基于考題分析的圓錐曲線內(nèi)容備考探究

1、    基于考題分析的圓錐曲線內(nèi)容備考探究    羅義銘+湯強摘 要： 2016年全國將有26個省（市）使用全國統(tǒng)一命題試卷，而且圓錐曲線是每年高考中的一個必考內(nèi)容，那么全國統(tǒng)一命題試卷在圓錐曲線的考查有什么樣的特點？針對這些特點，如何備考呢？本文主要通過對六年的全國卷高考試題圓錐曲線部分進行分析研究，以期對復(fù)習(xí)備考有些許指導(dǎo)意義.關(guān)鍵詞： 圓錐曲線 全國卷 備考圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)課程中解析幾何部分的核心內(nèi)容，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)幾何的重要基礎(chǔ).由于它具有豐富的思想性（其包含了大量的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，函數(shù)與方程思想

2、、函數(shù)與不等式思想、整體思想、待定系數(shù)法、坐標法等）、較強的綜合性（它能很好地與其他知識（如函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、三角等）相結(jié)合）、計算的復(fù)雜性（運算量大）、題目的靈活性（形式多變，題源背景豐富）等特點，它能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、運算求解能力、分析問題和解決問題的能力和情感意志等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因而成為數(shù)學(xué)高考中的一個必考熱點1.隨著教育公平的不斷推進，2016年全國將有26個?。ㄊ校┦褂萌珖y(tǒng)一命題試卷，那么在這樣的背景下，對于圓錐曲線這一必考內(nèi)容，應(yīng)如何備考以迎接即將到來的高考呢？在此對近六年的全國新課標卷的圓錐曲線考題進行初步分析，以期對備考有些許指導(dǎo)意義.1.考題解讀1.1考題所

3、涉內(nèi)容分析。圓錐曲線的考查主要以橢圓、雙曲線、拋物線及其中二者的綜合為對象，考查形式主要有選擇題、填空題和解答題三種形式，其中選擇題與填空題、解答題在表1中分別以“小”、“大”代替.自2010年出現(xiàn)全國新課標卷以來，全國統(tǒng)一命題的新課標卷共18套，文、理各9套，其中2013、2014、2015年這三年每年有全國新課標卷、兩套，2010、2011、2012年每年僅有1套全國新課標卷，其在圓錐曲線的考查對象上的數(shù)據(jù)如表1.表1 20102015年全國新課標卷（理科）圓錐曲線考查內(nèi)容分布情況從表1和表2我們可以看出，在近六年的新課標全國卷中，從總體上看，無論是文科還是理科，對圓錐曲線的考查都是以橢圓

4、為主要考查對象，在選擇、填空、解答三種題型中均有分布，基本上以“兩小一大”的方式考查，其中解答題共考查了8次，分值達94分之多，選擇和填空共考查了8次，分值占40分，累計考查分數(shù)為134分；拋物線以解答題的形式考查了3次，分值為36分，以選擇和填空的形式考查了8次，分值為40分，累計考查分數(shù)為76分；對于雙曲線則全部以選擇或填空題的方式進行考查，共12次，分值為60分.這無疑說明了全國新課標卷對雙曲線、拋物線的要求大大降低了，同時又相應(yīng)提升了橢圓的地位，這對我們的復(fù)習(xí)備考有著重要的指向作用2.1.2考題所涉具體知識點分析。由于圓錐曲線的綜合性較強，對它的考查往往與其他知識相結(jié)合進行，從總體上來

5、看，其考查的知識點主要圓錐曲線的定義、圓錐曲線的標準方程、離心率、準線、漸近線、弦長公式、切線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、點到直線的距離、兩直線的位置關(guān)系、直線的傾斜角、斜率與方程、兩直線平行或垂直、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積、平面向量等.在近六年的全國新課標卷中，對各部分知識的考查情況下如表2：表3 2010-2015年全國新課標卷圓錐曲線知識點考查分布情況注：由于高考屬于選拔性考試，因此其具有綜合性，對各知識點的考查往往以綜合性為主，在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上很少出現(xiàn)某單一知識點的考查，往往以知識點的綜合、穿插的方式進行考查，因而表中所統(tǒng)計的知識點考查次數(shù)，會比實際考

6、題數(shù)目多.其中未填數(shù)字的空格表示該考點在對應(yīng)年份未考查到.從表3中，我們可以看出，在近六年的新課標全國卷中，對圓錐曲線知識點上的考查，主要以圓錐曲線的離心率、圓錐曲線的方程、圓錐曲線與直線的位置關(guān)系為主，同時兼顧圓錐曲線的定義、準線、焦點等其他性質(zhì).這無疑對我們的備考方向有著重要的指示作用.1.3考題意圖分析。在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力層面，近六年的全國新課標試題中，主要對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想；數(shù)學(xué)運算能力、推理論證能力、創(chuàng)新能力等進行了著重考查；在思維與能力的考查上，充分體現(xiàn)了“多考一些思維，少考一些運算”的命題理念，因而近六年全國新課標卷圓錐曲線大

