高考數(shù)學(xué)(理)(人教)大一輪復(fù)習(xí)文檔講義：第十三章合情推理與演繹推理

1、1合情推理(1)歸納推理定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納 )特點(diǎn)：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比 )特點(diǎn)：由特殊到特殊的推理(3)合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理2演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演

2、繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情況；結(jié)論 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(4)“所有 3 的倍數(shù)都是9 的倍數(shù)，某數(shù)m 是 3 的倍數(shù)，則m 一定是 9 的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,

3、3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nn*)()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()1觀察下列各式：a b1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于 ()a28 b 76c123 d199答案c解析從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10 b10123.2下面幾種推理過程是演繹推理的是()a在數(shù)列 an 中， a11， an12(an11an1)(n2)，由此歸納數(shù)列 an的通項(xiàng)公式b由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)c兩直線平行， 同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 如果

4、 a 和 b 是兩條平行直線與第三條直線形成的同旁內(nèi)角，則 a b 180d某校高二共10 個(gè)班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推測(cè)各班都超過50 人答案c解析a、d 是歸納推理， b 是類比推理， c 符合三段論模式，故選c.3 (2017 濟(jì)南調(diào)研 )類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行則正確的結(jié)論是_答案解析顯然 正確；對(duì)于 ，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，

5、也可以異面或相交；對(duì)于，在空間中垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交4(教材改編 )在等差數(shù)列 an 中，若 a100，則有 a1a2 an a1 a2 a19n (n19，nn*)成立，類比上述性質(zhì)， 在等比數(shù)列 bn中， 若 b91， 則存在的等式為_答案b1b2bn b1b2b17n(n17，nn*)解析利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，b29b1n b17 n，可知存在的等式為b1b2bnb1b2b17n(n17，nn*)5(2017 西安質(zhì)檢 )觀察下列式子：1,121,1 2321,1234321，由以上可推測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于nn*,1 2 n 21_.答案n2解析

6、 112,12122,1 232132，12343 2142，歸納可得12 n 21n2.題型一歸納推理命題點(diǎn) 1與數(shù)字有關(guān)的等式的推理例 1(2016 山東 )觀察下列等式：sin 32 sin 2324312；sin 52 sin 252 sin 352 sin 452432 3；sin 72 sin 272 sin 372sin 6724334；sin 92 sin 292 sin 392sin 8924345；照此規(guī)律，sin 2n12 sin 22n12 sin 32n12sin 2n2n12 _.答案43n(n1)解析觀察等式右邊的規(guī)律：第1 個(gè)數(shù)都是43，第 2 個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)行數(shù)n，

7、第 3 個(gè)數(shù)為 n1.命題點(diǎn) 2與不等式有關(guān)的推理例 2(2016 山西四校聯(lián)考)已知 x(0， )， 觀察下列各式： x1x2，x4x2x2x24x23，x27x3x3x3x327x34，類比得xaxnn 1(nn*)，則 a_.答案nn解析第一個(gè)式子是n1 的情況，此時(shí)a111；第二個(gè)式子是n2 的情況，此時(shí)a224；第三個(gè)式子是n3 的情況，此時(shí)a 3327，歸納可知a nn.命題點(diǎn) 3與數(shù)列有關(guān)的推理例 3古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第 n個(gè)三角形數(shù)為n n 1212n212n，記第 n 個(gè) k 邊形數(shù)為n(n，k)(k3)，以下列出了部

8、分k 邊形數(shù)中第n 個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)n(n,3)12n212n，正方形數(shù)n(n,4)n2，五邊形數(shù)n(n,5)32n212n，六邊形數(shù)n(n,6)2n2 n.可以推測(cè)n(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算n(10,24) _.答案1 000解析由 n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)， n(n，k)k22n24k2n，n(10,24)24221004242101 1001001 000.命題點(diǎn) 4與圖形變化有關(guān)的推理例 4(2017 大連調(diào)研 )某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1 年到第5 年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計(jì)第10 年樹的分枝數(shù)為()a21 b

9、34 c52 d55答案d解析由 2 11,312,523 知，從第三項(xiàng)起， 每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，則第 6 年為8，第 7 年為 13，第 8 年為 21，第 9 年為 34，第 10 年為 55，故選 d.思維升華歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解(2)與不等式有關(guān)的推理觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解(3)與數(shù)列有關(guān)的推理通常是先求出幾個(gè)特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可(4)與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?1)(201

10、5 陜西 )觀察下列等式：11212，11213141314，11213141516141516，據(jù)此規(guī)律，第 n個(gè)等式可為 _(2)(2016撫順模擬 )觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是_答案(1)112131412n112n1n11n 212n(2)183解析(1)等式左邊的特征：第 1 個(gè)等式有2 項(xiàng)，第 2 個(gè)有 4 項(xiàng)，第 3 個(gè)有 6 項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第 n個(gè)等式左邊有2n 項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò)， 應(yīng)為 112131412n112n； 等式右邊的特征：第 1 個(gè)有 1 項(xiàng)，第 2 個(gè)有 2 項(xiàng)，第 3 個(gè)有 3 項(xiàng)，故第n 個(gè)有 n 項(xiàng)，且由前幾個(gè)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第 n個(gè)等式右邊應(yīng)

