拋物線的性質(zhì)歸納及證明

1、i拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段；焦點(diǎn)弦：兩端點(diǎn)在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)線段稱為焦點(diǎn)弦性質(zhì)及證明過拋物線y2=2px (p>0)焦點(diǎn)F的弦兩端點(diǎn)為A(x1，yj , Bd, y2),傾斜角為，中點(diǎn)為C(xo,y 0),分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為 A'、B'、C'.1.求證:焦半徑| AF | x1焦半徑|BF | x2 2pi cos看|十六=：；弦長(zhǎng)1 ab1 +尸患；特別地，當(dāng) xi=x2(=90 )2時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短，稱為通徑，長(zhǎng)為 2p；4 AOE0勺面積S(aoab=2sin證明：根據(jù)拋物線的定義，

2、| AF |=| AD |=xi+2, | BF |=| BC |=*2+,| AB |= | AF |+| BF |=xi + X2+p如圖2,過A、B引x軸的垂線AAi、BBi,垂足為Ai、Bi,那么 | RF |=| AD |-| FAi |= | AF |- | AF |cos | AF |= | RF | = -p i cos i cos同理，| BF |=| RF |i + cos i + cos| AB r AF |+|BF 尸'+1=S>iiip,Soab = SAOAF 十字obf = 2| of | yi |十5 OF | yi | =鼻 j -(| yi|+

3、| yi |),yiy2= p2,則yi、y2異號(hào)，因此，|yi|十| yi | = | yiy2|DA(x" yi)BiORB(x2, y2)C圖2F Ai xSaoAB =p| yi y2 | = p>/(yi +y2)2 4y1y2 = 4j4m2p2+ 4p2=p/i + m2=22.求證：濟(jì)2；y1y2 Pl帚十由j.當(dāng)AB± x軸時(shí)，有AF BF p,成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 AB的方程為：y k x 衛(wèi).代入拋物線方程: 22k2 x -p2 px.化簡(jiǎn)彳導(dǎo):k2x22 pk22x ?k2方程（1）之二根為 xi, x2, . . xi x2

4、1_ _1_ _1_ _1AF BFAA, BB111x1x2pp_Ppp2x1x2x#2Xx22224x1x2px1x2p 222一匹衛(wèi) x1x2包! x1x2p P4212423.求證:AC'B A'FB' RtZ .先證明：/AMB=Rt/【證法一】延長(zhǎng) AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖 ADMA ECM ,| AM |= | EM |, | EC |= | AD | BE |= | BC |+ | CE |=| BC |+ | AD |=| BF |+ | AF |= | AB |. .ABE為等腰三角形，又 M是AE的中點(diǎn), BMXAE,即/ AMB=RtZ1|

5、MN |=2(|【證法二】取 AB的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,則AD |+| BC |)=2(| AF |+| BF |)=5 AB |, . | MN |= | AN |=|BN |. .ABM為直角三角形，AB為斜邊,故/AMB = RtZ .【證法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-p,yi),由此得M(-p,y1+y22 ).y1 + y2y 2Kam =y1 y2p(y1 y2)X1 + ppKam , Kbm =y12 y1 2p2+p- y2+p2/ 3 p(y1- y1y2+p22衛(wèi)y'同理Kbm = »y2 BMXAE,即/y2yiy2上=-12-p2AMB=

6、RtZ .【證法四】由已知得 C(-2, y2)、D( p, y1),由此得M (-p y+y22'2 ).，帝A =(x1+p y1 2 y2),蔬=(x3+p,y2 y12 )DMORC圖4. 贏踴=(X1 + 2)(x2+p) +(y1 y2)(y2y1)p= X1X2 +，X1 + X2) +p2 (y1 y2)211十172 2- p "2十2八-py- 2/kp 2十4p2 yi + y2 2yiy2 一44=p_蜂=*二E2222MA，Kb ,故/ AMB= RtZ .【證法五】由下面證得/ DFC = 90 ,連結(jié)FM ,則FM = DM .又 AD=AF,故

7、 ADMA AFM ,如圖 4./ 1 = / 2,同理/ 3=/ 4，一，12+Z 3 = 2* 180 =90AMB= RtZ.接著證明：/DFC=Rt/【證法一】如圖 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可設(shè)/ AFD = / ADF = / DFR =, 同理，設(shè)/ BFC=Z BCF = Z CFR=,而/AFD + / DFR + Z BFC+Z CFR= 180 .2( + )= 180，即 + =90 ,故/ DFC = 90【證法二】取CD的中點(diǎn)M,即M(-2,%H)由前知kAM=D, y1kcF =一 y2y2_ p p y1l kAM = kcF,

8、 AM/CF,同理， BM / DF ./ DFC =Z AMB = 90 .【證法三】. "Df =(p, y1)，-Cf =(p,一玲,DF , CF =p2+y1y2 = 0圖6"Df 1-CF ,故/ DFC = 90 .【證法四】由于| RF F= p2= y1y2= | DR | | RC |,即| RF 114，且/ DRF = Z FRC = 90 | RC 1ADRFA FRC，/DFR = / RCF,而/ RCF+Z RFC = 90 ./ DFR + Z RFC =90 ./ DFC = 904. C' A、C' B是拋物線的切線2【