7、多數(shù)的解答題的運算量大大降低，但更突出了對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想的考查，甚至在一些題目中，這些數(shù)學(xué)思想的運用與否直接決定了相應(yīng)題目的解答速度與準確程度的高低.例如：（2015年新課標全國卷第20題）在直角坐標系xoy中，曲線c：y=與直線l：y=kx+a（a>0）交于m，n兩點.（1）當k=0時，分別求c在點m和n處的切線方程；（2）y軸上是否存在點p，使得當k變動時，總有opm=opn？說明理由.此題的第一個問雖然比較簡單，計算量小，但它考查了學(xué)生的函數(shù)與方程的思想，通過導(dǎo)數(shù)方程求解.第二問是一個探索性問題，具有很強的開放性，其解法多樣，但眾多解法均離不開

8、數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分類討論思想的應(yīng)用；而且在本題中轉(zhuǎn)化與化歸思想的作用顯得尤為突出.首先在解答過程中必須把“opm=opn”這一條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達式，其次要選擇合適的轉(zhuǎn)化方式（如轉(zhuǎn)化為：“k+k=0”）才能減少計算量，使問題得到簡化.這樣的例子不勝枚舉，在此就不一一列舉了.從這些例子可以看出，全國卷在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上，更側(cè)重數(shù)學(xué)思想方法的考查，在數(shù)學(xué)思想方法的考查中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，相對以前的試題，在計算量上有所降低，在思維量上有所上升，即“重思維，少計算”. 2.備考建議通過前面對近六年全國卷圓錐曲線部分考題的粗略分析，從題型上看，可發(fā)現(xiàn)每年全國新課標卷對圓錐曲線部

9、分的考查基本上都以一道選擇、一道填空題、一道解答題，即“兩小一大”的形式來考查，分值基本穩(wěn)定在22分左右，個別年份有變動；從內(nèi)容上看，解答題主要以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的方程為主，選擇、填空則以考查圓錐曲線的性質(zhì)（離心率、焦點、準線等）為主，其中圓錐曲線的離心率的考查又為之最，而且在各考查對象中，以橢圓為主，雙曲線、拋物線次之，而且有拋物線、雙曲線的考查主要以它們所具有的特殊性質(zhì)為主；從考查意圖上看，更重在對數(shù)學(xué)思維的考查，對計算能力的要求有所降低，題目更靈活.因此在備考中要注意以下幾點：2.1抓住重點，主次分明，有的放矢。在復(fù)習(xí)備考中，要以橢圓為主，以拋物線、雙曲線為輔；以橢

10、圓的性質(zhì)類比學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的性質(zhì)；通過類比和對比加深對橢圓、拋物線、雙曲線的理解，還要著重強調(diào)拋物線、雙曲線所具有的不同于橢圓的特殊性質(zhì)及三者之間的聯(lián)系.2.2重視基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)基本技能。在前面的分析中，我們可以看出，圓錐曲線的第一、第二定義考查高達6次之多，求圓錐曲線的標準方程共考查了12次，對圓錐曲線的基本性質(zhì)考查更加突出，例如單單是離心率就考查了15次，漸近線、準線分別考查了5次、7次；這些都是圓錐曲線中最基礎(chǔ)的知識要點，卻在高考中反復(fù)出現(xiàn)，這無疑啟發(fā)我們在復(fù)習(xí)備考中要重視基礎(chǔ)，加強基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學(xué)與訓(xùn)練.其次，由于圓錐曲線解答題的綜合性較強，對思維能力要求較

11、高，往往一下子看出思路，因此必須要求學(xué)生熟練掌握這些概念、性質(zhì)及其之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，以為解題奠定堅實的基礎(chǔ)、為思路的拓展做好準備.2.3分類解析已考試題，總結(jié)方法規(guī)律、滲透解題思想。教師要對近幾年已考試題進行深入分析，將考查題型、知識點及解題思想等方面的共性加以總結(jié)，尤其要把不同題型的解題方式方法等策略性知識顯性化，使學(xué)生能夠在對題目的整體把握的基礎(chǔ)上迅速理清解題思路、明確解題步驟，從而提高思維能力.如：定值定點問題、取值范圍問題、最值問題、存在性問題等各自均有不同的處理方式、不同的解答思維，老師要對近幾年高考題進行分類解析，總結(jié)其中具有規(guī)律性的解題思路.其次，要對各考題中思想方法進行滲透

12、，如：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目中要利用對直線斜率的討論、存在性問題中對一些特殊情況的討論題目等滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，在圓錐曲線的幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，在圓錐曲線計算推理中滲透整體思想、設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法等.2.4注重知識綜合，強調(diào)交叉滲透。圓錐曲線這部分內(nèi)容的考查中常常以綜合性考法為主，很少出現(xiàn)對單一知識點的考查，因而在教學(xué)中不僅要使學(xué)生掌握圓錐曲線的單個知識點，更要讓學(xué)生理解各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別及運用這些知識解題的思維過程.還要以圓錐曲線知識為主線聯(lián)系其他相關(guān)知識（如：向量、函數(shù)、不等式、直線方程、平面幾何等），使學(xué)生所學(xué)知識形成一個相互聯(lián)系的有機整體，從而促進思維能力