動點問題題型方法歸納

1、動點問題題型方法歸納動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點， 近幾年考查探究運動中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點撥。一、三角形邊上動點1、（ 2009 年齊齊哈爾市） 直線 y3 x6 與坐標軸分別交于 A、B 兩點， 動點 P、 Q 同時4從 O 點出發(fā)，同時到達A 點，運動停止點Q 沿線段 OA 運動，速度為每秒1 個

2、單位長度，點 P沿路線 OB A運動（ 1）直接寫出 A、B 兩點的坐標；（ 2）設(shè)點 Q 的運動時間為 t 秒， OPQ 的面積為 S ，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng) S48P 的坐標，并直接寫出以點O、 P、 Q 為頂點的平行四邊形的第時，求出點5四個頂點 M 的坐標yBPO QA x提示：第（ 2 ）問按點P 到拐點 B 所有時間分段分類；第（ 3 ）問是分類討論：已知三定點O 、 P、Q ，探究第四點構(gòu)成平行四邊形時按已知線段身份不同分類-OP 為邊、 OQ 為邊， OP 為邊、 OQ 為對角線， OP為對角線、 OQ 為邊。然后畫出各類的圖形，根據(jù)圖形性質(zhì)求頂點坐標。

3、2、（ 2009 年衡陽市 ）如圖， AB 是 O 的直徑，弦BC=2cm ， ABC=60 o（ 1）求 O 的直徑；（ 2）若 D 是 AB 延長線上一點，連結(jié) CD，當(dāng) BD 長為多少時， CD 與 O 相切；（ 3）若動點E 以 2cm/s 的速度從A 點出發(fā)沿著AB 方向運動，同時動點F 以 1cm/s 的速度從 B 點出發(fā)沿 BC 方向運動， 設(shè)運動時間為 t( s)( 0 t2) ，連結(jié) EF，當(dāng) t 為何值時， BEF為直角三角形注意：第（ 3 ）問按直角位置分類討論CCCFFEAABABOBDOOE圖（ 1）圖（ 2）圖（ 3）3、（ 2009 重慶綦江） 如圖，已知拋物線y

4、 a( x 1)2 3 3( a0) 經(jīng)過點 A(2，0) ，拋物線的頂點為 D ，過 O 作射線 OM AD 過頂點 D 平行于 x 軸的直線交射線OM 于點C ， B 在 x 軸正半軸上，連結(jié) BC （ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）若動點 P 從點 O 出發(fā)，以每秒 1個長度單位的速度沿射線OM 運動，設(shè)點 P 運動的時間為 t( s) 問當(dāng) t 為何值時，四邊形DAOP 分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）若 OC OB ，動點 P 和動點 Q 分別從點 O 和點 B 同時出發(fā)，分別以每秒1 個長度單位和 2 個長度單位的速度沿OC 和 BO 運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另

5、一個點也隨之停止運動 設(shè)它們的運動的時間為t (s) ，連接 PQ ，當(dāng) t 為何值時， 四邊形 BCPQ 的面積最??？并求出最小值及此時PQ 的長注意：發(fā)現(xiàn)并充分運用特殊角DAB=60 °當(dāng) OPQ面 yDMBCPQ 的面積最小。積最大時，四邊形CPAOQB x二、特殊四邊形邊上動點4、（ 2009 年吉林?。?如圖所示，菱形ABCD的邊長為 6 厘米，B從初始時刻開60°始，點 P 、 Q 同時從 A 點出發(fā)，點 P 以 1 厘米 /秒的速度沿A CB 的方向運動，點 Q以 2 厘米 /秒的速度沿A B CD 的方向運動，當(dāng)點Q 運動到D點時， P、Q兩點同時停止運動，

6、設(shè)P、 Q 運動的時間為x 秒時， APQ 與 ABCy平重疊部分 的面積為方厘米（這里規(guī)定：點和線段是面積為O 的三角形），解答下列問題：（ 1）點 P 、 Q 從出發(fā)到相遇所用時間是秒；（ 2）點 P 、Q 從開始運動到停止的過程中， 當(dāng) APQ 是等邊三角形時x 的值是秒；（ 3）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式DCPA QB提示：第 (3) 問按點 Q 到拐點時間B、 C 所有時間分段分類；提醒 -高相等的兩個三角形面積比等于底邊的比。5、（ 2009 年哈爾濱） 如圖 1，在平面直角坐標系中，點O 是坐標原點，四邊形ABCO 是菱形，點 A 的坐標為（3， 4），點 C 在 x 軸的

