勾股定理典型例題歸類總結(jié)

1、優(yōu)秀教案歡迎下載9.已知 rt abc 的周長為，其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積；10. 假如把勾股定理的邊的平方懂得為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣.1 如圖，以rt abc的三邊長為邊作三個(gè)等邊三角形，就這三個(gè)等邊三角形的面積s1 、 s2 、 s3 之間有何關(guān)系？并說明理由；（ 2）如圖，以rt abc 的三邊長為直徑作三個(gè)半圓，就這三個(gè)半圓的面積s1 、 s2 、 s3 之間有何關(guān)系？（ 3）假如將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，請?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面 積之間的關(guān)系，并說明理由；（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題

2、型二：利用勾股定理測量長度例 1. 假如梯子的底端離建筑物9 米，那么15 米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：1.如圖（ 8），水池中離岸邊d 點(diǎn) 1.5 米的 c 處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc 的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b 恰好落到d 點(diǎn)，并求水池的深度ac.2.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)覺最多只能靠近建筑物底端5 米，消防車的云梯最大升長為 13 米，就云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）a 、 12 米b、13 米c、14 米d 、15 米3.如圖，有兩顆樹，一顆高10 米，另一顆高4 米，兩樹相距8 米一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆

3、樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）優(yōu)秀教案歡迎下載a 、 8 米b、10 米c、12 米d、14 米題型三：勾股定理和逆定理并用例 3. 如圖 3，正方形abcd 中， e 是 bc 邊上的中點(diǎn)， f 是 ab 上一點(diǎn)，且fb角三角形嗎？為什么？1 ab4那么 def 是直注：此題利用了四次勾股定理，是把握勾股定理的必練習(xí)題；跟蹤練習(xí)：1. 如圖，正方形abcd 中， e 為 bc 邊的中點(diǎn)， f 點(diǎn) cd 邊上一點(diǎn)，且df=3cf ，求證： aef=90°題型四：利用勾股定理求線段長度例 1. 如圖 4，已知長方形abcd 中 ab=8cm,bc=10cm, 在邊 cd 上取一點(diǎn)e，將

4、ade 折疊使點(diǎn)d 恰好落在 bc 邊上的點(diǎn)f，求 ce 的長 .跟蹤練習(xí)：1.如圖，將一個(gè)有45 度角的三角板頂點(diǎn)c 放在一張寬為3cm 的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)b 在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，求三角板的最大邊ab 的長 .2.如圖，在 abc 中， ab=bc ， abc=90°，d 為 ac 的中點(diǎn)， de df，交 ab 于 e，交 bc 于 f，（ 1） 求證： be=cf; （ 2）如 ae=3 ， cf=1 ，求 ef 的長 .優(yōu)秀教案歡迎下載3.如圖， ca=cb,cd=ce, acb= ecd=90°,d

5、 為 ab 邊上的一點(diǎn) .如 ad=1 ， bd=3 ，求 cd 的長 .題型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例 1. 有一個(gè)傳感器掌握的燈，安裝在門上方，離地高4.5 米的墻上，任何東西只要移至5 米以內(nèi)，燈就自動打開，一個(gè)身高1.5 米的同學(xué)，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1， abc 的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試判定abc 的外形，并說明理由.（ 1）求證： abd=90° ;（ 2）求的值2.以下各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）a 、 9，12， 15b 、7,24,25c、d 、，優(yōu)秀教案歡迎下載3.在 a

6、bc 中，以下說法b= c-a ； a: b: c=3：4：5； a:b:c=5:4:3 ；：=1:2:3 ，其中能判定abc 為直角三角形的條件有（）a 、 2 個(gè)b、3 個(gè)c、4 個(gè)d、 5 個(gè)4.在 abc 中， a 、 b 、 c 的對邊分別是a、b、c.判定以下三角形是否為直角三角形？并判定哪一個(gè) 是直角？（ 1） a=26，b=10， c=24;（ 2） a=5， b=7， c=9;（ 3）a=2，a 、 2 個(gè)b、3 個(gè)c、4 個(gè)d 、5 個(gè)5.已知 abc 的三邊長為a、b、c，且滿意，就此時(shí)三角形肯定是（）a 、等腰三角形b、直角三角形c、等腰直角三角形d 、銳角三角形6.在

