ch行列式的計算方法小結(jié)學(xué)習(xí)課程

1、行列式的計算4、其他方法：1、定義法：適用于0比較多的行列式2、利用性質(zhì)化三角形行列式3、按行（列）展開析因子法析因子法箭形行列式箭形行列式行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式遞推公式法遞推公式法加邊法（升級法）加邊法（升級法）拆項法拆項法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法第1頁/共34頁第一頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（一）析因子法（一）析因子法2211231 2232315231 9xDx 例：計算 解：由行列式 定義知為 的4次多項式xD又，當(dāng) 時，1，2行相同，有 ，0D 1x 1x 為D的根當(dāng) 時，3，4行相同，有0,D 2x 2x 為D的根故 有4個一次因式: :1,

2、1,2,2xxxxD第2頁/共34頁第二頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算(1)(1)(2)(2),Da xxxx設(shè)令 則 0,x 1 1 2 31 2 2 3122 3 1 52 3 1 9D 1 ( 1) 2 ( 2)12.a 3.a 即， 3(1)(1)(2)(2)Dxxxx 第3頁/共34頁第三頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（二）箭形行列式（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nninnabbbcaDaincaca 解：把所有的第 列 的 倍加到(1, )in iica 1i 第1列，得： 11201()niinniibcDa aaaa 第4

3、頁/共34頁第四頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式：可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式：121111111),0,1,2,3.111inaaaina 122),0,1,2,3.inaxxx axainxxa （把第i 行分別減去第1行， 即可轉(zhuǎn)為箭形行列式）第5頁/共34頁第五頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（三）行（列）和相等的行列式（三）行（列）和相等的行列式1)a bbb abDba 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解：D 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab

4、 1()(1)nabanb 第6頁/共34頁第六頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算12 3123 412)11321 222nnnDnnnnnnn 1 2 311 3 41(1)211321 1 221nnnn nDnnnnn 解11221123101111(1)2011110 1111nnnnrrrrrrnnnn nnn 第7頁/共34頁第七頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算1111 1(1)111121111nnn nnn 111111(1)002,31200innrrn nnninnn 11211111(1)0002000nnnn nncccn (1)(1)2

5、2(1)( 1)( 1)()2nnnn nn (1)12(1)( 1)2n nnnn 第8頁/共34頁第八頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（四）升級法（加邊法）（四）升級法（加邊法）1121221 212,0nnnnnnabaaaabaDb bbaaab 121121221211000nnnnnnnaaaabaaDaabaaaab 解：1)第9頁/共34頁第九頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算121121100(2,31)1 001 00ninaaabrr inbb 1 21(1).niniiab bbb 11111100(1,21)00niniiiinaaabc

6、bcinbb 第10頁/共34頁第十頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（五）（五）遞推公式法0001000100.0000001nabababababDababab 112c()nnnDab DabD按按 展開解211221()()nnnnnDaDb DaDbDaD 211221()()nnnnnDbDa DbDaDbD 第11頁/共34頁第十一頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算22221();nnnnDaDbaabbaabb 22221().nnnnDbDaaabbaaba 11(1)nnnnababDabnaab 由以上兩式解得 2221,DaabbDab而行列

7、式的值求出行列式的值求出 的值）的值）D（先將行列式表成兩個低階同型的行列式的線形（先將行列式表成兩個低階同型的行列式的線形關(guān)系式，再用遞推關(guān)系及某些低階（關(guān)系式，再用遞推關(guān)系及某些低階（2 2階，階，1 1階）階）第12頁/共34頁第十二頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（六）拆項法（六）拆項法（主對角線上、下元素相同）121)nnaxaaaaxaDaaax 1210000000nnxaxax Da 112200nnnaxaaaxaaaaxaaaxaDaaaxaaax 解：第13頁/共34頁第十三頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算1211nnnnDx xxax D

8、112212,nnnnDx xxaxD 繼續(xù)下去，可得 111221231nnnnnnnDaxxax xxxax xxxx 1241341321nnnnax x xxax x xxx xx x D 1211221323()nnnnna x xxx xxxx xxx xx1212110(1)nnnniix xxDx xxax , ,當(dāng) 時 212323,nnnnDx xxaxD12nx xx 第14頁/共34頁第十四頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算110nnaaaxaDaaax 1111naaxax 當(dāng) 時也可以用加邊法做： 0(1,2)ixin111100niinnaaaxDx

