北京歷年高考文科數(shù)列大題匯總

1、北京歷年高考文科數(shù)列大題匯總1. （本小題 13 分）已知等差數(shù)列an滿意a1a210,a4a32.（）求 an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)等比數(shù)列bn滿意b2a3,b3a7. 問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？2.（本小題滿分 13 分）已知an是等差數(shù)列，滿意a13，a412，數(shù)列bn滿意b14，b420，且bnan是等比數(shù)列 .（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.3 （本小題共 13 分）給定數(shù)列a1，a2，l l，an；對i1,2,3,l ,n1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為ai，后ni項(xiàng)ai 1，ai2，l l，an的最小值記為bi，diaibi；（1）設(shè)數(shù)列an為3，4，

2、7，1，寫出d1，d2，d3的值；（2）設(shè)a1，a2，l l，an（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10，證明d1，d2，l l，dn 1是等比數(shù)列；（3）設(shè)d1，d2，l l，dn 1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，證明a1，a2，l l，an 1是等差數(shù)列；4.（本小題共 13 分）設(shè)a是如下形式的 2 行 3 列的數(shù)表，abcdef滿意性質(zhì)p:a,b,c,d, e, f 1,1，且abcdef0；記ri a為a的第i行各數(shù)之和i1,2，cj a為第j列各數(shù)之和 j 1,2,3；記ka為|r1a|，|r2a |，| c1a |，|c2a |，| c3a|中的最小值；（）對如下數(shù)表a，求

3、ka的值（）設(shè)數(shù)表a形如110.80.10.311112ddd1其中1d0；求k a的最大值；（）對全部滿意性質(zhì)p的 2 行 3 列的數(shù)表a，求ka的最大值5 （本小題共 13 分）如數(shù)列an: a1,a2,ann2滿意ak 1ak1k1,2,n1)，就稱an為e數(shù)列，記sana1a2an.（）寫出一個(gè) e 數(shù)列 a5滿意a1a30；（）如a112，n=2000，證明：e 數(shù)列an是遞增數(shù)列的充要條件是an=2021；（）在a14的 e 數(shù)列an中，求使得s an=0 成立得 n 的最小值 .6. （本小題共 13 分）已知 集 合sn x | xx1,x2,，xn,x10,1, i1,2,n

4、 n2)對 于aa1,a2,an,，bb1,b2,bn,sn，定義 a與 b的差為ab|a1b1|,|a2b2|,|anbn|;a與 b之間的距離為da,b| a1b1|i 1（）當(dāng) n=5 時(shí)，設(shè)a0,1,0,0,1,b1,1,1,0,0，求a b，da,b；（）證明：a,b,csn,有absn，且da c, bcd a,b;證明：a,b,csn,da,b,da,c,db,c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)7 （本小題共 13 分）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpnqn n ,p0).數(shù)列bn定義如下：對于正整數(shù)m，bm是使得不等式anm成立的全部n中的最小值 .（）如p1,q1，求b3；23（）如p2

5、,q1，求數(shù)列bm的前 2m項(xiàng)和公式；（）是否存在p和q，使得bm3m2m n？假如存在，求p和q的取值范疇；假如不存在，請說明理由.n1nn8 （本小題共 13 分）數(shù)列 a 滿意a1,a2nnan1,2,.,是常數(shù) .（）當(dāng) a2=-1 時(shí)，求及 a3的值；（）數(shù)列 an 是否可能為等差數(shù)列？如可能，求出它的通項(xiàng)公式；如不行能，說明理由；（）求的取值范疇，使得存在正整數(shù)m, 當(dāng) nm時(shí)總有 an0.9.（本小題共 13 分）數(shù)列an中，a12 an 1ancn（c是常數(shù)，n1， 2， 3， l） ，且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列（i）求c的值；1（ii）求an的通項(xiàng)公式答案：1.

6、（共 13 分）解：（）設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d由于a4a32，所以d2又由于a1a210，所以2a1d10，故a14所以an42n1 2n2n 1,2,.（）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q由于b2a38,b3a716所以q2,b14所以b6426 1128由1282n2得n63所以b6與數(shù)列 an的第 63 項(xiàng)相等2（共 13 分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得da4a1123333ana1n1d3nn1,2,.設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得nq3b4a4b1a120128，解得q243所以bnanb1a1qn 12n 1從而bn3n2n 1n1,2,.（2）由（1）知bn

7、3n2n 1n1,2,.數(shù) 列3n的 前n項(xiàng) 和 為3nn21)， 數(shù) 列2n 1的 前n項(xiàng) 和 為12n12n112所以，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為3nn21 2n13（本小題共 13 分）解：（ 1）d1a1b13 12，d2a2b2413，d3a3b3716（2）由于a1，a2，l l，an（n4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a10所以aa q1n1所以當(dāng)k1,2,3,l ,n1時(shí)，dkakbkakak 1所以當(dāng)k2,3,l ,n1時(shí)，dkakak1ak 1q1 qqdk 1ak 1akak 11 q所以d1，d2，l l，dn 1是等比數(shù)列；（3）如d1，d2，l l，dn 1是公差大于0