11、為1n11n2 12n.(2)由前兩個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個(gè)數(shù)的平方和，“ x”處應(yīng)填的數(shù)字是325272102183.題型二類比推理例 5(1)(2017 西安月考 )對(duì)于命題： 如果 o 是線段 ab 上一點(diǎn)， 則|ob|oa|oa|ob0；將它類比到平面的情形是：若o 是 abc 內(nèi)一點(diǎn)，有sobc oasoca obsoba oc0；將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若o 是四面體abcd 內(nèi)一點(diǎn)，則有_(2)求111的值時(shí)，采用了如下方法：令111 x，則有x1 x， 解得 x152(負(fù)值已舍去 ) 可用類比的方法， 求得 11211121的值為 _答案(1)vobcd oavoac

12、d obvoabd ocvoabc od0(2)132解析(1)線段長(zhǎng)度類比到空間為體積，再結(jié)合類比到平面的結(jié)論，可得空間中的結(jié)論為vobcd oa vo acd obvo abd ocvo abc od0.(2)令 1121 x，則有 1121xx，解得 x132(負(fù)值已舍去 )思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形abc 三條邊上的高， p 為三角

13、形內(nèi)任一點(diǎn)，p 到相應(yīng)三邊的距離分別為pa， pb，pc，我們可以得到結(jié)論：pahapbhbpchc1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為_答案pahapbhbpchcpdhd1解析設(shè) ha，hb，hc，hd分別是三棱錐abcd 四個(gè)面上的高，p 為三棱錐abcd 內(nèi)任一點(diǎn)， p 到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為pa，pb，pc，pd，于是可以得出結(jié)論：pahapbhbpchcpdhd1.題型三演繹推理例 6設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，滿足 4sna2n14n 1，nn*，且 a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明： a24a1 5；(2)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(3)證明

14、：對(duì)一切正整數(shù)n，有1a1a21a2a31anan10，a24a15.(2)解當(dāng) n2 時(shí)， 4sn1a2n4(n 1)1，4an4sn4sn 1a2n1a2n4，即 a2n1a2n4an 4(an2)2，又 an0，an 1an2，當(dāng) n2 時(shí)， an 是公差為 2 的等差數(shù)列又 a2， a5，a14成等比數(shù)列，a25a2 a14，即 (a26)2a2(a224)，解得 a23.由(1)知 a11，又 a2 a1312，數(shù)列 an 是首項(xiàng) a11，公差 d2 的等差數(shù)列an2n 1.(3)證明1a1a21a2a31anan1113135157 12n1 2n112(113)(1315)(12

15、n 112n 1)12(112n1)12.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提(1)某國家流傳這樣的一個(gè)政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)a大前提錯(cuò)誤b小前提錯(cuò)誤c推理形式錯(cuò)誤d非以上錯(cuò)誤(2)(2016洛陽模擬 )下列四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()a大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：是無限不循環(huán)小數(shù)b大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提

16、：是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)c大前提： 是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)d大前提： 是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)答案(1)c(2)b解析(1)因?yàn)榇笄疤?“鵝吃白菜 ”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜 ”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯(cuò)誤(2)a 中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故a 錯(cuò)誤； c、d 都不是由一般性命題到特殊性命題的推理，所以c、d 都不正確，只有b 正確，故選b.10高考中的合情推理問題考點(diǎn)分析

17、合情推理在近年來的高考中，考查頻率逐漸增大，題型多為選擇、填空題，難度為中檔解決此類問題的注意事項(xiàng)與常用方法：(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納(2)解決類比問題，應(yīng)先弄清所給問題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題典例(1)傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列 an，將可被 5 整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列 bn ，可以推測(cè)：b2 014是數(shù)列 an的第 _項(xiàng)；b2k1 _.(用 k 表示 )(2)設(shè) s， t 是 r

18、 的兩個(gè)非空子集， 如果存在一個(gè)從s到 t的函數(shù) yf(x)滿足： (i)tf(x)|xs；(ii) 對(duì)任意 x1，x2s，當(dāng) x1x2時(shí)，恒有 f(x1)f(x2)那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是_an*，bn；a x|1x3，b x|x 8 或 0 x10 ；a x|0 x1 ，br；az，bq.解析(1)an12 nn n12，b1452 a4，b2562 a5，b39 252a9，b425 112a10，b514 3 52 a14，b635 162 a15，b2 0142 014252 0142512a5 035.由知 b2k12k112512k112525k

19、 5k12.(2)對(duì)于，取f(x)x1， xn*，所以 an*，bn 是“保序同構(gòu)”的，故排除；對(duì)于，取f(x) 8，x 1，x1， 1x0，x21，0 x3，所以 a x|1 x3， b x|x 8 或 0 x10是“保序同構(gòu)”的，故排除；對(duì)于，取f(x)tan( x2)(0 x1)，所以 a x|0 x0 且 a1)是增函數(shù)，而函數(shù) y12logx是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以y12logx是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是()a大前提錯(cuò)誤b小前提錯(cuò)誤c推理形式錯(cuò)誤d大前提和小前提都錯(cuò)誤答案a解析因?yàn)楫?dāng) a1 時(shí)， ylogax 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0a|ab|，則 p 點(diǎn)的軌跡為橢圓b由 a11，an3

