高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編解析幾何

1、1 解析幾何題匯總2（2020 年北京模擬 -理科）19 （14 分） （ 2020?海淀區(qū)一模）已知圓m： （x）2+y2=r2=r2（ r0） 若橢圓c：+=1（ab0）的右頂點(diǎn)為圓m 的圓心，離心率為（i）求橢圓c 的方程；（ii）若存在直線l：y=kx，使得直線l 與橢圓 c 分別交于a，b 兩點(diǎn)，與圓 m 分別交于g，h 兩點(diǎn)，點(diǎn) g 在線段 ab 上，且|ag|=|bh| ，求圓 m 半徑 r 的取值范圍考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程803738 專題 ： 綜合題；分類討論；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（ i）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓心可得a 值，進(jìn)

2、而由離心率可得c 值，根據(jù)平方關(guān)系可得 b 值；（ ii） 由點(diǎn) g 在線段 ab 上，且|ag|=|bh| 及對(duì)稱性知點(diǎn)h 不在線段ab 上，所以要使 |ag|=|bh| ，只要 |ab|=|gh| ，設(shè) a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y 得 x 的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得|ab|，在圓中利用弦心距及勾股定理可得|gh|，根據(jù) |ab|=|gh|得 r，k 的方程，分離出 r 后按 k 是否為 0 進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r 范圍；解答：解： （i）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓m 的圓心（，0） ，得 a=，又，所以 c=1

3、，b=1所以橢圓c 的方程為：（ ii）設(shè) a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，由直線 l 與橢圓 c 交于兩點(diǎn) a，b，則，所以（ 1+2k2）x22=0，則 x1+x2=0，所以=，點(diǎn) m（，0）到直線l 的距離 d=，則 |gh|=2，顯然，若點(diǎn) h 也在線段ab 上，則由對(duì)稱性可知，直線 y=kx 就是 y 軸，矛盾，2 所以要使 |ag|=|bh| ，只要 |ab|=|gh| ，所以=4，=2，當(dāng) k=0 時(shí)，r=，當(dāng) k 0 時(shí)，2（1+）=3，又顯然2，所以，綜上，點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，弦長(zhǎng)公

4、式、韋達(dá)定理是解決該類問題的基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握19 （14 分） （2020?海淀區(qū)二模）已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為 60 的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)（）求橢圓m 的方程；（） 直線 l 與橢圓 m 交于 a，b 兩點(diǎn)，且線段 ab 的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求 aob（o為原點(diǎn)）面積的最大值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119409專題 ： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）依題意，可求得 a=，b=1，從而可得橢圓m 的方程；（）設(shè)a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，依題意，直線 ab 有斜率，可分直線ab 的斜率k=0 與直線 ab 的斜率 k 0 討

5、論，利用弦長(zhǎng)公式，再結(jié)合基本不等式即可求得各自情況下saob的最大值解答：解： （）因?yàn)闄E圓+=1（ab 0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60 的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)， a=，b=1，橢圓 m 的方程為：+y2=1 4 分（）設(shè)a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，因?yàn)?ab 的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)（0，） ，顯然直3 線 ab 有斜率，當(dāng)直線 ab 的斜率為0 時(shí)，ab 的垂直平分線為y 軸，則 x1=x2，y1=y2，所以 saob=|2x1|y1|=|x1|y1|=|x1|?=，=， saob，當(dāng)且僅不當(dāng) |x1|=時(shí)，saob取得最大值為 7 分當(dāng)直線 ab 的斜率不為0 時(shí)，則設(shè) a

6、b 的方程為y=kx+t ，所以，代入得到（ 3k2+1）x2+6ktx+3t23=0，當(dāng) =4（9k2+33t2） 0，即 3k2+1t2，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；又 x1+x2=，= 8分所以=，又=，化簡(jiǎn)得到3k2+1=4t代入，得到 0t4， 10 分又原點(diǎn)到直線的距離為d=，|ab|=|x1x2|=?，所以 saob=|ab|d|=?，化簡(jiǎn)得： saob= 12 分 0t4，所以當(dāng) t=2 時(shí)，即 k=時(shí)，saob取得最大值為綜上，saob取得最大值為 14 分點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想分類討論思想與弦長(zhǎng)公式，基本不等式的綜合運(yùn)用，考查求

