初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)溫馨提示：這套輔導(dǎo)材料用于同學(xué)們假期復(fù)習(xí)使用，均附有答案；請(qǐng)依據(jù)老師提示，仔細(xì)復(fù)習(xí)中學(xué)教材，查閱工具書，獨(dú)立完成；開學(xué)時(shí)將材料帶回交給班主任驗(yàn)收，并據(jù)此支配入學(xué)考試；進(jìn)入高中，你們是高中生了，做好了充分的預(yù)備嗎？其實(shí)學(xué)好高中數(shù)學(xué)并不難，你只要有堅(jiān)強(qiáng)不拔的毅力，仔細(xì)做題，善于總結(jié)歸納，持之以恒，信任你肯定能勝利；假期發(fā)給你們的這本小冊(cè)子，是為了初高中學(xué)問連接而編寫的；為了使你們?cè)诔醺咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上形成較好的連續(xù)性，能有效地克服學(xué)問和方法上的跳動(dòng)，利于激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好；你們肯定要利用好暑假，做好初、高中數(shù)學(xué)教材的連接；a 組題要全部完成，b組題供學(xué)有余力同學(xué)完成；學(xué)數(shù)學(xué)的幾

2、個(gè)建議：1、記數(shù)學(xué)筆記， 特殊是對(duì)概念懂得的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律， 老師為備戰(zhàn)高考而加的課外學(xué)問；記錄下來本章你覺得最有價(jià)值的思想方法或例題， 以及你仍存在的未解決的問題， 以便今后將其補(bǔ)上；2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本；把平常簡潔顯現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)問或推理記載下來，以防再犯；爭取做到： 找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)；達(dá)到：能從反面入手深化懂得正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤緣由弄 個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥；解答問題完整、推理嚴(yán)密；3、熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論，使自己平常的運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟 練程度；4、常常對(duì)學(xué)問結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝 ”，如表格化，使學(xué)問結(jié)構(gòu)一目了然；常常對(duì)習(xí)題進(jìn)

3、行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問題歸納于同一學(xué)問方法；5、閱讀數(shù)學(xué)課外書籍與報(bào)刊，參與數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度，拓展自己的學(xué)問面；6、準(zhǔn)時(shí)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化對(duì)基本概念學(xué)問體系的懂得與記憶，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆磸?fù)鞏固，毀滅前學(xué)后忘；7、學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類；如：從數(shù)學(xué)思想分類從解題方法歸類從學(xué)問應(yīng)用上分類等，使所學(xué)的學(xué)問系統(tǒng)化、條理化、專題化、網(wǎng)絡(luò)化；8、常常在做題后進(jìn)行肯定的“反思 ”，摸索一下此題所用的基礎(chǔ)學(xué)問，數(shù)學(xué)思想方法是什么， 為什么要這樣想，是否仍有別的想法和解法，此題的分析方法與解法，在解其它問題時(shí)，是否也用到過；9、無論是作業(yè)仍

4、是測驗(yàn)，都應(yīng)把精確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問題；初高中數(shù)學(xué)連接教材現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)學(xué)問存在以下“脫節(jié)”1立方和與差的公式中學(xué)已刪去不講，而高中的運(yùn)算仍在用；2因式分解中學(xué)一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多, 而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材很多化簡求值都要用到,如解方 程、不等式等；3二次根式中對(duì)分子、分母有理化中學(xué)不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；4中學(xué)教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，同學(xué)處于明白水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重 要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域、解二次

5、不等式、判定單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，爭論閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必需把握的基此題型與常用方法；5二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在中學(xué)不作要求，此類題目僅限于簡潔常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與 二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，6圖像的對(duì)稱、 平移變換， 中學(xué)只作簡潔介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、 下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問題必需把握；7含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，中學(xué)不作要求，只作定量爭論,而高中這部分內(nèi)容視 為重難點(diǎn)；方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題；8幾何部分很多概念（如重