7、 abc 中，如 a= n21 ， b=2n，c= n21 ，就 abc 是（）a 、銳角三角形b、鈍角三角形c、等腰三角形d、直角三角形 7.如圖，正方形網(wǎng)格中的abc 是（）a 、直角三角形b、銳角三角形c、鈍角三角形d、銳角三角形或鈍角三角形 8.已知在 abc 中， a 、 b、 c 的對邊分別是a、b、c，以下說法中，錯誤選項(xiàng)（） a 、假如 c- b= a, 那么 c=90°b 、假如 c=90°，那么c、假如（ a+b）（a-b） =，那么 a=90°d 、假如 a=30°，那么 ac=2bc9.已知 abc 的三邊分別為a， b，c，且

8、a+b=3， ab=1，求的值，試判定abc 的外形，并說明理由10.觀看以下各式：，依據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個(gè)式子為 11.已知， m n， m、n 為正整數(shù)，以， 2mn，為邊的三角形是三角形 .12.一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1 ，n-1，8，其中 n+1 是最大邊， 當(dāng) n 為多少時(shí)， 三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題 6. 如圖， p 是等邊三角形abc 內(nèi)一點(diǎn)， pa=2,pb= 23 ,pc=4,求 abc 的邊長 .跟蹤練習(xí)1. 如圖，abc為等腰直角三角形，bac=90 °， e 、 f 是bc上的點(diǎn)，且eaf=45 °，摸索究be 2、cf2

9、、 ef 2間的關(guān)系，并說明理由.優(yōu)秀教案歡迎下載題型七：關(guān)于翻折問題例題 7.如圖，矩形紙片abcd的邊 ab=10cm ， bc=6cm ， e 為 bc 上一點(diǎn)，將矩形紙片沿ae 折疊，點(diǎn)b恰好落在 cd 邊上的點(diǎn)g 處，求 be 的長 .跟蹤練習(xí)1.如圖， ad 是 abc 的中線， adc=45 °，把 adc 沿直線 ad 翻折，點(diǎn)c 落在點(diǎn) c的位置， bc=4,求 bc 的長 .一折疊直角三角形1.如圖， 在 abc 中， a = 90，°點(diǎn) d 為 ab 上一點(diǎn)， 沿 cd 折疊 abc ，點(diǎn) a 恰好落在bc 邊上的a' 處，ab=4 ， ac=

10、3 ，求 bd 的長；2. 如圖， rt abc 中， b=90°，ab=3 ，ac=5 將 abc 折疊使 c 與 a 重合，折痕為de，求 be 的長優(yōu)秀教案歡迎下載（二）折疊長方形1.如圖，長方形abcd 中， ab=4 ，bc=5 ，f 為 cd 上一點(diǎn)，將長方形沿折痕af 折疊，點(diǎn) d 恰好落在bc上的點(diǎn) e 處，求 cf 的長；2. 如圖，長方形abcd中， ad=8cm ， ab=4cm ，沿 ef 折疊，使點(diǎn)d 與點(diǎn) b 重合，點(diǎn) c 與 c'重合 . （ 1）求 de 的長 ;（ 2）求折痕ef 的長 .3. （ 2021.常德）如圖，將長方形紙片abcd折

11、疊，使邊cd 落在對角線ac 上，折痕為ce， 且 d 點(diǎn)落在對角線 d處如 ab=3 ， ad=4 ，就 ed 的長為（）4. 如圖， 長方形 abcd 中， ab=6 ，ad=8 ，沿 bd 折疊使 a 到 a處 da交 bc 于 f 點(diǎn). （1）求證： fb=fe（ 2）求證： ca bd（ 3）求 dbf 的面積優(yōu)秀教案歡迎下載7. 如圖，正方形abcd 中，點(diǎn) e 在邊 cd 上，將 ade 沿 ae 對折至 afe ，延長 ef 交邊 bc 于點(diǎn) g,g為 bc 的中點(diǎn)，連結(jié)ag 、cf. （ 1）求證： ag cf; （ 2）求的值 .題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例 1、

12、如圖，大路mn 和大路 pq 在 p 點(diǎn)處交匯，點(diǎn)a 處有一所中學(xué)，ap=160 米，點(diǎn) a 到大路 mn 的距離為 80 米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，四周 100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；假如受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18 千米 /小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例 2.一輛裝滿貨物高為1.8 米，寬 1.5 米的卡車要通過一個(gè)直徑為5 米的半圓形雙向行駛隧道，它能順當(dāng)通過嗎？跟蹤練習(xí)：1.某市氣象臺測得一熱帶風(fēng)暴中心從a 城正西方向300km 處，以每小時(shí)26km 的速度向北偏東60°方向移動，距風(fēng)暴中心