7、正半軸上，直線AC 交 y 軸于點 M，AB 邊交 y軸于點 H（ 1）求直線 AC 的解析式；（ 2）連接 BM，如圖 2，動點 P 從點 A 出發(fā)，沿折線 ABC 方向以 2 個單位秒的速度向終點 C 勻速運動，設(shè) PMB的面積為 S（ S 0），點 P 的運動時間為 t 秒，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t 的取值范圍）；（ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)t 為何值時， MPB 與 BCO 互為余角，并求此時直線OP 與直線 AC 所夾銳角的正切值yAH BAyHBMOCxMOCx圖（ 1）圖（ 2）注意：第（2 ）問按點 P 到拐點 B 所用時間分段分類；第（ 3 ）問發(fā)

8、現(xiàn) MBC=90°，BCO 與ABM 互余，畫出點P 運動過程中，MPB= ABM 的兩種情況，求出t 值。利用 OB AC, 再求 OP 與 AC 夾角正切值 .6、 (2009 年溫州 )如圖，在平面直角坐標系中，點A( 3 ，0) ，B(33 ， 2) ，C（ 0，2)動點 D 以每秒 1 個單位的速度從點 0 出發(fā)沿 OC向終點 C 運動，同時動點 E 以每秒 2 個單位的速度從點 A 出發(fā)沿 AB向終點 B 運動過點 E 作 EF上 AB，交 BC于點 F，連結(jié) DA、 DF設(shè)運動時間為 t 秒(1) 求 ABC的度數(shù)；(2) 當(dāng) t 為何值時， ABDF；(3) 設(shè)四邊形

9、 AEFD的面積為 S求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；若一拋物線y=x 2+mx經(jīng)過動點E，當(dāng) S<23 時，求 m的取值范圍 ( 寫出答案即可 ) 注意：發(fā)現(xiàn)特殊性， DE OA7、（ 07黃岡）已知：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，且 AOC=60°，點B 的坐標是(0,83) ，點P 從點C 開始以每秒1 個單位長度的速度在線段CB上向點B 移動，同時，點Q 從點O 開始以每秒a（1 a 3 ）個單位長度的速度沿射線OA方向移動，設(shè)t (0t8) 秒后，直線PQ交OB于點D.（ 1）求 AOB 的度數(shù)及線段 OA 的長；（ 2 ）求經(jīng)過 A ，B，C 三點

10、的拋物線的解析式；（ 3）當(dāng) a 3,OD43 時，求 t 的值及此時直線 PQ 的解析式；3OAB 相似？當(dāng) a 為何值時，以（ 4）當(dāng) a 為何值時，以O(shè) ， P， Q ， D 為頂點的三角形與O ， P， Q ， D 為頂點的三角形與OAB 不相似？請給出你的結(jié)論，并加以證明.yBPCDAQxO8 、（ 08 黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB 中， OC AB ，以 O 為原點建立平面直角坐標系， A， B，C 三點的坐標分別為A(8，0)， B(810)， C (0，4) ，點 D 為線段 BC 的中點，動點 P 從點 O 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度， 沿折線 OABD 的路線

11、移動， 移動的時間為t 秒（ 1）求直線 BC 的解析式；（ 2 ）若動點 P 在線段 OA 上移動， 當(dāng) t 為何值時， 四邊形 OPDC 的面積是梯形 COAB 面積的 2 ？7（ 3 ）動點 P 從點 O 出發(fā)，沿折線OABD 的路線移動過程中，設(shè)直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t 的取值范圍；OPD 的面積為S ，請（ 4 ）當(dāng)動點 P 在線段 AB 上移動時， 能否在線段OA 上找到一點 Q ，使四邊形 CQPD 為矩形？請求出此時動點P 的坐標；若不能，請說明理由BByyDDCCOPAx OAx（此題備用）9 、 (09 年黃岡市 )如圖 ,在平面直角坐標系xoy中