8、的等差數(shù)列，就0d1d2ldn 1a1，a2，l l，an 1應(yīng)是遞增數(shù)列，證明如下：設(shè)ak是第一個(gè)使得akak1的項(xiàng)，就ak 1ak，bk1bk，所以dk 1ak 1bk 1akbkdk，與已知矛盾；所以，a1，a2，l l，an 1是遞增數(shù)列再證明an數(shù)列an中最小項(xiàng)，否就akan（k2,3,l ,n1），就明顯k1，否就d1a1b1a1b1a1a10，與d10沖突因而k2，此時(shí)考慮dk 1ak 1bk 1ak 1ak0，沖突因此an是數(shù)列an中最小項(xiàng)綜上，dkakbkakan（k2,3,l ,n1）于是akdkan，也即a1，a2，l l，an 1是等差數(shù)列4.5.（共 13 分）解：

9、（）0，1，0，1，0 是一具滿意條件的e 數(shù)列 a5.（答案不唯獨(dú)， 0， 1，0，1，0；0， 1，0，1，2；0， 1，0，1，2；0，1，0，1，2，0，1，0，1，0 都是滿意條件的e 的數(shù)列 a5）（）必要性：由于e 數(shù)列 a5是遞增數(shù)列，所以ak 1ak1k1,2,1999所以 a5是首項(xiàng)為 12，公差為 1的等差數(shù)列所以 a2000=12+（20001）1=2011充分性，由于 a2000a10001，a2000a10001a2a11所以 a2000at1999，9 即 a2000a1+1999又由于 a1=12，a2000=2021,所以 a2000=a1+1999故an 1

10、an10k1,2,1999,即an是遞增數(shù)列綜上，結(jié)論得證 .（）對首項(xiàng)為 4 的 e 數(shù)列 ak，由于a2a113,a3a212,a5a713.所以a1a2ak0k2,3,8所以對任意的首項(xiàng)為4 的 e 數(shù)列 am，如sam0,就必有n9.又a14的 e 數(shù)列a1: 4,3,2,1,0, 1, 2,3, 4滿意 sa10,所以 n 是最小值是 9.6. 共 13 分（）解：ab 01,1 1, 01, 00 ,10=（1,0,1,0,1）da,b01 11 010010=3證明：設(shè)aa1,a2, ,an,bb1,b2, ,bn,cc1,c2, ,cn sn由于a1,b10,1，所以a1b10

11、,1i1,2,n從而aba1b1, a2b2,anbn sn由題意知ai,bi,ci0,1i1,2,n當(dāng)ci0時(shí)，aicibiciaibi當(dāng)ci1時(shí)，aicibici1 ai1biaibi所以da c,bcnaibii 1d a,b證明：設(shè)aa1,a2, ,an,bb1,b2, ,bn,cc1,c2, ,cn snda,bk,da,cl,db,c h記00,0,0sn由（）可知d a,bdaa,bad0,bakd a,cdaa,cad0,caldb,cdba,cah所以bilaii1,2,n中 1 的個(gè)數(shù)為 k,ciaii1,2,n中 1 的個(gè)數(shù)為設(shè)t是使biaiciai1成立的i的個(gè)數(shù)；就h

12、lk2t由此可知，k ,l , h三個(gè)數(shù)不行能都是奇數(shù)即da,b,d a,c, d b,c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；7.此題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算才能、推理論證才能、 分類爭論等數(shù)學(xué)思想方法 此題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題 .（）由題意，得an1n1，解1n13，得23n20.2333m1n13成立的全部n中的最小正整數(shù)為7，即b7.23（）由題意，得an2n1，對于正整數(shù) m，由anm，得nm 1.2依據(jù)bm的定義可知當(dāng)m2k1時(shí)，bk kn*；當(dāng)m2k時(shí)，bmk1 kn*.b1b2lb2mb1b3lb2m 1b2b4lb2 m123lm234lm1m22m.（）假

13、設(shè)存在p和q滿意條件，由不等式pnqm及p0得nmq.pbm3m2m n,依據(jù)bm的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有3m1mqp3m2，即2pq3p1mpq對任意的正整數(shù)m都成立.當(dāng)3 p 10（或3p10）時(shí)，得mpq（或m2pq） ，3p13p1這與上述結(jié)論沖突！當(dāng)3 p 10，即p1時(shí)，得2q01q，333m m1m m32220解得2q1. （經(jīng)檢驗(yàn)符合題意）33 存在p和q，使得bm3m2m n ；p和q的取值范疇分別是p1，2q1.3338解：（）由于an 1nnann1,2,且 a1=1，所以當(dāng) a2= -1 時(shí)，得12,故3.從而a32223 1 3.（）數(shù)列 an 不行能為等

14、差數(shù)列 .證明如下：由 a1=1，an21nnan得a22,a362 ,a412 6 2 .如存在，使 an為等差數(shù)列，就a3-a2=a2-a1,即52 1，解得=3.于是a2a112,a4a311 6 2 24.這與an為等差數(shù)列沖突，所以，對任意， an都不可能是等差數(shù)列 .（）記bn2nn 1,2,依據(jù)題意可知， b 0 且b0，即n1n2 且n2nnn* ，這時(shí)總存在n0n*，滿意：當(dāng) nn0時(shí)，bn0；當(dāng) nn0-1 時(shí)， bn0.所以由 an+1=bnan及 a1=10 可知，如 n0為偶數(shù)，就an0，0從而當(dāng) nn0時(shí) an0；如 n0為奇數(shù)，就an0，從而當(dāng) nn0時(shí) an0.因此“存在 m n*，當(dāng) nm 時(shí)總有 an0”的充分必要條件是：no為偶數(shù)，記 no=2kk=1,2,，就 滿意b2 k2k22k0，b2 k 12k122k10