7、解與運(yùn)算能力，屬于難題19 （14 分） （2020?西城區(qū)一模）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為f，過點(diǎn) f 的直線交橢圓于 a，b 兩點(diǎn)當(dāng)直線ab 經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為60 4 （）求該橢圓的離心率；（）設(shè)線段 ab 的中點(diǎn)為g，ab 的中垂線與x 軸和 y 軸分別交于d，e 兩點(diǎn)記 gfd 的面積為 s1，oed（o 為原點(diǎn)）的面積為s2，求的取值范圍考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)803738 專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）由題意知當(dāng)直線ab 經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時(shí)，其傾斜角為60 ，設(shè) f（ c，0） ，由直線斜率可求得b，c 關(guān)系式，再與 a2=

8、b2+c2聯(lián)立可得a，c 關(guān)系，由此即可求得離心率；（）由（）橢圓方程可化為，設(shè) a（x1，y1） ，b（x2，y2） 由題意直線ab 不能與 x，y 軸垂直，故設(shè)直線ab 的方程為 y=k（x+c） ，將其代入橢圓方程消掉y 變?yōu)殛P(guān)于x 的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k，c 表示出中點(diǎn)g 的坐標(biāo)，由 gdab 得 kgd?k=1，則d 點(diǎn)橫坐標(biāo)也可表示出來，易知 gfd oed，故=，用兩點(diǎn)間距離公式即可表示出來，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可求得的范圍；解答：解： （）依題意，當(dāng)直線 ab 經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時(shí)，其傾斜角為60 設(shè) f（ c，0） ，則將代入 a2=b2+c2，得 a=

9、2c所以橢圓的離心率為（）由（） ，橢圓的方程可設(shè)為，設(shè) a（x1，y1） ，b（ x2，y2） 依題意，直線 ab 不能與 x，y 軸垂直，故設(shè)直線 ab 的方程為y=k（x+c） ，將其代入 3x2+4y2=12c2，整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c212c2=0則，所以5 因?yàn)?gdab ，所以，因?yàn)?gfd oed，所以=所以的取值范圍是（9，+） 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高18 （13 分） （2020?西城區(qū)二模，石景山區(qū)二模）如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為a，m 是橢圓 c 上異于點(diǎn)a

10、 的任意一點(diǎn)，點(diǎn) p 與點(diǎn) a 關(guān)于點(diǎn) m 對(duì)稱（）若點(diǎn)p 的坐標(biāo)為，求 m 的值；（）若橢圓c 上存在點(diǎn) m，使得 op om，求 m 的取值范圍考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)803738 專題 ： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程6 分析：（）由題意知m 是線段 ap 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得m 坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到m 值；（）設(shè)m（x0，y0） （ 1x01） ，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用m 坐標(biāo)表示p點(diǎn)坐標(biāo)，由 opom 得，聯(lián)立消去y0，分離出 m 用基本不等式即可求得m 的范圍；解答：解： （）依題意，m 是線段 ap 的中點(diǎn)，因?yàn)?a（ 1，0） ，所以點(diǎn)

11、m 的坐標(biāo)為由于點(diǎn) m 在橢圓 c 上，所以，解得（）設(shè)m（x0，y0） （ 1x01） ，則，因?yàn)閙 是線段 ap 的中點(diǎn)，所以p（2x0+1，2y0） 因?yàn)閛pom，所以，所以，即由 ，消去 y0，整理得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立所以 m 的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題，垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0是常用手段，要靈活運(yùn)用19 （13 分） （2020?東城區(qū)一模） 已知橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為，過 f1的直線 l 與橢圓 c 交于 m，n 兩點(diǎn)，且 mnf2的周長(zhǎng)為8（）求橢圓c 的方程；7 （）過原點(diǎn)o 的兩條互