12、 , 拋物線 y1 x24 x10 與 x 軸的交點為189Bx點 A, 與 y 軸的交點為點.過點作軸的平B行線 BC,交拋物線于點C,連結(jié) AC現(xiàn)有兩動點P,Q 分別從 O ,C 兩點同時出發(fā) ,點 P 以每秒 4 個單位的速度沿OA 向終點 A移動,點Q 以每秒 1個單位的速度沿CB 向點 B 移動 ,點 P 停止運動時 , 點 Q 也同時停止運動,線段 OC, PQ 相交于點D,過點 D 作 DEOA ,交 CA 于點 E,射線 QE 交 x軸于點 F設(shè)動點 P,Q 移動的時間為t(單位 :秒)(1) 求 A,B,C 三點的坐標和拋物線的頂點的坐標;(2) 當(dāng) t 為何值時 , 四邊形

13、 PQCA 為平行四邊形 ?請寫出計算過程 ;(3) 當(dāng) 0 t 9 時 ,PQF 的面積是否總為定值?若是 ,求出此定值 ,若不是 ,請說明理由 ;2(4) 當(dāng) t 為何值時 , PQF 為等腰三角形 ?請寫出解答過程提示：第（ 3）問用相似比的代換，得 PF=OA（定值）。第（ 4）問按哪兩邊相等分類討論 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、直線上動點8、（2009 年湖南長沙） 如圖，二次函數(shù)yax2bxc（ a0 ）的圖象與 x 軸交于 A、 B兩點，與 y 軸相交于點 C 連結(jié) AC、 BC，A、C 兩點的坐標分別為A( 3，0) 、 C (0， 3) ，且當(dāng) x4 和 x2 時

14、二次函數(shù)的函數(shù)值y 相等（ 1）求實數(shù) a， b， c的值；（ 2）若點 M 、N 同時從 B 點出發(fā)， 均以每秒1 個單位長度的速度分別沿BA、 BC 邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動當(dāng)運動時間為t 秒時，連結(jié) MN ，將 BMN 沿 MN 翻折， B點恰好落在 AC 邊上的 P 處，求 t 的值及點 P 的坐標；（ 3）在（ 2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點Q ，使得以B，N，Q 為項點的三角形與 ABC 相似？如果存在，請求出點Q 的坐標；如果不存在，請說明理由yCPNAM OBx提示：第（ 2 ）問發(fā)現(xiàn)特殊角 CAB=30 °,CBA=60 &

15、#176;特殊圖形四邊形BNPM為菱形；第 (3) 問注意到 ABC 為直角三角形后，按直角位置對應(yīng)分類；先畫出 與ABC 相似的BNQ，再判斷是否在對稱軸上。9 、（ 2009眉山） 如圖，已知直線1yx1與y軸交于點Ax 軸交于點D2，與，拋物線yxbx c與直線交于A EB C兩點，且B點坐標為(1，0)。12、兩點，與 x 軸交于、2求該拋物線的解析式；動點 P 在 x 軸上移動，當(dāng) PAE是直角三角形時，求點P 的坐標 P。在拋物線的對稱軸上找一點M，使 | AMMC |的值最大，求出點M的坐標。提示：第（ 2 ）問按直角位置分類討論后畫出圖形 - P 為直角頂點AE 為斜邊時，以A

16、E為直徑畫圓與x 軸交點即為所求點P，A 為直角頂點時， 過點 A 作 AE 垂線交 x 軸于點 P， E 為直角頂點時，作法同；第（ 3 ）問，三角形兩邊之差小于第三邊，那么等于第三邊時差值最大。10、（2009 年蘭州） 如圖，正方形 ABCD中，點 A、B 的坐標分別為（ 0，10），（ 8，4）， 點C在第一象限 動點 P 在正方形 ABCD的邊上， 從點 A 出發(fā)沿 A B CD勻速運動， 同時動點 Q以相同速度在 x 軸正半軸上運動， 當(dāng) P 點到達 D點時，兩點同時停止運動， 設(shè)運動的時間為 t 秒(1) 當(dāng) P 點在邊 AB上運動時，點Q的橫坐標 x （長度單位）關(guān)于運動時間t