6、心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理， 相交弦定理等）中同學(xué)大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及；另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法中學(xué)教學(xué)大大弱化，不利于高中學(xué)問的講授；學(xué)習(xí)必備歡迎下載目錄1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 肯定值1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1肯定值一、概念：肯定值的代數(shù)意義：正數(shù)的肯定值是它的本身，負(fù)數(shù)的肯定值是它的相反數(shù)，零的1.1.2. 乘法公式肯定值仍是零即a,a0,| a |0,a0,1.1.3二次根式1.1.分式a, a0.肯定值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的肯定值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離1 2分解因式2.1一元二次方程兩個(gè)數(shù)的差的肯定值的幾何意義：二、典型例題

7、：ab 表示在數(shù)軸上，數(shù)a 和數(shù) b 之間的距離2.1.1 根的判別式例 1 解不等式： | x1 |4解法一：由x10，得 x1；2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如 x1，不等式可變?yōu)?x14 ，即 1x4 ，得 x3 ，又 x 1，2.2 二次函數(shù) x -3；2.2.1 二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖像和性質(zhì)如 1x ，不等式可變?yōu)閤14 ，即 x5又 x1x52.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式綜上所述，原不等式的解為x3 或 x5 ；3.1.1 二次函數(shù)的簡潔應(yīng)用解法二：如圖1 1 1， x1 表示 x 軸上坐標(biāo)為x 的點(diǎn) p 到坐標(biāo)為1 的點(diǎn) a 之間的距離|pa|，即 |p

8、a| |x 1|；pcad3.2 方程與不等式所以 | x1 |4 的幾何意義即為3.2.1 二元二次方程組解法|pa| 4可知點(diǎn) p 在點(diǎn) c坐標(biāo)為 -3 的左側(cè)、或點(diǎn) p 在點(diǎn) d坐標(biāo) 5的右側(cè)x-315x|x 1|3.2.2 一元二次不等式解法3.1 相像形3.1.1 平行線分線段成比例定理x練 習(xí) a 1填空：（ 1）如 x3 或 x5 ；5，就 x= ； 如 x圖 1 114 ，就 x= .3.1.2 相像形（ 2）假如 a2挑選題：b5 ，且 a1，就 b ；如 1c2，就 c .3.2 三角形3.2.1 三角形的 “四心 ”3.2.2 幾種特殊的三角形3.3 圓3.3.1 直線與

9、圓，圓與圓的位置關(guān)系以下表達(dá)正確選項(xiàng)（）（ a）如 ab ，就 ab（ b）如 ab ，就 ab（ c）如 ab ，就 ab（ d）如 ab ，就 ab練習(xí) b3解不等式：| x2 |3學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、化簡： |x 5| |2x13|（ x 5）（ c）可以是零（ d ）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.2. 乘法公式一、復(fù)習(xí)：我們?cè)谥袑W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過了以下一些乘法公式：一、概念：一般地，形如a a1.1.3 二次根式0 的代數(shù)式叫做二次根式根號(hào)下含有字母、且不能夠開得（ 1）平方差公式ab aba2b 2 ；22222（ 2）完全平方公式ab 2a 22abb2 盡方的式子稱為無理式. 例如3a

10、ab2b ，ab等是無理式， 而2 xx1 ， 2我們?nèi)钥梢酝ㄟ^證明得到以下一些乘法公式：x22 xyy2 ，a2（ 1）立方和公式必 （ 2）立方差公式ab a 2ab a 2abb2 abb2 a 3b 3 ；a 3b3 ；等是有理式1分母（子）有理化須記 （ 3）三數(shù)和平方公式abc 2a2b2c22 abbcac ；把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要住 （ 4）兩數(shù)和立方公式（ 5）兩數(shù)差立方公式ab3ab3a33a2 ba33a2b3ab 23ab2b3 ；b 3 引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不含有二次根式，