12、相垂直的射線與橢圓c 分別交于 a，b 兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)o 到直線 ab 的距離為定值，并求出這個(gè)定值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119409專題 ： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（） 由 mnf2的周長(zhǎng)為8，得 4a=8，由，得，從而可求得b；（）分情況進(jìn)行討論：由題意，當(dāng)直線 ab 的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)a（ x0，x0） ，b（x0， x0） ，再由 a、 b 在橢圓上可求x0，此時(shí)易求點(diǎn)o 到直線 ab 的距離；當(dāng)直線ab 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ab 的方程為y=kx+m ，代入橢圓方程消掉y 得 x 的二次方程，知 0，由 oaob，得x1x2+y1y2

13、=0，即 x1x2+（kx1+m） （kx2+m）=0，整理后代入韋達(dá)定理即可得m，k 關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)o 到直線 ab 的距離，綜合兩種情況可得結(jié)論，注意檢驗(yàn)0解答：解： （i）由題意知，4a=8，所以 a=2因?yàn)?，所以，所?b2=3所以橢圓c 的方程為（ ii）由題意，當(dāng)直線 ab 的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)a（x0，x0） ，b（x0，x0） 又 a，b 兩點(diǎn)在橢圓c 上，所以，所以點(diǎn) o 到直線 ab 的距離當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ab 的方程為y=kx+m 由消去 y 得（ 3+4k2）x2+8kmx+4m212=0由已知 0，設(shè) a（x1，y1） ，b

14、（x2，y2） 所以，因?yàn)?oa ob，所以 x1x2+y1y2=0所以 x1x2+（kx1+m） （ kx2+m）=0，即所以整理得 7m2=12（k2+1） ，滿足 08 所以點(diǎn) o 到直線 ab 的距離為定值點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的常用知識(shí)，要熟練掌握19 （13 分） （2020?東城區(qū)二模） 已知橢圓c：（ ab0）的離心率 e=，原點(diǎn)到過點(diǎn)a（a，0） ，b（0，b）的直線的距離是（1）求橢圓c 的方程；（2）若橢圓c 上一動(dòng)點(diǎn) p（x0，y0）關(guān)于直線y=2x 的對(duì)稱點(diǎn)為p1（ x1，y

15、1） ，求 x12+y12的取值范圍（3）如果直線y=kx+1 （k 0）交橢圓 c 于不同的兩點(diǎn)e，f，且 e，f 都在以 b 為圓心的圓上，求 k的值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119409專題 ： 圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（ 1）利用橢圓的離心率，a2=b2+c2，及其點(diǎn)到直線的距離公式即可得到a，b；（ 2）利用軸對(duì)稱即可得到點(diǎn)p（x0，y0）與其對(duì)稱點(diǎn)p1（x1，y1）的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)p（x0，y0）滿足橢圓c 的方程：得到關(guān)系式，進(jìn)而即可求出；（ 3）設(shè) e（ x2，y2） ，f（x3，y3） ，ef 的中點(diǎn)是m（xm，ym） ，則 bm

16、ef 得到關(guān)系式，把直線 ef 的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系即可解答：解： （1），a2=b2+c2， a=2b原點(diǎn)到直線ab：的距離，解得 a=4，b=2故所求橢圓c 的方程為（ 2）點(diǎn) p（ x0，y0）關(guān)于直線y=2x 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)p1（ x1，y1） ，解得，9 點(diǎn) p（x0，y0）在橢圓c：上， 4 x0 4，的取值范圍為4，16（ 3）由題意消去 y，整理得（ 1+4k2）x2+8kx12=0可知 0設(shè) e（x2，y2） ，f（x3，y3） ，ef 的中點(diǎn)是m（xm，ym） ，則，則，ym=kxm+1= xm+kym+2k=0即又 k 0，點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

17、方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)與方法，熟悉解題模式是解題的關(guān)鍵19 （14 分） （2020?朝陽區(qū)一模） 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓c 過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn) a 為其右頂點(diǎn)過點(diǎn)b（1，0）作直線l 與橢圓 c 相交于 e，f 兩點(diǎn)，直線 ae，af 與直線 x=3 分別交于點(diǎn)m，n（）求橢圓c 的方程；（）求的取值范圍考平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程803738 10 點(diǎn)：專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）設(shè)橢圓的方程為，依題意可得a、b、c 的方程組，解之可得方程