17、 （秒）的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點開始運動時的坐標及點P運動速度；Q(2) 求正方形邊長及頂點 C的坐標；(3) 在（ 1）中當(dāng) t 為何值時， OPQ的面積最大，并求此時P 點的坐標；(4) 如果點 P、 Q保持原速度不變，當(dāng)點 P 沿 A B C D勻速運動時， OP與 PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的 t 的值；若不能，請說明理由注意：第（ 4 ）問按點P 分別在AB 、BC 、CD 邊上分類討論；求t 值時，靈活運用等腰三角形“三線合一” 。11、（2009 年北京市） 如圖，在平面直角坐標系xOy 中， ABC三個頂點的坐標分別為A 6,0 ， B 6,0 ， C 0,4 3

18、 ，延長 AC 到點 D,使 CD=1 AC,過點 D 作 DEAB 交2BC 的延長線于點 E.（ 1）求 D 點的坐標；（ 2）作 C 點關(guān)于直線 DE 的對稱點 F,分別連結(jié) DF 、 EF，若過 B 點的直線 ykx b 將四邊形 CDFE 分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（ 3）設(shè) G 為 y 軸上一點，點 P 從直線 ykxb 與 y 軸的交點出發(fā)，先沿 y 軸到達 G 點，再沿 GA 到達 A 點，若 P 點在 y 軸上運動的速度是它在直線GA 上運動速度的2 倍，試確定 G 點的位置，使 P 點按照上述要求到達A 點所用的時間最短。 （要求：簡述確定 G 點位置的

19、方法，但不要求證明）提示：第（）問，平分周長時，直線過菱形的中心；第（）問，轉(zhuǎn)化為點到的距離加到（）中直線的距離和最小；發(fā)現(xiàn)（）中直線與軸夾角為°. 見“最短路線問題”專題。12、 (2009 年上海市 )ADADADPPP已知 ABC=90°，QAB=2，BC=3，ADCBC BC，P為線BC（ Q）圖 1B圖 2圖 3Q段 BD上的動點，點Q在射線 AB上，且滿足 PQAD （如圖1 所示）PCAB（ 1）當(dāng) AD=2，且點 Q 與點 B 重合時（如圖2 所示），求線段 PC 的長；（ 2）在圖 8 中，聯(lián)結(jié)當(dāng)AD3QABB、QAP，且點在線段上時，設(shè)點之間的距離為 x

20、 ，2SAPQy，其中S表示 APQ的面積，表示PBC的面積，求y關(guān)于 x 的函數(shù)SPBCAPQS PBC解析式，并寫出函數(shù)定義域；（ 3）當(dāng) ADAB ，且點 Q 在線段 AB 的延長線上時（如圖 3 所示），求QPC 的大小注意：第（ 2 ）問，求動態(tài)問題中的變量取值范圍時，先動手操作 找到運動始、末兩個位置變量的取值，然后再根據(jù)運動的特點確定滿足條件的變量的取值范圍。當(dāng)PC BD 時，點 Q 、B 重合， x 獲得最小值；當(dāng) P 與 D 重合時， x 獲得最大值。第（ 3 ）問，靈活運用SSA 判定兩三角形相似，即兩個銳角三角形或兩個鈍角三角形可用 SSA 來判定兩個三角形相似；或者用同

21、一法；或者證BQP BCP，得 B、 Q 、 C、P 四點共圓也可求解。13、（08 宜昌）如圖，在 RtABC中， ABAC，P 是邊 AB（含端點）上的動點過 P 作 BC 的垂線 PR，R為垂足， PRB的平分線與 AB 相交于點 S，在線段 RS上存在一點 T，若以線段 PT為一邊作正方形 PTEF，其頂點 E，F(xiàn) 恰好分別在邊 BC，AC上（1） ABC與 SBR是否相似，說明理由；（2）請你探索線段 TS與 PA的長度之間的關(guān)系；（3）設(shè)邊 AB1，當(dāng) P 在邊 AB（含端點）上運動時，請你探索正方形 PTEF的面積 y 的最小值和最大值BBRTRTSSEEPPCFACFA(第 1