11、我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如2 與2 ， 3a 與a ，36 與36 ，對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有愛好的同學(xué)可以自己去證明 二、典型例題2332 與 2332 ，等等一般地，ax 與x ， axba xb與 axb互為有理化因式y(tǒng)與 axb，y例 1運(yùn)算： x1x1 x2x1x2x1 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而解法一：原式= x21 x212x2分子有理化就是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用= x621 x4x21公式abab a0

12、, b0 ；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過= x解法二：原式= x1 1x2x331 x1x2x1分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式= x1 x122a,a0,= x61 2 二次根式a的意義aaa, a0.例 2已知abc4 ， abbcac4 ，求 a 2b2c2 的值1 a 21 b 2 1 b19423解：a2 練 習(xí) a 1填空：b2c2abc22abbcac8 二、典型例題例 1將以下式子化為最簡二次根式：（ 1）a （）；（ 1）12b ；（ 2）a2ba0 ；（ 3）4x6 y x0 2（ 2

13、） 4 m216m24m ；解：（ 1）12b23b ；（ 2）a babab a0 ；6333 a2bc2a24b2c2 （ 3）4 x y2 xy2 xy x0 2挑選題：（ 1）如x21 mxk 是一個(gè)完全平方式，就k 等于（）2例 2運(yùn)算：333 解法一：3 33 3212121233（ a） m（ b）m（ c）4m（ d）m 3163 33（ 2）不論 a ， b 為何實(shí)數(shù)，a 2b22a4b8 的值（）3333（ a）總是正數(shù)（ b）總是負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載333331319362解法二：3 33 333例 5化簡：（ 1）945 ；（ 2）x2120x2x1 223解：（ 1）

14、原式 =545433115 22523125 23123131552 31 2（ 2）原式 =1 2 xx1x1 ，x1例 3試比較以下各組數(shù)的大?。海?1）1211 和1110 ；（ 2）264和 226 . 0x練 習(xí) a 1填空：1，x1x ， 所以，原式x x解：（ 1）12111211121112111，11211121113（ 1）；131 11 01 11 01 11 0 1 11 0 1，（ 2）如5x x32 x35x ，就 x 的取值范疇是_ _；11 11 01 11 0又12111110 ，（ 3） 4246543962150；1211 （ 4）如5x1x1x，就2x1

15、x1x1x1 x1x1（ 2）22 621110 2622622+62122+,622+62挑選題：（提示先簡化后代入）又 4 22，等式xx成立的條件是（）6 46 22，x2x22 226.64（ a） x2練習(xí) ba211（ b） x0a2（ c ） x2（ d） 0x2例 4化簡：32 200432 2005 3如 b，求 ab 的值a1解： 32 200432 2005 32 20 0 43220 0 42 0 0 432 32 32 32 200413232 學(xué)習(xí)必備歡迎下載111114比較大小：2354（填 “ ”，或 “ ”）1.1.4 分式一、概念： 1分式的意義 1 223

16、91 011 9 1010（ 3）證明：1112334nn1形 如 a的式子，如b 中含有字母，且b0 ，就稱 a 為分式當(dāng)m 0時(shí)，分式a 具有下 11 11 11bbb2334nn1列性質(zhì)：aambbm；aam bbm 11，2n1上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式a又 n 2，且 n 是正整數(shù)，1 n 1 肯定為正數(shù)，111 1 像b，cdmnp2m這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式2334c2n n 1 22例 3設(shè) e，且 e 1， 2c 5ac 2anpa 0，求 e 的值二、典型例題：例 1如5x4ab，求常數(shù)a, b 的值解：在 2c2 5ac 2a2 0 兩邊同除

17、以a2，得e2 2 5e 2 0，x x2xx2 2e1 e 20，解：aba x2bx ab x2 a5x4，xx2ab5,xx2解得a2 ,bx x23x x2練習(xí) a1 e 2 1，舍去；或e 2 e 22a4,1填空題：例 2（ 1）試證：111（其中 n 是正整數(shù)） ；對(duì)任意的正整數(shù)n，1 11n n1nn1n n2；nn2111（ 2）運(yùn)算：；12239102挑選題：如 2 xy2 ，就 x（）1111（3）證明：對(duì)任意大于1 的正整數(shù) n， 有xy3y（ 1）證明：11 n1n23341，nn125（ a）（ b）44（ c）56（ d ）5nn1n n1nn13正數(shù) x, y