18、；（）由（）可知點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 （2，0） （1）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)e 在 x 軸上方，可得； （ 2）當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，寫直線的方程，聯(lián)立方程組，消 y 并整理得（ 4k2+1） x28k2x+4k24=0 進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系表示出向量的數(shù)量積為，由 k 的范圍可得其范圍，綜合可得解答：解： （）由題意，設(shè)橢圓的方程為，依題意得解之可得a2=4，b2=1所以橢圓c 的方程為 （4 分）（）由（）可知點(diǎn)a 的坐標(biāo)為（ 2，0） （1）當(dāng)直線l 的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn) e 在 x 軸上方，易得，所以 （6 分）（2）當(dāng)直線l 的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線l 的方程

19、為y=k （x1） ，顯然 k=0 時(shí)，不符合題意由消 y 并整理得（ 4k2+1）x28k2x+4k24=0設(shè) e（x1，y1） ，f（x2，y2） ，則直線 ae，af 的方程分別為：，令 x=3，則所以， （10 分）所以11 = （12 分）因?yàn)?k20，所以 16k2+44，所以，即綜上所述，的取值范圍是 （14 分）點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題19 （14 分） （ 2020?朝陽區(qū)二模）已知橢圓c：的右焦點(diǎn)為f（1，0） ，短軸的端點(diǎn)分別為 b1，b2，且=a（）求橢圓c 的方程；（）過點(diǎn)f 且斜率為k（k 0）

20、的直線 l 交橢圓于m，n 兩點(diǎn)，弦 mn 的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn)d設(shè)弦 mn 的中點(diǎn)為 p，試求的取值范圍考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程803738 專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）利用數(shù)量積即可得到1b2=a，又 a2b2=1，即可解得a、b；（）把直線l 的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到線段mn 的中點(diǎn) p 的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式即可得到|mn|，利用點(diǎn)斜式即可得到線段mn 的垂直平分線dp 的方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式即可得到|dp|，進(jìn)而得出的關(guān)于斜率k 的表達(dá)式，即可得到其取值范圍解答：解： （）由題意不妨設(shè)b1（0，

21、b） ，b2（0，b） ，則，12 =a， 1b2=a，又 a2b2=1，解得 a=2，橢圓 c 的方程為；（）由題意得直線l 的方程為y=k（ x1） 聯(lián)立得（ 3+4k2）x28k2x+4k212=0設(shè) m（x1，y1） ，n（ x2，y2） ，則，弦 mn 的中點(diǎn) p|mn|=直線 pd 的方程為|dp|=又 k2+11，的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、線段mn 的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)斜式、線段的垂直平分線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 18（14 分） （2020?通州區(qū)一模） 已知橢圓的中

22、心在原點(diǎn)o，短半軸的端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)f （ 2，0） 的距離為，過焦點(diǎn) f 作直線 l，交橢圓于a，b 兩點(diǎn)（）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；13 （）若橢圓上有一點(diǎn)c，使四邊形aobc 恰好為平行四邊形，求直線 l 的斜率考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119456專題 ： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c，由短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)距離可得a，根據(jù) a2=b2+c2可得 b；（）可判斷直線lx 軸時(shí)，不符合題意；設(shè)直線l 的方程為y=k（x 2） ，點(diǎn) a（x1，y1） ，b（ x2，y2） ，把 l 方程代入橢圓方程消掉y 得 x 的二次方程，由四邊

23、形 aobc 為平行四邊形，得，根據(jù)韋達(dá)定理可得點(diǎn)c 的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得k 值；解答：解： （）由已知，可設(shè)橢圓方程為，則 a=，c=2所以 b=，所以橢圓方程為（）若直線lx 軸，則平行四邊形aobc 中，點(diǎn) c 與點(diǎn) o 關(guān)于直線l 對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn) c 坐標(biāo)為（ 2c，0） 因?yàn)?2ca，所以點(diǎn) c 在橢圓外，所以直線l 與 x 軸不垂直于是，設(shè)直線 l 的方程為y=k（x2） ，點(diǎn) a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，則，整理得，（3+5k2）x220k2x+20k230=0，所以因?yàn)樗倪呅蝍obc 為平行四邊形，所以，所以點(diǎn) c 的坐標(biāo)為，所以，解得 k2=1，所以 k=

