一元二次方程單元知識復習與總結(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上一元二次方程單元知識復習與總結一、引例瑞士的列昂納德歐拉（17071783），既是一位偉大的數學家，也是一位教子有方的父親，他曾親自編過許多數學趣題用以啟發(fā)孩子們思考。如下題：“父親臨終時立下遺囑，要按下列方式分配遺產：老大分得100克朗和剩下的； 老二分得200克朗和剩下的；老三分得300克朗和剩下的；以此類推分給其他的孩子，最后發(fā)現(xiàn)，遺產全部分完后所有孩子分得的遺產相等；遺產總數、孩子人數和每個孩子分得的遺產各是多少？”毛 這道題需要列方程求解。 解析 設孩子數為x人，則最后一個孩子分得遺產為100x克朗,老大分得遺產100+ (100x2-100)克朗，得方程1

2、00+ (100x2-100)=100x. 同學們，你會解此方程嗎？ 整理方程得 x2-10x+9=0. (x-9)(x-1)=0, x1=9,x2=1(舍去). 遺產總數是8100克朗；有個孩子，每個孩子分得的遺產是900克朗。點評：二、一元二次方程的解法運用因式分解法時，首先應將右邊各項移到方程的左邊，使方程右邊為；然后再將方程左邊的式子分解因式，使原方程化為兩個一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等來分解因式。例：用適當的方法解下列一元二次方程: (1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0; (3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0; (5)(3x

3、+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y); (7)3a2x2-abx-2b2=0(a0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m). 解析 (1)兩邊開平方，得 2x-1=3或2x-1=-3, x1=2,x2=-1; (2)已知：a=1,b=1,c=-1. x1=,x2=; (3)整理原方程，得 x2-4x-1=0, (x-2)2=5. x1=2+, x2=2-. (4)原方程可化為(3x-1)(x-5)=0, x1=,x2=5; (5)兩邊開平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3), x1=-8, x2=. (6)原方程可化為(y-1)(3y-1)=0,

4、 y1=1, y2=. (7)原方程可化為(ax+b)(ax-b)=0, x1=,x2=. (8)原方程可化為(x+n+m)(x+m-n)=0, x1=-n-m, x2=n-m.點評 此題主要考慮怎樣選擇一元二次方程的解法，使運算達到最簡便。 (1)由原方程得(2x-1)2=9,顯然適合用直接開平方法，當然也可用因式分解法； (2)由不是完全平方數，不適合用因式分解法， 因一次項系數不是偶數，也不適用配方法，本題適用公式法； (3)因二次項系數為，一次項系數為偶數故本題適用配方法； (4)本題適用因式分解法（記住符號的選擇）； (5)本題可用因式分解法，也可用直接開平方法； (6)把(y-1)

5、看作一個整體，用因式分解法比較合適； (7)注意到3=()2 ,即可用因式分解法； (8)因二次項系數為，一次項系數為的倍數，故適用配方法； 因字母系數較簡單，也可用因式分解法。例：解方程x4+(x-4)4=626.解析 設=y 即y=x-2,則原方程可化為(y+2)4+(y-2)4=626,化簡,得y4+24y2- 297=0,則(y2-9)(y2+33)=0, y2-9=0. 則y1=3,y2=-3,x1=5,x2=-1.點評:此方程是一個高次方程,若展開(x-4)4不但解決不了問題,還使方程變得更無規(guī)律可循了,故此處可用“平均值換元法”.例3：解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0

6、. 解析 觀察原方程可知x0,所以方程兩邊可同除以x2,得2x2+3x-16+=0, 2(x2+)+3(x+)-16=0 配方,得2(x+)2+3(x+)-20=0 設x+=y,則2y2+3y-20=0, (2y-5)(y+4)=0. y1=,y2=-4. 由x+= 解得x1=2,x2=; 由x+=-4, 解得x3=-2+,x4=-2-. 原方程的解為x1=2,x2=, x3=-2+,x4=-2-.點評:若對于一個方程(未知數為x),以代替x方程不變,則稱為倒數方程,本題即是倒數方程,其系數特點是:與首末兩項等距離的兩項系數相等且x0,由此,可在方程兩邊同除以x2,然后配方成關于(x+)的一元

7、二次方程,再利用換元法來解.例4：九年義務教育三年制初級中學教科書代數第三冊第52頁的例2是:解方程x4-6x2+5=0.這是一個一元四次方程,根據該方程的特點, 它的通常解法是: 設x2=y,那么x4=y2,于是原方程可變?yōu)閥2-6y+5=0. 解這個方程,得 y1=1,y2=5. 當y=1時,x2=1,x=±1; 當y=5時,x2=5,x=±.故原方程有四個根. x1=1,x2=-1,x3=,x4=-。 (1)填空:在由原方程得到方程的過程中,利用_法達到降次的目的,體現(xiàn)了_的數學思想; (2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0. 解析 (1)換元,轉化;