18、滿意 x2y 22 xy ，求 xy 的值111（其中 n 是正整數(shù)）成立xyn n1 nn1（ 2）解：由（ 1）可知111122391 04運(yùn)算111.112233499100學(xué)習(xí)必備歡迎下載1解不等式：x13習(xí)題 1 1a組1挑選題：（ 1）如ab2b組abba ，就（）（a ） ab（b） ab（ c） ab01（ d） ba0（ 2）運(yùn)算 a等于（）a（ a）a（ b）a（c ）a（ d）a 1111已知 xy1，求 x3y33 xy 的值2運(yùn)算：1324359113填空：（ 1） 2318 23 19 ；1 2分解因式一、復(fù)習(xí)引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公

19、式法、分組分解法， 另外仍應(yīng)明白求根法及待定系數(shù)法（ 2）如1a21a 22 ，就 a 的取值范疇是 ；（ 3）11111 12233445561十字相乘法例 1分解因式：1 13a 2ab（ 1） x2 3x 2；（ 2） x2 4x 12 ；4填空：a， b，就22 ；2 33a5ab2b（ 3） x2ab xyaby 2 ；（ 4） xy1xy 1 1yy5已知：x, y，求的值解：（ 1）如圖1 2 1，將二次項(xiàng)x2 分解成圖中的兩個(gè)x 的積，再將常數(shù)項(xiàng)2 分解成 12 3xyxy與 2 的乘積， 而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是 x2 3x 2 中的一次項(xiàng)， 所以，有 x

20、2 3x 2 x 1 x 2x 1x 21 111 21 2x6xayx 1byy1圖 1 21圖 1 2 2圖 1 2 3圖 1 2 4圖 1 2 5學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1 2 1 中的兩個(gè)x 用 1 來表示（如圖1 2 2 所示）（ 2）由圖 1 2 3，得 x2 4x 12 x 2 x 62分解因式：（ 1）x2 6x 8；（ 2）8a3 b3；2（ 3）由圖 1 2 4，得x2 ab xyaby 2 xa y xb y（ 3）x 2x 1；（ 4） 4 xy1y y2 x （ 4） xy1xy xy x y 1 x 1 y+1 （如圖

21、1 2 5 所示）2提取公因式法與分組分解法例 2分解因式：32221分解因式：練 習(xí) b 組（ 1） x93x3x ；（ 2）2xxyy4 x5 y6 （ 1）a 31；（ 2）4x413x29 ；解：（ 1）x3= x93x23 x23x = x33 3x2 3x9 = x2 x33 x3或 x393x23x x33x23x18 x1 38x1323 x12 x122 x122 2 2（ 3） b2c2ab2ac2bc ； x3 x3二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（ 2） 2 x2xyy24 x5 y6 = 2 x2xyy2 4 x5 y6= 2 xy xy4 x5 y62x-y2= 2 xy2 xy

22、3 x+y-33關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式ax2+bx+ca 0 的因式分解2在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)因式分解：如 關(guān) 于x的 方 程ax2bxc0a0 的 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 是x1 、x2 ， 就 二 次 三 項(xiàng) 式（ 1） x5 x3；（ 2） x222 x3 ；22axbxca0 就可分解為a xx xx .12例 3把以下關(guān)于x 的二次多項(xiàng)式分解因式：（ 1） x22 x1 ；（ 2） x24 xy4 y2 解：（ 1）令x22 x1=0 ，就解得x112 ， x212 ， x22 x1=x12x12（ 3） 3x24xyy ；21= x12 x12 （ 2）令 x24 xy4 y2 =0，就解得x