24、1點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論思想，屬中檔題14 19 （14 分） （2020?順義區(qū)一模）已知橢圓c：+y2=1（ a1）的上頂點(diǎn)為a，左焦點(diǎn)為 f，直線 af 與圓m：x2+y2+6x2y+7=0 相切過點(diǎn)（ 0，）的直線與橢圓c 交于 p，q 兩點(diǎn)（i）求橢圓c 的方程；（ii）當(dāng) apq 的面積達(dá)到最大時(shí)，求直線的方程考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119456專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（i）寫出直線af 的方程，由直線 af 與圓 m 相切得關(guān)于c 的方程，解

25、出 c 再由 a2=c2+b2即可求得a 值；（ii ）易判斷直線pq 的斜率存在，設(shè)出其點(diǎn)斜式方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出pq，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)a（0，1）到直線pq 的距離，由三角形面積公式可表示出apq 的面積，根據(jù)該函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求得面積最大時(shí)k 的值；解答：解： （i）將圓 m 的一般方程x2+y2+6x2y+7=0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x+3）2+（y1）2=3，則圓 m 的圓心 m（3，1） ，半徑由得直線 af 的方程為xcy+c=0由直線 af 與圓 m 相切，得，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，a2=c2+1=3，故橢圓 c 的方程為（ii ）由題意可知，直線 p

26、q 的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線 pq 的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以對(duì)任意k r，直線都與橢圓c 交于不同的兩點(diǎn)由得設(shè)點(diǎn) p，q 的坐標(biāo)分別為（x1，y1） ，（x2，y2） ，則，所以=15 又因?yàn)辄c(diǎn) a（0，1）到直線的距離，所以 apq 的面積為設(shè)，則 0t 1 且，因?yàn)?0t 1，所以當(dāng) t=1 時(shí)，apq 的面積 s 達(dá)到最大，此時(shí)，即 k=0故當(dāng) apq 的面積達(dá)到最大時(shí)，直線的方程為點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及直線與圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，有關(guān)的基本公式、常用方程是解決問題的基礎(chǔ)19（14 分） （2020?順義區(qū)二模） 已知橢圓的兩

27、個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2，且|f1f2|=2，點(diǎn) p 在橢圓上，且 pf1f2的周長(zhǎng)為 6（i）求橢圓c 的方程；（ii）若點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（ 2，1） ，不過原點(diǎn)o 的直線 l 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，設(shè)線段 ab 的中點(diǎn)為 m，點(diǎn) p 到直線 l 的距離為d，且 m，o，p三點(diǎn)共線求的最大值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119456專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（ i）利用橢圓的定義和焦距的定義可得2c=2，2a+2c=6解得 a，c，再利用 b2=a2c2解出即可；（ ii） 設(shè)直線 l 的方程為y=kx+m（m 0） 與橢圓的方程聯(lián)立，得到判別式0

28、 及根與系數(shù)的關(guān)系，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)m 的坐標(biāo)，利用 m，o，p三點(diǎn)共線，得到 kom=kop，解得 k，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到|ab|2及 d2，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值解答：解： （i）由題意得2c=2，2a+2c=6解得 a=2，c=1，又 b2=a2 c2=3，所以橢圓c 的方程為（ ii）設(shè) a（x1，y1） ，b（x2，y2） 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn) m 在 x 軸上，且與 o 點(diǎn)不重合，顯然 m，o，p 三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件故可設(shè)直線l 的方程為y=kx+m （m 0） 由消去 y 整理得（ 3+4k2） x2

29、+8kmx+4m212=016 則 =64k2m24（3+4k2） （4m212） 0，所以點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 m，o，p 三點(diǎn)共線， kom=kop， m 0，此時(shí)方程為3x23mx+m23=0，則 =3（12m2） 0，得x1+x2=m， |ab|2=，又=，=，故當(dāng)時(shí)，的最大值為點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義和焦距的定義及b2=a2c2、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線l 的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式0 及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、 三點(diǎn)共線得到kom=kop、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力19 （14 分） （ 2020?石景山一模）設(shè)橢