8、(2)設x2-x=y,原方程變?yōu)?y2-4y-12=0,y1=6,y2=-2. 當y=6時,x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2; 當y=-2時,x2-x+2=0,<0,此方程無實根. 原方程的根為x1=3,x2=-2.點評： 高次方程一般可通過換元的方法轉化為低次方程, 較復雜的一元二次方程可通過整體代換的方法轉化為較簡單的一元二次方程(如本例2),這是一種重要的數學思想.例5：當m為何值時,關于x的方程無實根? 解析 原方程可化為, 去分母,整理,得x2-x+2-m=0, (1)把增根x=0代入,得m=2, 把增根x=1代入,得m=2; (2)令=(-1)2=4(2-m)<

9、;0,得m<, 綜上所述,當m< 或m=2時,原方程無實根.點評:分式方程轉變成一元二次方程時,根的范圍擴大了,所以解分式方程時必須驗根.若使分式方程無解,則有兩種情況:一元二次方程的解使分母為0; 一元二次方程無解,即<0.例6：若關于x的方程只有一個解,試求k 的值與方程的解. 解析 原方程化簡,得 kx2-3kx+2x-1=0. 當k=0時,原方程有唯一解x=; 當k0時,方程的判別式 =(3k-2)2+4k=5k2+4(k-1)2>0. 方程總有2個不同的實數根,按題設原方程只有1個解,因此必有一根是原方程的增根,從原方程知道,增根只可能是使x2-x=0即x=0

10、或x=1. 顯然,0不是的根,故x=1是方程的根,代入得k=, 由根與系數的關系得原方程的根為-=-2, 當k=0時,方程的解為x=2; 當k= 時,方程的解為x=-2.點評: 本題首先想到化為整式方程,這個整式方程是含參系數的二次方程形式,應討論,將分式方程化為整式方程時,常會出現(xiàn)增根,本題考點就在于此.例7：設關于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2- 6k-4)x+k2=4的兩根都是整數,求滿足條件的所有實數k的值. 解析 原方程可化為(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0, (k-4)x+(k-2)(k-2)x+(k+2)=0. (k-4)(

11、k-2)0 x1=-=-1-, x2=. k-4=,k-2=, 消去k,得 x1·x2+3x1+2=0. x1(x2+3)=-2. 由于x1,x2都是整數. ; 即;. k=6,3,. 經檢驗,k=6,3, 滿足題意.點評本題方程整理成關于x的一元二次方程的一般形式后,二次項系數不為0 是隱含的條件,應考慮.將參數k用方程兩根表示并最終消去參數k是解題的關鍵.練習卷1.解方程169x2-39x-2=0.2.解關于x的方程3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.4.解方程2x4+3x3-x2+3x+2=0.6.解方程 .7.當方程(m2+

12、1)x2-(m+1)x-3=0的一個根為x=-1,則m的值為多少?8.當時,求的值.9.已知a是方程x2+x-=0的根,求的根.10.已知方程(x-19)(x-97)=p有實根r1和r2,試求方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小實根.11.已知兩個二次方程x2+ax+b=0,x2+cx+d=0有一個公共根1,求證:二次方程x2+=0也有一個根為1.12.x表示不超過實數x的最大整數,令x=x-x. (1)找出一個實數x,使x+=1; (2)證明:滿足上述等式的x都不是有理數.13.已知方程組求.A卷答案: 1.x1=,x2=. 2.x1=,x2=a+b. 提示:原方程可變形為3x2-4bx

13、+b2=2ax+a2, (2x-b)2=(x+a)2 2x-b=±(x+a),即有x1=,x2=a+b. 3.m= 4. 提示:去分母整理得a2+ab-b2=0, 求得 當 時, ; 當 時, .5.5 由已知a2+a=,則 6.19 r1、r2是一元二次方程(x-19)(x-97)=p的兩個根,(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,則(x-r1)(x-r2)+p=(x-19)(x-97)可見,19、97為方程(x-r1)(x-r2)+p=0的兩根,19為所求. B卷答案: 1.略 2.0,2 提示:令 =x-1=y,原方程變?yōu)?y+3)4+(y-3)4=272

14、,即得y=±1. 故x1=0,x2=2. 3.方程兩邊除以x2得2(x2+)+3(+x)-1=0 令x+=y,則有2y2+3y-5=0,y1=,y2=1. 求得x1=-2,x2=. 4.(1)設x=m+a,m為整數,0a<1,=n+b,n為整數,0b<1,則a+b=1,從而x+ =(m+a)+(n+b)=m+n+1,即滿足(1)的x必使x+為整數;反之,若x+為整數,則a+b=1,即(1)成立.令x+=k,(k為整數)則x2-kx+1=0,故x=, 當k=2時,x= k=±1,不合題意. 當k3時,x=是滿足題設條件的全體實數,如取k=3,則x= . (2)下面證明形如的數不是有理數,這只需證k2-4不是完全平方數,設k2-4=s2,其中s為正整數,則(k+s)(k-s)=4,而k+