高考復(fù)數(shù)的知識題型總結(jié)歸類

1、高考復(fù)數(shù)的知識題型總結(jié)一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）復(fù)數(shù)1. 定義：形如 abi （a，br）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i 叫做虛數(shù)單位，滿足 i21. （i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1）2. 表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi （a，br） ，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式， a 叫做復(fù)數(shù) z 的實(shí)部，b 叫做復(fù)數(shù) z 的虛部 .（注意 b 是虛部而不是bi ）（2）復(fù)數(shù)集1. 定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集. 2. 表示：大寫字母 c. （3）復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系( 4 )復(fù)數(shù)相等的充要條件abi cdi ? ac 且 bdabi 0

2、?ab0. （a,b,c,d均為實(shí)數(shù)）說明：要求復(fù)數(shù)相等要先將復(fù)數(shù)化為zabi （a，br）的形式，即分離實(shí)部和虛部. 二、復(fù)平面的概念點(diǎn) z 的橫坐標(biāo)是 a，縱坐標(biāo)是 b，復(fù)數(shù) z=a+bi (a、br) 可用點(diǎn) z( a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面， x 軸叫做 實(shí)軸，y 軸叫做虛軸 實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)（1）實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)（2）虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)（3）原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0) 三、復(fù)數(shù)的兩種幾何意義（1）復(fù)數(shù)zabi （a，br）對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）. （2）復(fù)數(shù)zabi （a，br）平面向量oz四、復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi （a，br

3、）對應(yīng)的向量為oz，則oz的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作 |z| ，且注意：兩個(gè)虛數(shù)是不可以比較大小的，但它們的模表示實(shí)數(shù)，可以比較大小. 五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè) z1=a+bi ，z2=c+di (a、b、c、dr) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，z1與 z2的加法運(yùn)算律： z1+z2=(a+bi )+( c+di )=( a+c)+( b+d)i .z1與 z2的減法運(yùn)算律： z1- z2=(a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d)i . z1與 z2的乘法運(yùn)算律： z1z2= ( a+bi )( c+di )=( acbd)+( bc+ad)i . z1與z2的除法運(yùn)算律：z1z2=(a+b

4、i )(c+di )=（分母要利用平方差實(shí)數(shù)化）六、共軛復(fù)數(shù)1. 定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等， 虛部互為相反數(shù)時(shí)， 這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，虛部不等于 0 的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)通常記 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為。例如=35i 與=35i 互為共軛復(fù)數(shù)2. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是它本身（2）（3）兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱七、常用結(jié)論（1），（2）ii212（3）ii1（4）iii11（5）iii11（6）22babiabia題型分類題型一：復(fù)數(shù)定義的考查1.設(shè)有下面四個(gè)命題：若復(fù)數(shù)z滿足，則；：若復(fù)數(shù)z滿足，則；：若復(fù)數(shù)，滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則其中的真命題為a. ，b

5、. ，c. ，d. ，解：若復(fù)數(shù)z滿足，則，故命題為真命題；：復(fù)數(shù)滿足，則，故命題為假命題；：若復(fù)數(shù)，滿足，但，故命題為假命題；：若復(fù)數(shù)，則，故命題為真命題故選b2. 下列命題：若 ar ，則（ a1）i 是純虛數(shù)；若 a，br ，且 ab，則 ai bi ；若（ x24）（ x23x2）i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x2；實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集. 其中正確的是（）a.b. c. d.解：對于復(fù)數(shù)abi （a，br） ，當(dāng)a0且b0 時(shí)，為純虛數(shù) . ，若a 1，則（a1）i 不是純虛數(shù)，即錯(cuò)誤，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，則錯(cuò)誤. ，若x 2，則x240，x23x20，此時(shí)（x24）（x23x2）i 0，不

6、是純虛數(shù)，則錯(cuò)誤. ，顯然正確 . 故選 d. 3. 給出下列命題：若，則；若a，且，則；若，則是純虛數(shù)；若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限其中正確的命題是_ 填上所有正確命題的序號解：若，則不成立比如；因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以不成立；，則不一定是純虛數(shù)，比如就不是純虛數(shù)，故不成立；，則對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第一象限，故成立故答案為：4. 關(guān)于復(fù)數(shù)，下列命題：若，則；若 z 是實(shí)數(shù)，則；若 zi 是純虛數(shù)，則；若，則其中真命題個(gè)數(shù)為a. 1b. 2c. 3d. 4解：若，即，得，所以，故為真命題；因?yàn)椋?z是實(shí)數(shù)，則，故為真命題；因?yàn)椋?zi 是純虛數(shù)，則，故為真命題；因?yàn)?，即，從而可?/p>