22、3 題)(第 13 題)提示：第（ 3）問，關(guān)鍵是找到并畫出滿足條件時最大、最小圖形；當(dāng)p 運動到使T 與 R 重合時， PA=TS 為最大；當(dāng)P 與 A 重合時， PA 最小。此問與上題中求取值范圍類似。14、 (2009年河北 ) 如圖，在 Rt ABC 中， C=90°， AC = 3 ， AB = 5 點 P 從點 C 出發(fā)沿CA 以每秒1 個單位長的速度向點A 勻速運動，到達點A 后立刻以原來的速度沿 AC 返回；點 Q從點 A出發(fā)沿 AB以每秒1 個單位長的速度向點B 勻速運動伴隨著 P、 Q 的運動，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于點 D，交折線 QB-BC-C

23、P 于點 E點 P、 Q 同時出發(fā)，當(dāng)點 Q 到達點 B 時停止運動，點P 也隨之停止設(shè)點 P、Q 運動的時間是 t 秒（ t 0）（ 1）當(dāng) t = 2 時， AP =，點 Q 到 AC 的距離是；（ 2）在點 P的取值范圍）從C向A運動的過程中，求 APQ 的面積S 與t 的函數(shù)關(guān)系式； （不必寫出t（ 3）在點E 從B 向C 運動的過程中， 四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求 t 的值若不能，請說明理由；（ 4）當(dāng) DE 經(jīng)過點 C 時，請直接 寫出 t 的值BEQDAPC提示：（）按哪兩邊平行分類，按要求畫出圖形，再結(jié)合圖形性質(zhì)求出t 值；有二種成立的情形，；（）按點P 運動方向

24、分類，按要求畫出圖形再結(jié)合圖形性質(zhì)求出t 值；有二種情形，t 時，時15、（2009 年包頭） 已知二次函數(shù)y ax2bx c（ a0 ）的圖象經(jīng)過點A(1，0) ， B(2，0) ，C (0， 2) ，直線 x m （ m 2）與 x 軸交于點 D （ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）在直線 xm （ m2 ）上有一點E （點E 在第四象限），使得E、 D、B 為頂點的三角形與以 A、O、C 為頂點的三角形相似，求E 點坐標（用含m 的代數(shù)式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的條件下， 拋物線上是否存在一點F ，使得四邊形ABEF 為平行四邊形？若存在，請求出m 的值及四邊形ABEF 的面積；

25、若不存在，請說明理由提示：第（ 2）問，按對應(yīng)銳角不同分類討論，有兩種情形；第（ 3）問，四邊形 ABEF 為平行四邊形時， E、F 兩點縱坐標相等，且 AB=EF ，對第（ 2）問中兩種情形分別討論。四、拋物線上動點16、（ 2009 年湖北十堰市） 如圖， 已知拋物線yax2bx3（ a 0）與x 軸交于點A(1，0)和點 B ( 3， 0)，與 y 軸交于點 C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與x 軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使 CMP角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P 的坐標；若不存在，請說明理由為等腰三(3) 如圖，若點最大值，并求此時E 為第二

26、象限拋物線上一動點，連接 E 點的坐標BE、 CE，求四邊形BOCE面積的注意：第（2 ）問按等腰三角形頂點位置分類討論畫圖再由圖形性質(zhì)求點P 坐標 - C為頂點時，以C 為圓心CM為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點P， M為頂點時，以M為圓心MC為半徑畫弧， 與對稱軸交點即為所求點P， P 為頂點時， 線段MC的垂直平分線與對稱軸交點即為所求點P。第（ 3 ）問方法一，先寫出面積函數(shù)關(guān)系式，再求最大值（涉及二次函數(shù)最值） ； 方法二，先求與 BC 平行且與拋物線相切點的坐標（涉及簡單二元二次方程組） ，再求面積。17、（ 2009 年黃石市） 正方形 ABCD 在如圖所示的平面直角坐標系中，A 在 x 軸正半軸上，D 在 y 軸的負半軸上，AB 交 y 軸正半軸于 E， BC 交 x 軸負半軸于 F ， OE 1 ，拋物線y ax2bx 4 過 A、D、F 三點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）Q 是拋物線上