13、200km 的范疇內(nèi)為受影響區(qū)域；試問a 城是否受這次風(fēng)暴的影響？假如受影響，請優(yōu)秀教案歡迎下載求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；假如沒有受影響，請說明理由；2.一輛裝滿貨物的卡車,其外形高 2.5 米,寬 1.6 米,要開進(jìn)廠門外形如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 .3.有一個(gè)邊長為50dm 的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）4.如圖，鐵路上 a ，b 兩點(diǎn)相距 25km ，c，d 為兩村莊，da ab 于 a ，cb ab 于 b ，已知 da=15km,cb=10km，現(xiàn)在要在鐵路ab 上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站e，使得 c，d 兩村到 e 站的

14、距離相等，就e 站應(yīng)建在離a 站多少 km 處？題型九：關(guān)于最短性問題例 1、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2 米，高為4 米的油罐的下底邊沿a 處，它發(fā)覺在自己的正上方油罐上邊緣的b 處有一只害蟲，便打算捕獲這只害蟲，為了不引起害蟲的留意，它有意不走直線，而是圍著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然突擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到勝利，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲.（ 取 3.14，結(jié)果保留1 位小數(shù)，可以用運(yùn)算器運(yùn)算）優(yōu)秀教案歡迎下載例 2.跟蹤練習(xí)：1.如圖為一棱長為3cm 的正方體，把全部面都分為9 個(gè)小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬 行 2cm

15、，就它從下地面a 點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的b 點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？2.如圖，是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于 5cm， 3cm 和 1cm， a 和 b 是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)， a 點(diǎn)上有一只螞蟻， 想到 b 點(diǎn)去吃可口的食物 .請你想一想， 這只螞蟻從 a 點(diǎn)動身，沿著臺階面爬到 b 點(diǎn)，最短線路是多少？a531b3.一個(gè)長方體盒子的長、寬、高分別為8cm， 6cm， 12cm,一只螞蟻想從盒底的a 點(diǎn)爬到盒頂?shù)腷 點(diǎn),你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？baa4.如圖將一根13.5 厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4 厘米、 3 厘米和 12 厘

16、米的長方體無蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？a？3優(yōu)秀教案歡迎下載題型十：勾股定理與特別角（一）直接運(yùn)用30°或 45°的直角三角形1.如圖，在 abc 中， c = 90，° b = 30°， ad 是 abc 的角平分線，如ac= 23 ，求 ad的長；2.如圖，在 abc 中， acb = 90 °， ad 是 abc 的角平分線，cd ab于 d， a= 30 °，cd=2 ，求 ab的長；3.如圖，在 abc 中， a d bc于 d， b= 60 °， ,c= 45 ，°ac=2 ，求 bd 的長；（二）作垂

17、線構(gòu)造30°或 45°的直角三角形（ 1）將 105°轉(zhuǎn)化為45°和 60°1.如圖，在 abc 中， b= 45 °， a=105 °， ac=2 ，求 bc 的長；2. 如圖，在四邊形abcd中， a= c=45°， adb= abc=105 ° ,如ad=2, 求 ab的長；如ab+cd= 23 +2，求 ab 的長；優(yōu)秀教案歡迎下載cdab（ 2）將 75°轉(zhuǎn)化為30°和 45°3. 如圖，在 abc 中， b= 45 °， bac=75 °， a

18、b=6，求 bc 的長；題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如圖，在 abc 中， c= 90 °， ad 平分 cab 交 cb 于 d ，cd=3,bd=5 ，求 ad 的長；2. 如圖，在 abc 中， a d bc于 d，且 cad=2 bad, 如 bd=3 ， cd=8 ，求 ab 的長；二巧用“連環(huán)勾”列方程1. 如圖，在 abc 中， ab=5 ，bc=7 ， ac= 42 ,求 sabc .優(yōu)秀教案歡迎下載2. 如圖，在 abc 中， acb= 90 °， cd ab于 d， ac=3， bc=4，求 ad 的長；3. 如圖， ab