30、圓c：的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，上頂點(diǎn)為 a，在 x 軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)b，滿足，且 abaf2（）求橢圓c 的離心率；（）若過a、b、f2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓 c 的方程；（）在（）的條件下，過右焦點(diǎn)f2作斜率為k 的直線 l 與橢圓 c 交于 m、n 兩點(diǎn)，若點(diǎn) p（m，0）使得以 pm，pn 為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍17 考點(diǎn) ： 圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓的位置關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)1119435專題 ： 綜合題分析：（）由題意知f1（ c，0） ，f2（c，0） ，a（0，b） ，由知 f1為 bf2的中點(diǎn)，由 ab af2，知 rtabf2中，bf22=a

31、b2+af22，由此能求出橢圓的離心率（） 由，知，rt abf2的外接圓圓心為 （，0） ，半徑 r=a，所以，由此能求出橢圓方程（） 由 f2（1，0） ，l：y=k（x1） ，設(shè) m（x1，y1） ，n（x2，y2） ，由，得（ 3+4k2） x28k2x+4k212=0，由此能求出m 的取值范圍解答：解： （）由題意知f1（ c，0） ，f2（c，0） ，a（0，b）知 f1為 bf2的中點(diǎn)，ab af2 rtabf2中，bf22=ab2+af22，又 a2=b2+c2 a=2c 故橢圓的離心率 （3 分）（）由（）知得，于是，rt abf2的外接圓圓心為（，0） ，半徑 r=a，所以

32、，解得 a=2， c=1，18 所求橢圓方程為 （6 分）（）由（）知f2（1，0） ，l：y=k（x1） ，設(shè) m（x1，y1） ，n（x2，y2） ，由，代入得（ 3+4k2）x28k2x+4k212=0 則，y1+y2=k（x1+x22） （8 分）由于菱形對(duì)角線垂直，則故 x1+x22m+k（y1+y2）=0 即 x1+x22m+k2（x1+x22）=0， （10 分）由已知條件知k 0，故 m 的取值范圍是 （12 分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想19 （1

33、3 分） （2020?門頭溝區(qū)一模） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，動(dòng)點(diǎn) p 到直線 l：x=2 的距離是到點(diǎn)f（1，0）的距離的倍（）求動(dòng)點(diǎn)p 的軌跡方程；（）設(shè)直線 fp 與（）中曲線交于點(diǎn)q，與 l 交于點(diǎn) a，分別過點(diǎn)p 和 q 作 l 的垂線，垂足為 m，n，問：是否存在點(diǎn)p 使得 apm 的面積是 aqn 面積的 9 倍？若存在，求出點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn) ： 軌跡方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系803738 專題 ： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（ i）設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（ x，y） ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于 x、 y 的等

34、式，化簡(jiǎn)整理可得x2+2y2=2，所以動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程為橢圓+y2=1；（ ii）設(shè)點(diǎn) p（x1，y1） ，q（x2，y2） 將直線fp 方程 x=ty+1 與橢圓消去x，得到關(guān)于y 的一19 元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)1+y2和 y1y2關(guān)于 t 的表達(dá)式若apm 的面積是 aqn 面積的 9 倍，由平幾知識(shí)可得aqn apm ，則 pm=3qn ，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得pf=3qf因此得到y(tǒng)1=3y2結(jié)合前面的等式，解出 t=1，從而得到存在點(diǎn)p（0， 1）使得 apm 的面積是 aqn面積的 9 倍解答：解： （）設(shè)點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（ x，y） 由題意知?=|2x| （3 分）化簡(jiǎn)

35、得 x2+2y2=2，動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程為x2+2y2=2，即+y2=1（5 分）（）設(shè)直線fp的方程為x=ty+1 ，點(diǎn) p（x1，y1） ，q（x2，y2）因?yàn)?aqn apm ，所以 pm=3qn ，由已知得pf=3qf，所以有 y1= 3y2 （1）（7 分）由，消去 x 得（ t2+2） y2+2ty 1=0， 0 且 y1+y2= （ 2） ，y1y2= （3）（10 分）聯(lián)解（ 1） （2） （3） ，得 t=1，y1=1，y2=或 t=1，y1=1，y2=存在點(diǎn)p（0， 1）使得 apm 的面積是 aqn 面積的 9 倍（13 分）點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)p 的軌跡是橢圓，探索橢圓的