20、n 1，求出 s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n 項(xiàng)和 sn的表達(dá)式c由圓 x2 y2 r2的面積 r2，猜想出橢圓x2a2y2b21 的面積 s abd科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案b解析從 s1，s2，s3猜想出數(shù)列的前n 項(xiàng)和 sn，是從特殊到一般的推理，所以 b 是歸納推理，故應(yīng)選 b.3(2016 西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，則式子 3?5是第 ()a22 項(xiàng)b23 項(xiàng)c24 項(xiàng)d25 項(xiàng)答案c解析兩數(shù)和為2 的有 1 個(gè)，和為3 的有 2 個(gè)，和為4 的有 3 個(gè)，和為5 的有 4 個(gè)，和為6的有

21、5個(gè)，和為7 的有 6 個(gè)，前面共有21 個(gè)， 3?5 是和為 8 的第 3 項(xiàng)，所以為第24 項(xiàng)4(2016 泉州模擬 )正偶數(shù)列有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：246； 810 121416； 18202224262830，按照這樣的規(guī)律，則2 016 所在等式的序號(hào)為()a29 b30 c31 d32答案c解析由題意知，每個(gè)等式正偶數(shù)的個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列3,5,7， ，2n1，其前n 項(xiàng)和snn3 2n1 2n(n 2)且 s311 023， 即第 31 個(gè)等式中最后一個(gè)偶數(shù)是1 02322 046，且第 31 個(gè)等式中含有63 個(gè)偶數(shù)，故2 016 在第 31 個(gè)等式中5若數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列

22、bn( bna1a2 ann)也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列 cn是等比數(shù)列，且 dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為 ()adnc1c2 cnnb dnc1 c2 cnncdnncn1cn2 cnnnddnnc1 c2 cn答案d解析若 an是等差數(shù)列，則a1a2 an na1n n12d，bna1n12dd2na1d2，即 bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則 c1 c2 cn cn1 q12(n1)c112n nq，dnnc1 c2 cn c112nq，即 dn 為等比數(shù)列，故選d.6把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成如圖所示的三角形數(shù)表，設(shè)aij(i，jn*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上

23、往下第i 行， 從左往右數(shù)第j 個(gè)數(shù)，如 a428， 若 aij2 009， 則 i 與 j 的和為 _答案107解析由題可知奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列， 2 00921 0051， 所以 2 009 為第 1 005個(gè)奇數(shù)，又前31 個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)為961，前 32 個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)為1 024，故 2 009在第 32 個(gè)奇數(shù)行內(nèi)， 則 i63，因?yàn)榈?63 行第 1 個(gè)數(shù)為 2962 11 923,2 0091 923 2(j1)，所以 j44，所以 ij107.7若 p0(x0，y0)在橢圓x2a2y2b21(ab0)外，過 p0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)分別為p1，p2，則切點(diǎn)

24、弦p1p2所在的直線方程是x0 xa2y0yb21，那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若p0(x0， y0)在雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)外，過 p0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為p1，p2，則切點(diǎn)弦p1p2所在直線的方程是_答案x0 xa2y0yb2 1解析設(shè) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則 p1，p2的切線方程分別是x1xa2y1yb21，x2xa2y2yb21.因?yàn)?p0(x0，y0)在這兩條切線上，故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，這說明 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直線x0 xa2y0yb21 上，故切點(diǎn)弦p1p2所在的直線方程是

25、x0 xa2y0yb21.8.如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段ab 繞圓心 o 旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積s( r2r2)(r r) 2 rr2.所以，圓環(huán)的面積等于以線段abrr 為寬，以ab 中點(diǎn)繞圓心o 旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2 rr2為長(zhǎng)的矩形面積請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域m( x，y)|(xd)2 y2 r2( 其中 0rd)繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是_答案22r2d解析平面區(qū)域m 的面積為 r2，由類比知識(shí)可知：平面區(qū)域m 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實(shí)心的車輪內(nèi)胎，旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓(面積為 r2)為底，以o 為

26、圓心、 d 為半徑的圓的周長(zhǎng) 2 d 為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積v r22 d22r2d.9設(shè) f(x)13x3，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明解f(0)f(1)1303131311313 1333 1313 1333，同理可得f(1)f(2)33，f(2)f(3)33.由此猜想f(x)f(1x)33.證明： f(x)f(1 x)13x3131x313x33x333x13x33x333x33x33 3x33.10(2016 泉州模擬 )先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：已知 a1，a2r，a1a21，求證 a21a2212.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2，即 f(x)2x22(a1a2)xa21a222x22xa21a22.因?yàn)閷?duì)一切xr，恒有 f(x)0，所以 48(a21a