23、222 y ， x1222 y ，二、練習(xí)a 1挑選題： x24 xy4 y2 = x212 y x212 y 3分解因式：x2 x a2 a多項(xiàng)式2x2xy15 y2 的一個(gè)因式為（）（ a） 2 x5 y（ b） x3 y（ c ） x3 y（d） x5y學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) a2時(shí)， 0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 1， x2 a1（ 4）由于該方程的根的判別式為 22 4×1×a 4 4a 41a，所以當(dāng) 0，即 41 a 0，即 a 1 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x111a ，x211a ；2.1一元二次方程2.1.1 根的判別式一、概念：我們知道，對(duì)于一

24、元二次方程ax2 bxc 0（ a0），用配方法可以將其變形為當(dāng) 0，即 a 1 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 x2 1；當(dāng) 0，即 a 1 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根說明：在第3， 4 小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a 的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)a 的取值情形進(jìn)行爭論，這一方法叫做分類爭論分類爭論這一思想方法2xb 2b2a4ac4a2是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)特別重要的方法，在今后的解題中會(huì)常常地運(yùn)用這一方法來解決問題由于 a0，所以， 4a2 0于是（ 1）當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，bb24 ac2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)

25、系（韋達(dá)定理）一、概念： 1、如一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2；2ab b24 a cbb24 a c（ 2）當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1， x22a，就有2 ax1xb2；2ax1x2bb 22a4acbb 22a4ac2bb；2aa（ 3）當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊 xb 2 肯定大于或bb 24acbb 24 acb 2 b2 4 ac4acc2ax1x222等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根2a2a4a4aa由此可知， 一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）的根的情形可以由b2

26、4ac 來判定， 我們把b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）的根的判別式，通常用符號(hào)“來”表示所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：2bc綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2 bx c 0（ a0），有假如 ax bx c 0（ a0）的兩根分別是x1， x2，那么x1x2， x1 ·x2a這一關(guān)a（ 1）當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2bb24ac；2a系也被稱為韋達(dá)定理2、特殊地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程x2 px q 0，如 x1， x2 是其兩根，由（ 2）當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x x b；韋達(dá)定理可知x1 x2

27、p， x1·x2 q，122a（ 3）當(dāng) 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根即p x1 x2 ， q x1·x2，所以，方程x2 px q 0 可化為x2 x x 0，由于 x ， x是一元二次方程x212x x1·x21 2二、典型例題：例 1判定以下關(guān)于x 的方程的根的情形（其中a 為常數(shù)），假如方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（ 1） x2 3x 3 0；（ 2） x2 ax 1 0；（ 3） x2 ax a 1 0；（ 4） x2 2x a 0 px q 0 的兩根，所以，x1， x2 也是一元二次方程x2 x1 x2x x1·x2 0 的兩根，因此有以兩個(gè)數(shù)

28、x1， x2 為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是 x2 x1 x2x x1·x2 0二、典型例題：解：（ 1） 32 4×1×3 3 0，方程沒有實(shí)數(shù)根例 2已知方程5x2k x60的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k 的值（ 2）該方程的根的判別式 a2 4×1× 1 a2 4 0，所以方程肯定有兩個(gè)不等的實(shí)分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k 的值，再由方程解出另數(shù)根 x1aa 24，x22a a242一個(gè)根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以

29、利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和（ 3）由于該方程的根的判別式為 a2 4×1×a 1 a2 4a 4 a22，所以，當(dāng) a 2 時(shí)， 0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 x2 1；求出 k 的值解法一： 2 是方程的一個(gè)根， 5×22 k×2 6 0，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 k 7所以，方程就為5x2 7x 6 0，解得 x1 2， x 3 解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2 4x 12 0 的兩個(gè)根解這個(gè)方程，得x1 2， x2 6 所以，這兩個(gè)數(shù)是2 和 62所以，方程的另一個(gè)根為53 ， k 的值為 75說明：從上面的兩種解法我們不