36、焦點(diǎn)弦所在直線與準(zhǔn)線相交構(gòu)成三角形的面積問題著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形相似等知識(shí)，屬于中檔題19 （13 分） （2020?豐臺(tái)區(qū)一模） 已知以原點(diǎn)為對(duì)稱中心、f（2，0）為右焦點(diǎn)的橢圓c 過 p （2，） ，直線 l：y=kx+m （k 0）交橢圓c 于不同的兩點(diǎn)a，b（）求橢圓c 的方程；（）是否存在實(shí)數(shù)k，使線段 ab 的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)q（0，3）？若存在求出k 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119456專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）設(shè)出橢圓方程，由給出的橢圓焦點(diǎn)和橢圓過點(diǎn)p（2，） ，聯(lián)

37、立列出關(guān)于a，b 的方程組，求解后則橢圓方程可求；（）存在實(shí)數(shù)k，使線段 ab 的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)q（0，3） ，由給出的橢圓方程和直線ab 方程聯(lián)立，化為關(guān)于x 的方程后有根與系數(shù)關(guān)系寫出ab 中點(diǎn)坐標(biāo)，由 ab 的中點(diǎn)和q（0，3）的連線和直線ab 垂直得到直線ab 的斜率和截距的關(guān)系，代入判別時(shí)候不滿足判別式大于0，說明假設(shè)不成立，得到結(jié)論20 解答：解： （）設(shè)橢圓c 的方程為（ab0） ， c=2，且橢圓過點(diǎn)p（2，） ，所以，解得 a2=8，b2=4，所以橢圓c 的方程為；（）假設(shè)存在斜率為k 的直線，其垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)q（0，3） ，設(shè) a（x1，y1） 、b（x2，y2） ，a

38、b 的中點(diǎn)為n（x0，y0） ，由，得（ 1+2k2）x2+4mkx+2m28=0，則 =16m2k24（1+2k2） （2m28）=64k28m2+320，所以 8k2 m2+40，又，線段 ab 的垂直平分線過點(diǎn)q（0，3） ，knq?k=1，即， m=3+6k2，代入 0 整理，得 36k4+28k2+50，此式顯然不成立不存在滿足題意的k 的值點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題方法，屬中檔題19 （14 分） （2020?豐臺(tái)區(qū)二模）已知橢圓c：的短軸的端點(diǎn)分別為a，b，直線 am ，bm 分別與橢圓 c 交于 e，f 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) m （

39、m，） 滿足 m 0，且（）求橢圓c 的離心率 e；（）用m 表示點(diǎn) e，f 的坐標(biāo)；（）若 bme 面積是 amf 面積的 5 倍，求 m 的值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)1119456專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）利用橢圓的離心率計(jì)算公式；21 （）利用點(diǎn)斜式分別寫出直線am 、bm 的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)e、f 的坐標(biāo)；（）利用三角形的面積公式及其關(guān)系得到，再利用坐標(biāo)表示出即可得到m 的值解答：解： （）依題意知a=2，；（） a（0，1） ，b（0，1） ，m （ m，） ，且 m 0，直線 am 的斜率為k1=，直線 bm 斜率為 k2=

40、，直線 am 的方程為y=，直線 bm 的方程為y=，由得（ m2+1）x24mx=0，由得（ 9+m2）x212mx=0 ，；（） ，amf= bme ，5samf=sbme， 5|ma|mf|=|mb|me| ， m 0，整理方程得，即（ m23） （m21）=0，又，m23 0，m2=1， m= 1 為所求點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的離心率、點(diǎn)斜式、直線與橢圓的相交問題的解題模式、三角形的面積計(jì)算公式、比例式如何用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵19 （14 分） （ 2020?房山區(qū)一模）已知拋物線c：y2=2px 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f（1，0） ，過 f 的直線 l 交拋物線c于 a，b 兩點(diǎn)，直線 ao ，

41、bo 分別與直線m：x=2 相交于 m，n 兩點(diǎn)（）求拋物線c 的方程；（）證明 abo 與 mno 的面積之比為定值考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程803738 專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程22 分析：（ i）根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求得 p即可；（ ii）根據(jù)直線l 與 x 軸是否垂直，分兩種情況求解abo 與 mno 的面積之比，驗(yàn)證即可解答：解： （）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）可知，p=2 拋物線c 的方程為y2=4x （）當(dāng)直線l 垂直于 x 軸時(shí)，abo 與 mno 相似，當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 ab 方程為 y=k （x 1） ，設(shè) m（ 2，ym）

