ch112偏導數(shù)課件

1、2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件1一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法11.2 偏導數(shù)偏導數(shù)，設設Dyxyxfz ),(),(的的內(nèi)內(nèi)點點，是是點點DyxP),(視視作作常常數(shù)數(shù)，將將 y，一一個個改改變變量量給給xx ，使使DyxxP ),(則則zx ),(),(yxfyxxf 的的點點關關于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在xP偏偏增增量量類似地，類似地，的偏增量的偏增量點關于點關于函數(shù)在函數(shù)在yPzy ),(),(yxfyyxf 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件2處處，在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(00yxPyxfz 極限極限xzxx 0limxyx

2、fyxxfx ),(),(lim00000存存在在，的的偏偏導導數(shù)數(shù)，處處關關于于在在則則稱稱此此極極限限值值是是xyxPyxfz),(),(000 記為：記為：，也可以記為也可以記為),(),(0000yxfyxzxx 定定義義),(00yxxz ),(00yxxf 或者或者),(00yxzx),(00yxfx2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件3同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對 y的的偏偏導導數(shù)數(shù)， 為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為，也也可可以以記記為為),(),(0000yxfyxzyy ),(00yxy

3、z ),(00yxyf 或者或者),(00yxzy),(00yxfy2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件4如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數(shù)數(shù)， 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量 y的的偏偏導導數(shù)數(shù)， 記為：記為：，或或),(),(yxfyxzxx xz xf 或者或者),(yxzx),(yxfx記為：記為：，或或者者),(),(yxfyxzyy),

4、(yxzy ),(yxfy yz yf 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件5關于偏導數(shù)的幾點說明：關于偏導數(shù)的幾點說明：;)1(看看作作分分子子與與分分母母之之商商是是一一個個整整體體記記號號，不不能能xz 的的二二元元函函數(shù)數(shù)；仍仍然然是是yxyzxz,)2( 點點的的函函數(shù)數(shù)值值。在在處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)，是是函函數(shù)數(shù)在在點點),(),(),(),()3(0000yxyxfyxfyxyx（4）偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)）偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件6,),(),(lim)

5、,(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏偏導導數(shù)數(shù)仍仍然然適適用用；數(shù)數(shù)的的則則和和求求導導公公式式對對多多元元函函所所以以一一元元函函數(shù)數(shù)的的求求導導法法于于求求一一元元函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)，多多元元函函數(shù)數(shù)求求偏偏導導數(shù)數(shù)相相當當)5(（6）求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求。求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求。2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件7例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)解解 xz;32y

6、x yz.23yx )2, 1(xz,82312 )2, 1(yz.72213 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件8例例 2 2 設設yxz )1, 0( xx， 求證求證 zyzxxzyx2ln1 .證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件9二二元元函函數(shù)數(shù)，所所確確定定的的是是由由方方程程設設例例1lnsin3 xzzyxz及及求求yzxz 解解求偏導：求偏導：方程兩端同時對方程兩端同時對 xxcosxzzy 1z xzx 0 得到得到

7、zyxxzxz cos求求偏偏導導：方方程程兩兩端端同同時時對對 yzln yzzy 1yzx 0 得得到到zyxzyz ln2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件10例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件11.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5

8、解解,)0 , 0(),(時時當當 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx 并討論函數(shù)的連續(xù)性。并討論函數(shù)的連續(xù)性。2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件12,)0 , 0(),(時時當當 yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yx

9、yxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件13時時連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然，)0 , 0(),(),( yxyxf時時，當當)0 , 0(),( yx時時，趨趨近近于于沿沿著著直直線線當當)0 ,0(),(kxyyxP 222220001lim),(limkkxkxkxyxfxkxx 二二重重極極限限不不存存在在，結結論論：續(xù)續(xù)。偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在，不不一一定定連連數(shù)數(shù)也也不不一一定定存存在在。反反之之，函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，偏偏導導）處處連連續(xù)續(xù)，在在點點（例例如如：00),(

10、22yxyxf 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件14xxfxx 00)(lim)0 , 0(20 xxx 0lim不存在不存在也也不不存存在在。同同理理，)0 , 0(yf）處處偏偏導導數(shù)數(shù)不不存存在在，在在（ 00),(22yxyxf 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件15偏偏導導數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義表表示示一一個個曲曲面面，),(yxfz xyz0y0M),(0yxfz 0 x),(0yxfz 取曲面上一點取曲面上一點) ),(,(00000yxfyxM，作平面作平面過過00yyM 則交線則交線 0),(yyyxfz上上的的曲曲線線是是平平面面),(00yxf