30、難發(fā)覺，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，就2x 6 ， x 3 例 5如 x1 和 x2 分別是一元二次方程2x2 5x 3 0 的兩根115511333k（ 1）求 | x1 x2|的值；（ 2）求 x 2的值；（ 3） x1 x2 x 2由（） 25，得k 7512253所以，方程的另一個(gè)根為3 ， k 的值為 7解：x1 和 x2 分別是一元二次方程2x 5x 3 0 的兩根， x1x2， x1 x2221553例 3已知關(guān)于x 的方程 x2 2m2 x m2 4 0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的（ 1） | x1 x2|2 x 2+ x

31、22 2 x1x2 x1 x2 2 4 x1x2 24平方和比兩個(gè)根的積大21 ，求 m 的值分析：此題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21 得到關(guān)于m 的方2549 622， | x1 x2| 7 程，從而解得m 的值但在解題中需要特殊留意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零4422225 2325解：設(shè) x1， x2 是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得x1 x2 2m 2， x1 ·x2 m2 411xxxx 2x x2337222（ 2）12121 2224 x1 x2 x1·x2 21 ， x1 x2 3 x1·x2 21

32、，x 2x 2x 2x 2 x x 23 299即2 m22 3m24 21 ，212121 224化簡，得m 16m 17 0，3 x（ 3） x13 x1 x2 x2 x1 x2x2 2 x1 x2 x1 x2 2 3x1x2解得m 1，或 m 17當(dāng) m 1 時(shí)，方程為x2 6x 5 0， 0，滿意題意；當(dāng) m 17 時(shí)，方程為x2 30x 293 0， 302 4×1×293 0，不合題意，舍去綜上， m -1注意：2 155 ×222 3×32215 8說明：（ 1）在此題的解題過程中，也可以先爭論滿意方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m 的范疇，然后再

33、由 “兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出 m 的值，取滿意條件的m 的值即可（）在今后的解題過程中，假如用由韋達(dá)定懂得題時(shí)，仍要考慮到根的判別式是否大說明：一元二次方程的兩根之差的肯定值是一個(gè)重要的量，今后我們常常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為明白題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè) x1 和 x2 分別是一元二次方程ax2 bxc 0（ a0），就于或大于等于零由于，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根例 4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為 12，求這兩個(gè)數(shù)bb2x12a4 ac， x2b b 22a4ac，分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)也可以利用韋 達(dá)定

34、理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x， y，就x y 4，| x1 x2|bb 22ab24 a c4acbb 22a4ac2b2 2a4acxy 12由，得y 4 x，代入，得x4 x 12，| a |于是有下面的結(jié)論：a|即x2 4x 120， x1 2， x2 6如 x1和 x2分別是一元二次方程ax2 bx c 0（ a0），就 | x1 x2|（其中 b2 4ac）| a |x12,x26,或y16,y22.因此，這兩個(gè)數(shù)是2 和 6今后，在求一元二次方程的兩根之差的肯定值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論例 6如關(guān)于 x 的一元二次方程x2 xa 4 0 的一根大于零、另一

35、根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范疇解：設(shè) x1， x2 是方程的兩根，就x1x2 a 4 0，學(xué)習(xí)必備歡迎下載且 12 4a 4 0 由得a 4，由得a 1744已知方程x2 3x 1 0 的兩根為x1和 x2，求 x1 3 x2 3的值 a 的取值范疇是a 4練 習(xí) a 1挑選題：（ 1）方程 x223kx3k 20 的根的情形是（）5試判定當(dāng)m 取何值時(shí)， 關(guān)于 x 的一元二次方程m2x2 2m 1 x 1 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？（ a）有一個(gè)實(shí)數(shù)根（ b）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（ c）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（ d）沒有實(shí)數(shù)根（ 2）如關(guān)于x 的方程 mx2 2m