19、c 中， acb=90°， cd ab 于 d， ad=1 ， bd=4 ，求 ac 的長4.如圖， abc 中， acb=90°， cd ab 于 d ，cd=3 ， bd=4 ，求 ad 的長題型十二：勾股定理與分類爭論（一）銳角與鈍角不明時(shí)需分類爭論1. 在 abc 中， ab=ac=5 ，求 bc 的長2. 在 abc 中， ab=15 ， ac=13 ， ad 為 abc 的高，且ad=12 ，求 abc 的面積；優(yōu)秀教案歡迎下載（二）腰和底不明時(shí)需分類爭論3.如圖 1， abc 中， acb=90°，ac=6 ，bc=8 ，點(diǎn) d 為射線 ac 上一點(diǎn)

20、，且 abd 是等腰三角形，求 abd的周長 .（三）直角邊和斜邊不明時(shí)需分類爭論1.已知直角三角形兩邊分別為2 和 3，就第三邊的長為 2.在 abc 中， acb=90°，ac=4 ， bc=2 ，以 ab 為邊向外作等腰直角三角形abd ，求 cd 的長3.如圖， d2,1, 以od 為一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè).寫出落在 x 軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：或問題的證明優(yōu)秀教案歡迎下載1.如圖 1， abc 中， ca=cb ， acb=90°， d 為 ab 的中點(diǎn)， m 、n 分別為 ac 、bc 上一點(diǎn)，且 dm dn.

21、（ 1）求證： cm+cn= bd（ 2）如圖 2，如 m 、n 分別在 ac 、cb 的延長線上，探究 cm 、cn 、bd 之間的數(shù)量關(guān)系式；2.已知 bcd= ， bad= ，cb=cd. （ 1）如圖 1，如 = =9，0 °求證： ab+ad= ac ；（ 2）如圖 2，如 =90，°求證： ab-ad= ac ；（ 3）如圖 3，如 =120°， =60°，求證： ab=ad= ac ；（4）如圖 3，如 = =12，0 °求證： ab-ad= ac ；優(yōu)秀教案歡迎下載題型十四：問題的證明1.如圖， oa=ob ，oc=od ，ao

22、b= cod=90°，m 、n 分別為 ac 、bd 的中點(diǎn)， 連 mn 、on. 求證：mn= on.2.已知 abc 中， ab=ac ， bac=90°， d 為 bc 的中點(diǎn)， ae=cf ，連 de 、ef. （ 1）如圖 1，如 e、f 分別在 ab 、ac 上，求證： ef=de；（ 2）如圖 2，如 e、f 分別在 ba 、ac 的延長線上，就1中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由優(yōu)秀教案歡迎下載3.如圖， abd 中， o 為 ab 的中點(diǎn)， c 為 do 延長線上一點(diǎn)，aco=135°， odb=45°探究 od 、oc 、ac 之間相等的

23、數(shù)量關(guān)系4.如圖， abd是等腰直角，bad=90°， bc ad ，bc=2ab ， ce 平分 bcd ，交 ab 于 e，交 bd于 h 求證：（ 1） dc=da ；（ 2） be=dh題型十五： 勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖優(yōu)秀教案歡迎下載1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1， a 、b、c 是小正方形的頂點(diǎn)，就abc 的度數(shù)為2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長分別是3,2，且三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個(gè)邊長為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上4.在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注

24、的格點(diǎn)只有3 個(gè)5.如圖，在4 個(gè)勻稱由16 個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4 個(gè)三角形中，與眾不同的是 中的三角形，圖4 中最長邊上的高為 6.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按以下要求畫圖：（ 1）畫一條線段mn ，使 mn=；（ 2）畫 abc ，三邊長分別為3， 2；7.如圖，在5×5 的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段 ab 的端點(diǎn)在格點(diǎn)上優(yōu)秀教案歡迎下載（ 1）圖 1 中以 ab 為腰的等腰三角形有 個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊長（ 2）圖 2 中， 以 ab 為底邊的等腰三角形有 個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊上的高題型十六： 利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在 abc 中，點(diǎn) d 為 bc 邊上一點(diǎn)，且ab=10 ，bd=6 ， ad=8 ， ac=7 ，其求 cd 的長 .2.如圖，在四邊形abcd 中， b=90°， ab=2 ，cd=5 ， ad=4 ，求.3.如圖，在 abc 中， ad 為 bc 邊上的中線，ab=5,ac=13,ad=6，求 bc 的長 .優(yōu)秀教案歡迎下載4.已知 abc 中， ca