxxnxxe!1!2112 410! )1(3 nRn7, n只只需需取取經(jīng)經(jīng)試試算算!71!2111 e7182. 2718254. 2000198. 0001389. 0008333. 0041667. 0166667. 05 . 2 多取兩位！多取兩位！2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件15似似上上用用一一個(gè)個(gè)三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式近近在在區(qū)區(qū)間間例例41, 0231)1 ()( xxf令令)(34!21311)1(22231xRxxx .,13并并估估計(jì)計(jì)誤誤差差xx )10()1(3 !3741)(310332 xxxR其其中中得得取取的的展展

10、開(kāi)開(kāi)式式利利用用,31,)1( x解解2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件16所所以以32392311xxxxx 41, 0 x誤誤差差為為310432)1(3!374)(xxxxR 3431000068. 0413!374 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件17利利用用四四階階近近似似公公式式例例 36sin3xxx ?,0001. 0,sin問(wèn)問(wèn)公公式式的的使使用用范范圍圍若若要要求求精精確確到到時(shí)時(shí)近近似似計(jì)計(jì)算算x仍仍然然從從誤誤差差估估計(jì)計(jì)入入手手0001. 01201!51! 5)cos(5554 xxxxR 解解4129.0 x解解得得利利用用四四階階近

11、近似似公公式式即即,6sin3xxx .0001. 05 .234129. 0,sin誤誤差差可可小小于于限限制制角角度度時(shí)時(shí)計(jì)計(jì)算算 xx2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件18)sin()(cos11lim4222022xexxxxx 求求極極限限例例)(42121114422xoxxx 解解（二）求未定型極限（二）求未定型極限)(241211cos442xoxxx )(2114422xoxxex 利用皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式利用皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件19)sin()(cos11lim222022xexxxxx 25424112235

12、4810)()(limxxoxxxoxx )()(lim542354810 xoxxoxx 2522524258220)(1 )(1)(1 1lim442422xxoxxoxoxxxxxxx 121 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件20)1ln()13()1(11lim5320 xexxxxx 求求極極限限例例)(31113232xoxx 解解)(1xoxex 利用皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式利用皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式 2320320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 232310)()(lim3ln1xxoxxxoxx 3ln3

13、2)(lim3ln1222320 xxoxx2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件21)1ln()13()1(11lim:31320 xexxxxx 將將題題目目改改為為思思考考23132031320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 23132310)()(lim3ln1xxoxxxoxx 0)(lim3ln1220 xxox2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件22331320)1(11lim:xexxxx 將將題題目目改改為為思思考考331320) 1(11limxexxxx 32033132310)(lim)

14、()(limxxoxxoxxxoxxx 做不出來(lái)了！做不出來(lái)了！322213132310)()(limxxoxxxxoxx 61)(lim333610 xxoxx2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件23.311)(,0,6階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是對(duì)對(duì)于于時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)確確定定常常數(shù)數(shù)例例xbxaxexfxbax 即即要要求求根根據(jù)據(jù)題題意意 ,0)(lim30 Axxfx解解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x1)1)(1()( bxaxexfx)(1)(1 ()(!31!21133322332xxbxbbxaxxxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件2422)21()1()(xbabxba

15、xf 021012 babba)0121)(lim(21,2130 xxfbax.)(,0,21,21的的三三階階無(wú)無(wú)窮窮小小量量為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則所所以以取取xxfxba )()61(3332xxbab 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件25例例7 惠更斯弧長(zhǎng)近似公式惠更斯弧長(zhǎng)近似公式sBAC (dBC ABBACxr要求盡可能準(zhǔn)確地用近似公式要求盡可能準(zhǔn)確地用近似公式 bads 表示弧長(zhǎng)表示弧長(zhǎng) s，確定系數(shù)，確定系數(shù) a 和和 b解解.2,xr 圓圓心心角角為為設(shè)設(shè)半半徑徑為為)12061(2sin2513xxxrxrd )384048121(22sin2523xxxrxr

16、)1,0(21 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件26)3840120()48161()21(25213xbaxbxbarbad 由此得由此得又知又知rxs2 048161121 bba3831 ba32238dds 近似公式近似公式誤差誤差1805xr 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件2712,30: x即即圓圓心心角角例例如如誤差誤差000007. 0 r 應(yīng)用惠更斯弧長(zhǎng)近似公式計(jì)算得應(yīng)用惠更斯弧長(zhǎng)近似公式計(jì)算得523593. 0 rs實(shí)際上實(shí)際上523599. 0 rs2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件28例例8 證明不等式證明不等式 :2,

17、0sin2 xxxx證證2, 0sin2 xxx先先證證xxxf 2sin)( 研研究究函函數(shù)數(shù)余項(xiàng)泰勒公式余項(xiàng)泰勒公式展開(kāi)成三階帶拉格朗日展開(kāi)成三階帶拉格朗日在在20 x0)2( f 2)2( f1)2( f0)2( fxxfsin)()4( 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件2942)2(sin241)2(21)2(22sin)( xxxxxxf42)2(sin241)2(21)2(2xxx 2)2(21)2(2xx 0)2)(2(21 xx 2, 0sin2 xxx即即2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件302, 0sin xxx證證2, 0sin)( xxxx

18、g設(shè)設(shè)0)0( g0)0( g0cos)( g06cossin)(3 xxxxg 問(wèn)問(wèn): 此證法對(duì)不對(duì)？此證法對(duì)不對(duì)？0)0( g2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件31)()()(4)(,),(, 0)()(,)(92afbfabfbabfafbaxf 使使得得一一點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在則則在在且且上上二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)例例得得勒勒公公式式拉拉格格朗朗日日余余項(xiàng)項(xiàng)的的一一階階泰泰處處展展開(kāi)開(kāi)成成帶帶和和分分別別在在將將,)(bxaxxf 證證) 1 ()(!2)()()()(21axfaxafafxf )2()(!2)()()()(22bxfbxbfbfxf 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件32得得兩兩式式、代代入入取取,)2()1(,2bax 21)2(!2)()2)()()2(abfabafafbaf )2,(1baa 22)2(!2)()2)()()2(bafbabfbfbaf ),2(2bba 2021-11-20ch064泰勒公式PPT課件33于于是是得得由由于于, 0)()( bfaf21)2(! 2)()()2(abfafbaf 22)2(! 2)()()2(abfbfbaf 4)