7、，解得：，即，故假命題綜上，其中真命題有：，共 3 個(gè)題型二、復(fù)數(shù)分類1.設(shè)，若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解：依題意得所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是依題意得所以檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足符合題意所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2. 當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)為純虛數(shù)；為實(shí)數(shù)；對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限解：復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則由，得，即若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則，得或在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，即，解得或3.當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)lg （m22m7）（m25m6）i 是（1）純虛數(shù)；（2）實(shí)數(shù) . 解： （1）lg （m22m7）0，m25m60，解得m4. （2）m22m70，m25m60，解得m2 或m

8、 3. 4 已知復(fù)數(shù)zm(m1)(m22m3)i(mr) (1) 若z是實(shí)數(shù)，求m的值；(2) 若z是純虛數(shù)，求m的值；(3) 若在復(fù)平面c內(nèi)，z所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍解：(1) z為實(shí)數(shù)，m22m30，解得m 3 或m1. (2) z為純虛數(shù)，mm1 0，m22m30.解得m0. (3) z所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，mm1 0，m22m 30.解得 3m0.題型三、復(fù)數(shù)的相等1.已知i是虛數(shù)單位，a，得“”是“”的a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件解：當(dāng)“”時(shí)，“”成立，故“”是“”的充分條件；當(dāng)“”時(shí)，“”或“”，故“”不是“”的

9、必要條件；綜上所述，“”是“”的充分不必要條件2. （ 1）若（xy）yi （x1）i ，求實(shí)數(shù)x，y的值；（ 2）已知a2（m2i ）a2mi 0（mr）成立，求實(shí)數(shù)a的值；解：（1）由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得xy0，yx1，解得x12，y12.（2）因?yàn)閍，mr，所以由a2am2（ 2am）i 0，可得a2am2 0，2am0，解得a2，m 22或a2，m22，所以a2. 題型四：復(fù)平面1、已知復(fù)數(shù)z（a21）（2a1）i ，其中ar. 當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)z滿足下列條件時(shí)，求a的值（或取值范圍）. （1）在實(shí)軸上；（2）在第三象限 . 解： （1）若對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則有2a1 0，

10、解得a12. （2）若z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則有a210，2a10.解得 1a12. 故a的取值范圍是 1，12. 2、求實(shí)數(shù)a取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)za2a2（a23a2）i 的點(diǎn)（1）位于第二象限；（2）位于直線yx上. 解：復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)za2a2（a2 3a2） i 的點(diǎn)就是點(diǎn)z（a2a2，a2 3a2）. （1）由點(diǎn)z位于第二象限，得a2a20，解得 2a1. 故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，1）. （2）由點(diǎn)z位于直線yx上，得a2a2a23a2，解得a1. 故滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為 1. 題型五、復(fù)數(shù)的模1. 已知復(fù)數(shù)z滿足z|z| 28i ，求復(fù)數(shù)z. 解：設(shè)zab

11、i （a，br） ，則|z| a2b2，代入原方程得abi a2b228i ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得aa2b22，b8，解得a 15，b8.所以z 158i. 2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則_ 解：由，得，設(shè)，由，得，即，解得：則題型六、共軛復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)是a. b. c. d. 解：化簡可得，的共軛復(fù)數(shù)2. 若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)a. b. c. 4d. 5解：復(fù)數(shù)，a、，即，解得，3. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限解：復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為即共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在第四象限題型

12、七、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限解：，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，它對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為a. b. c. 4id. 4解：由題意，的虛部為3. 設(shè)的實(shí)部與虛部相等，其中a 為實(shí)數(shù)，則 a 等于a. b. c. 2d. 3解：的實(shí)部與虛部相等，可得：，解得4. 設(shè)，則a. 2b. c. d. 1解：由，得5. 已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 _解：，i為虛數(shù)單位，由為實(shí)數(shù)，可得，解得6.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的實(shí)部為 _解：由，得，的實(shí)部為1題型八、復(fù)數(shù)的幾何意義1.已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位求復(fù)數(shù)z；若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：，是實(shí)數(shù)，即，復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，解得，即2. 復(fù)數(shù)，則的最大值是 _解：根據(jù)題意，有，則表示的點(diǎn)為距離原點(diǎn)距離為3 的點(diǎn)，即以原點(diǎn)為圓心，的圓，那么的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分析可得的最大值是，即3. 復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是 _解：復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z到點(diǎn)的距離為1，的幾何意義是復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)，與的距離，所求的最小值為：，4. 如圖，已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形abcd中，點(diǎn)a對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 求d點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)； 求平行四邊形abc