36、1x m 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就實(shí)數(shù)m 的取值范疇是（）6求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2 7x 1 0 各根的相反數(shù)1（ a）m41（ b）m41（ c）m4，且 m0（ d ）m 14，且 m0（ 3）已知關(guān)于x 的方程 x2 kx 2 0 的一個(gè)根是1，就它的另一個(gè)根是（）（ a） 3（b） 3（c ） 2（d ） 2（ 4）以下四個(gè)說法：方程 x2 2x 7 0 的兩根之和為2，兩根之積為7；方程 x2 2x 7 0 的兩根之和為2，兩根之積為7；方程 3 x2 7 0 的兩根之和為0，兩根之積為7 ；3方程 3 x2 2x 0 的兩根之和為2，兩根之積為0 其中正確

37、說法的個(gè)數(shù)是（）（ a） 1 個(gè)（b） 2 個(gè)（ c ） 3 個(gè)（ d ） 4 個(gè)（ 5）關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 5x a2 a 0 的一個(gè)根是0，就 a 的值是（）（a ） 0（ b） 1（ c） 1（ d） 0，或 12填空 :（ 1）如方程x2 3x 1 0 的兩根分別是x1 和 x2，就 11 練習(xí) b 組1挑選題 :如關(guān)于 x 的方程 x2 k2 1 x k 1 0 的兩實(shí)根互為相反數(shù)，就k 的值為（）（a ） 1，或 1（ b） 1（ c） 1（ d） 0 2填空 :（ 1）如 m，n 是方程 x2 2005x 1 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 就 m2n mn2 mn 的值等于（

38、2 ）假如a， b 是方程x2 x 1 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3 a2b ab2 b3 的值是3已知關(guān)于x 的方程 x2 kx 2 0（ 1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（ 2）設(shè)方程的兩根為x1 和 x2，假如 2x1 x2 x1 x2，求實(shí)數(shù)k 的取值范疇x1x2（ 2）方程 mx2 x 2m 0（ m0）的根的情形是（ 3）以 3 和 1 為根的一元二次方程是（ 4）方程 kx2 4x 10 的兩根之和為2，就 k1（ 5）方程 2x2 x 4 0 的兩根為， ，就 2 22 bx c 0（ a0）的兩根為x 和 x 求：4一元二次方程ax12（ 6）已知關(guān)于x 的方程 x2

39、 ax 3a 0 的一個(gè)根是2，就它的另一個(gè)根是kx（ 7）方程 2x2 2x 10 的兩根為x1 和 x2，就 | x1 x2|（ 1）| x1 x2|和x1x2 2；（ 2） x3 x233已知根？a28a16|b1|0 ，當(dāng) k 取何值時(shí)，方程2 ax b 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)5關(guān)于 x 的方程 x2 4x m 0 的兩根為x1， x2 滿意 | x1 x2| 2，求實(shí)數(shù)m 的值學(xué)習(xí)必備歡迎下載到函數(shù) y 2 x 12 1 的圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“外形相同，位置不同”的特點(diǎn) 類似地，仍可以通過畫函數(shù)y 3x2， y 3 x 12 1 的圖象，爭論它們圖象之間的相互關(guān)系通過上面的爭

40、論，我們可以得到以下結(jié)論：2 2二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù) y ax2 bxc 的圖像和性質(zhì)2、二次函數(shù)y ax h2 ka0中， a 打算了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h 打算了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h 正左移， h 負(fù)右移 ”；k 打算了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移， k 負(fù)下移 ”由上面的結(jié)論，我們可以得到爭論二次函數(shù)y ax2 bx ca0的圖象的方法：一、復(fù)習(xí)引申：問題1函數(shù) y ax2 與 y x2 的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？由于 y ax2 bx c ax2 bx c ax2b x b2b22 c2122aa4a4a為了爭論這一問題，我們可以先畫出y 2x2，yx22，y 2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖a xb 2b24ac，象與函數(shù)y x的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y ax與 y x的圖象之間所存在的關(guān)系2a4 a先畫出函數(shù)y x2