9、ax 1211(1)nniix xxax 第15頁/共34頁第十五頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（七）（七） 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法例、證明：12121111111(1)111nninaaDa aaaa 證：當(dāng) 時， ，結(jié)論成立111111(1)Daaa1n 1211(1)kkkiiDa aaa 假設(shè) 時結(jié)論成立，即，nk 第16頁/共34頁第十六頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算1122111101111111011110111 10111 11111111111kkkaaaaaaa 121111111111111 1111111kkkaaDaa 對 ，將 按最

10、后一列拆開，1nk1kD 第17頁/共34頁第十七頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算1211211(1)kkkkiia aaaa aaa 112111(1)kkiia aaa 所以 時結(jié)論成立，故原命題得證1nk12100 000 0000001111 1kkkaaaDa 121kkka aaaD 第18頁/共34頁第十八頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算（八）（八） 范德蒙行列式范德蒙行列式解：考察階范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxf xxxxxxxxx 12222122221212111n

11、nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 例、計算行列式第19頁/共34頁第十九頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算121()()()()nijj i nxxxxxxxx 顯然 就是行列式 中元素 的余子式 ，.1n nM 1nx ( )f xD即,1,1nn nn nDMA , ,（ 為代數(shù)余子式）,1n nA 又由 的表達式及根與系數(shù)的關(guān)系知，( )f x1nx ( )f x中 的系數(shù)為： 121()().nijj i nxxxxx 121()()nnijj i nDxxxxx ,1121()()n nnijj i nAxxxxx 即， 第20頁/共34頁第二十頁，編輯于

12、星期五：十四點 二十七分。行列式的計算121212121200,00nnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa練習(xí)1、計算21121122121000000nnnnnnaaaaaaaDaaaaaaaa 解第21頁/共34頁第二十一頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算12111122211112,311ninnnnaaaaaarraaainaaa 121111222221000001111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 第22頁/共34頁第二十二頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算12112212101110112001020(3,42)1002ninnn

13、aaaaaaacc inaa 1221(3,42)21(1,2)2ijjcc inccjna 121221111112211122002000002000002ininnnanaaaaaaa 第23頁/共34頁第二十三頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算111122( 2)1122nininaaana 2212,1( 2)(2)nnini jjaa aana 第24頁/共34頁第二十四頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算9 50 04 9 500 4 900 09 50 04 9nD i11215 004 9 5c94920,54 9nnnnnDDDD 按按 行行展展

14、開解：即有11254(5),nnnnDDDD于是有 練習(xí)2、計算第25頁/共34頁第二十五頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算同理有 212345 (4)nnnnDDDD22215(4)5(6136)5nnnDD1111545445nnnnnnnnnDDDDD 即 221232154 (5)4(5)nnnnnDDDDDD 24(6145)4 ,nn 第26頁/共34頁第二十六頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算nabbbcabbDccabccca 111()11nnbbbabbcac Dcabcca 000ncbbbac bbbcabbabbDccabcabcccacc

15、a 解練習(xí)3、計算第27頁/共34頁第二十七頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算11000()000nnbbbabcac Dcb abcb cbab 11()()nnc abac D 000nbbbbabcabbcabbDccabccabcccaccca 又第28頁/共34頁第二十八頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算()()nnncb Dc abb ac()()1(1) ()nncbDanb ab ，當(dāng) 時 ()() /nnncbDc abb accb，當(dāng) 時11111()ncabbbab Dccabccca abac（）-()-()，得第29頁/共34頁第二十九頁，

16、編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算證：時， . . 結(jié)論成立1cosD 1n 11cos10012cos2cos( 1)2cos11 2coskkkkDD 假設(shè) 時，結(jié)論成立nk 當(dāng) 時， 按第 行展開得1k 1nk1kD cos10012coscos2cos11 2cosnDn 練習(xí)4 4、證明： 第30頁/共34頁第三十頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算2coscoscoskk2coscoscoscossinsinkkkcoscossinsinkkcos(1)k 于是 時結(jié)論亦成立，原命題得證1nk12coskkDD 由歸納假設(shè) 12coscoscos(1)kDkk 第31頁/共34頁第三十一頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算2221212111nnnnnnxxxDxxx 解：考察階范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxg xxxxxxxxx 121()()()()nijj i nxxxxxxxx 練習(xí)5、計算第32頁/共34頁第三十二頁，編輯于星期五：十四點 二十七分。行列式的計算2,1nM ( )g x