11、zyy 于是，于是，0),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx即即軸的斜率軸的斜率處的切線對處的切線對就是曲線在就是曲線在 tan0 xM2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件16。軸軸夾夾角角處處切切線線與與在在點點求求曲曲線線例例 yxyxzC)21,1,2(24212:622 解解)1 , 2(yz )1 , 2(y , 1 , 1tan 即即。夾角夾角4 00000),(),(Mxxyxfzyxfy在在的的幾幾何何意意義義是是曲曲線線 .軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對對 y2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件17),(),(yxfyxxf xyxfx ),(

12、),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得二、全微分的概念二、全微分的概念1、定義、定義2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件18全增量的概念全增量的概念時時，量量在在兩兩個個自自變變量量同同時時有有增增yxyxfz ,),(函函數(shù)數(shù)值值的的增增量量),(),(yxfyyxxfz 處的處的在點在點稱為稱為),(),(yxyxf全全增增量量2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件19全微分的定義全微分的定義的

13、的全全增增量量在在點點若若函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz ),(),(yxfyyxxfz 可表示為可表示為)( oyBxAz ，不依賴于不依賴于其中其中yxBA ,有關，有關，僅與僅與yx,，22)()(yx 可可微微分分，在在則則稱稱),(),(yxyxfz 稱稱為為而而yBxA 的的全全微微分分，在在),(),(yxyxfz ，或或記記作作),(ddyxfz即即yBxAz d2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件202、可微的條件、可微的條件1定理定理處可微，處可微，在點在點若函數(shù)若函數(shù)),(),(yxyxfz 則則函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)；在在點點),()1(yx必必存存在在，且且

14、的的偏偏導導數(shù)數(shù)在在點點yzxzyx ,),()2(yyzxxzzddd 可可微微的的必必要要條條件件）( 若若函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件21證明證明)1(可可微微，在在點點若若),(),(yxyxfz 則則有有)( oyBxAz 無關，無關，與與其中其中yxBA ,，22)()(yx 因因而而有有zyx 00lim)(lim00 oyx )(lim0 o 0 從從而而),(),(lim00yxfyyxxfyx 0 即即),(),(lim00yxfyyxxfyx 處

15、連續(xù)處連續(xù)在點在點所以所以),(),(yxyxfz 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件22)2(可可微微，在在點點若若),(),(yxyxfz 則有則有)(),(),( oyBxAyxfyyxxf 無關，無關，與與其中其中yxBA ,，22)()(yx |)(|),(),(xoxAyxfyxxf 因因而而有有xxoxAxyxfyxxfxx |)(|lim),(),(lim00A 即即Axz 同理可得：同理可得：Byz yyzxxzzddd 當當0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時|x ,2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件23一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在一元函數(shù)在某點的

16、導數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(處處有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff 點點的的可可微微性性：在在以以下下討討論論)0 , 0(),(yxf)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件24,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于

17、 0,0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件25說明說明：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導導數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx可可微微分分注意：注意：的的充充分分條條件件，偏偏導導連連續(xù)續(xù)僅僅是是函函數(shù)數(shù)可可微微而而非非必必要要條條件件全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三

18、元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 有：有：對于對于),(zyxfu 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件26多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微之間的關系多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微之間的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件27例例 7 7 計算函數(shù)計算函數(shù)xyez 在點在點)1 , 2(處的全微分處的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件2

19、8例例 8 8 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當，當4 x， y，4 dx， dy時的全微分時的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件29例例 9 9 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件30例例 1010 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 ,

20、0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0 , 0(連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點)0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點在點)0 , 0(可微可微. 證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件31 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故故函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(連連續(xù)續(xù),當當)0 ,

21、0(),( yx時時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當當點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件32所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 1sinyx x 0 02021-11-20ch112

22、偏導數(shù)PPT課件33故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df)()(22yxo )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 說明說明: 此題表明此題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件34可知當可知當三、全微分在數(shù)值計算中的應用三、全微分在數(shù)值計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf(可用于近似計算可用于近似計算; 誤差分析誤差分析) (可用于近似計算可用于近似計算) 2021-11-20ch112偏導數(shù)PPT課件35的的近近似似值值計計算算例例02. 2)96. 0(10解解，