9、證法一】: kAM = p, AM的直線方程為y-y1 = (x-y1)圖8y1yr 2p，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立消去x得y丫1=£，yp),整理得 y22yiy+y2=0可見= (2yi)24y2 = 0,故直線AM與拋物線y2=2px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖 8.【證法二】由拋物線方程y2=2px,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，(y2)x= (2px)x,得2y-yx=2p, yx = p,故拋物線y2= 2px在點(diǎn)A(xi, yi)處的切線的斜率為 k切=丫*| y “一艮 =yi 一 .yi又kAM = y",，ks=kAM,即AM是拋物線在點(diǎn) A處的切線，同理

10、BM也是拋物線的 切線.【證法三】:過點(diǎn) A(Xi, yi)的切線方程為yiy=p(x+xi),把M(-2, y1 ； y2)代入左邊=yi -2 ,yi+ y2 y+ yiy2 2pxi 2=2=2p2=pxi-pf2，A的切線經(jīng)過點(diǎn)M ,圖9右邊=p(2+x1)=J2+pxi,左邊=右邊，可見，過點(diǎn)即AM是拋物線的切線，同理 BM也是拋物線的切線.5. C'A、C'B分別是/ A'AB和/ B'BA的平分線. 【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖9,貝ADMA ECM，有 AD / BC, AB= BE, ./ DAM = Z AEB = Z BAM

11、,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜角是直線AM的傾斜角的2倍即可，即=2且 M( %2yi + y22 ).tan =kAB=J =Ar =且X2 xiy2 y1 yi + y2p 2Ptanyi+ y2xi + 2yi y2p(yi y2)y2 y2+ p22 - -+P2Pp(yi -譚)=py2 + p2 yi.2tanyi2pyi2pyi2P .-tan 2 =i=K=yft2=y2=yfy2=tan i ()vyr=2，即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.6. AC'、A'F、y軸三線共點(diǎn)，BC

12、'、B'F、y軸三線共點(diǎn)【證法一】如圖i0,設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)Gi,由以上證明知| AD |=| AF |, AM平分/ DAF,故AGi也是DF邊上的中線,，Gi是DF的中點(diǎn).設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)Di, DF與y軸相交于點(diǎn)G2,易知，| DDi |= | OF |, DDi/ OF,故4 DDiG2A FOG2| DG2 |=| FG2 |,則 G2也是 DF 的中點(diǎn).，Gi與G2重合（設(shè)為點(diǎn) G）,則AM、DF、y軸三 線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn). 2【證法二】am的直線方程為y-yi=p（x-2yp）,令x=0得AM與y軸交于點(diǎn)Gi（0,號(hào)），又DF的直線方程

13、為丫一 ；（x2）,令x = 0得DF與y軸交于點(diǎn)G2（0,1）.AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn) G（0,2），則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn) H.由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.7. A、O、B'三點(diǎn)共線，B、O、A'三點(diǎn)共線.【證法一】如圖11, koA=yi上一空-2 一 ,xiyiyi2pkOC=p22y22py2P22py22 Pyiy2 yikoA = koc,則A、O、C三點(diǎn)共線,同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法二】設(shè) AC與x軸交于點(diǎn) O，: AD / RF/ BC.| RO |_| CO |_| BF | | OF |_ |

14、CB |'| AD| CA| AB| AFr| AB |'又| AD |=| AF |, | BC |=| BF |,|RO_LJ|OJ1_| RO | = | O F |,則 O 與 O 重合，即 C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法三】設(shè) AC與x軸交于點(diǎn)O , RF / BC,!_O_u=g | CB | | AB r| CB | | AF | | BF | | AF | AB | AF |十|BF |i i i =2【見證】 由"|十講|.O與O重合，則即C、O、A三點(diǎn)共線，同理 D、O、B三點(diǎn)也共線.叱十&=02 2p【證法四】= O

15、C = (2, y2), OA=(xi, yi),ppyipyi yiy2yi2 yi - xi y2=_ 2 yi _ 2p y2 = _ 2 _ 2p =OC /OA,且都以O(shè)為端點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，同理 B、O、D三點(diǎn)共線.【推廣】過定點(diǎn)P(m,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)相交于點(diǎn)A、B,過A、B兩點(diǎn)分別作直線l: x=m的垂線，垂足分別為 M、N,則A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M 三點(diǎn)也共線，如下圖：8. 若| AF|:| BF|=m：n,點(diǎn)A在第一象限，為直線AB的傾斜角.則cos=m；m+ n【證明】如圖14,過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為 D, C,過

16、B作BEXAD于 E,設(shè) | AF |=mt, | AF |=nt,則| AD |=| AF |, | BC |=| BF |, | AE |= | AD |-| BC | = (mn)t. A ,| AE | (m n)t m n在 RtAABE 中，cos/ BAE = J|= 3-| AB | (m+ n)t m+ n/da匚 m-n . cos = cos/ BAE=.m+ n【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線 y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,且| AF |: | BF |=3: 1,則直線AB的傾斜角的大小為【答案】60或120 .9. 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；A' B'為直徑的圓與焦點(diǎn)弦 AB相切.【說明】如圖15,設(shè)E是AF的中點(diǎn),Xi則E的坐標(biāo)為（一2一,則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為故以AF為直徑的圓與y軸相切,同理以BF為直徑的圓與y軸相切.N,則【說明】如圖15,設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作 MN，準(zhǔn)線l于I MN |=2(| AD |+| BC |)=1(| AF |+|