42、，n（ 2，yn） ，a（ x1，y1） ，b（x2，y2） ，解整理得k2x2（ 4+2k2）x+k2=0， x1?x2=1綜上點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程19（14 分）（ 2020?房山區(qū)二模） 已知橢圓c：的離心率為，且過點(diǎn) 直線交橢圓 c 于 b，d（不與點(diǎn)a 重合）兩點(diǎn)（）求橢圓c 的方程；（） abd 的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程803738 專題 ： 圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及a2=b2+c2即可得出；（ 2）把直線bd 的方程與

43、橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式即可得到|bd|，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到點(diǎn)a 到直線 bd 的距離，利用三角形的面積公式得到abd 的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值解答：解： （）由題意可得，解得，橢圓 c 的方程為；23 （）設(shè)b（x1，y1） ，d（x2，y2） 由消去 y 得到，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， =82m20，解得 2m2，=點(diǎn) a 到直線 bd 的距離 d=當(dāng)且僅當(dāng)m= （ 2，2）時(shí)取等號(hào)當(dāng)時(shí)，abd 的面積取得最大值點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離

44、公式、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵19 （14 分） （ 2020?大興區(qū)一模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)p 到點(diǎn) a（ 2，0）與點(diǎn) b（ 2，0）的斜率之積為，點(diǎn) p的軌跡為曲線c（）求曲線c 的方程；（）若點(diǎn)q 為曲線 c 上的一點(diǎn)，直線 aq ，bq 與直線 x=4 分別交于 m、n 兩點(diǎn)，直線 bm 與橢圓的交點(diǎn)為 d求證： a、d、n 三點(diǎn)共線考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1119456專題 ： 圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（ i）設(shè) p點(diǎn)坐標(biāo)（ x，y） ，利用斜率計(jì)算公式即可得到，化簡(jiǎn)即可得到曲線c的方程；（ ii）由已知直線aq 的斜率存在且不等于0，

45、設(shè)方程為y=k（x+2） ，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到d，n 的坐標(biāo)，證明 kad=kan即可得到a、d、n 三點(diǎn)共線解答：解： （i）設(shè) p點(diǎn)坐標(biāo)（ x，y） ，則（x 2） ，（ x 2） ，由已知，化簡(jiǎn)得：所求曲線c 的方程為（x2） （ ii）由已知直線aq 的斜率存在且不等于0，設(shè)方程為y=k（x+2） ，24 由，消去 y 得： （1+4k2）x2+16k2x+16k2 4=0 （1） 因?yàn)?2，xq是方程（ 1）的兩個(gè)根，所以，得，又，所以當(dāng) x=4，得 ym=6k，即 m（ 4，6k） 又直線 bq 的斜率為，方程為，當(dāng) x=4 時(shí)，得，即直線 bm 的斜率為

46、3k，方程為 y=3k（x2） 由，消去 y 得： （ 1+36k2）x2144k2x+144k24=0 （2） 因?yàn)?2，xd是方程（ 2）的兩個(gè)根，所以，得，又，即由上述計(jì)算：a（ 2，0） ，因?yàn)椋?kad=kan所以 a、d、n 三點(diǎn)共線點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、利用斜率線段證明三點(diǎn)共線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想19 （13 分） （ 2020?昌平區(qū)二模）如圖已知橢圓的長(zhǎng)軸為ab，過點(diǎn) b 的直線 l 與 x軸垂直，橢圓的離心率，f1為橢圓的左焦點(diǎn)且=1（i）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）設(shè) p 是橢圓上異于a、b 的任意一點(diǎn)，phx 軸，h 為垂足，延長(zhǎng) hp 到點(diǎn) q 使得 hp=pq連接aq 并延長(zhǎng)交直線l 于點(diǎn) m，n 為 mb 的中點(diǎn)，判定直線 qn 與以 ab 為直徑的圓o 的位置關(guān)