概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、第第 五五 章章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)、試驗(yàn)，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)、試驗(yàn)， 以取得有代表性的觀測(cè)值以取得有代表性的觀測(cè)值. . 對(duì)已取得的觀測(cè)值進(jìn)行整理、對(duì)已取得的觀測(cè)值進(jìn)行整理、 分析分析, ,作出推斷、決策作出推斷、決策, ,從而從而 找出所研究的對(duì)象的規(guī)律性找出所研究的對(duì)象的規(guī)律性. .數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)的的分分類類描述統(tǒng)計(jì)學(xué)描述統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)點(diǎn)估計(jì) (第六章) 假設(shè)檢驗(yàn) (第七章) 回歸分析 (第八章) 方差分析 (第八章) 推斷 統(tǒng)計(jì)學(xué)美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特 恩格爾 (Robert F. Engle 1942 ) 英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)克萊夫 格蘭杰 (C

2、live Granger 1934 ) 共同獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)5.1 5.1 母體與子樣、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)母體與子樣、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一、母體與個(gè)體一、母體與個(gè)體二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)主要內(nèi)容( ,),n 1212,n 樣本（子樣）樣本（子樣）：從母體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)，且這n個(gè)個(gè)體的某一指標(biāo)為稱這n個(gè)個(gè)體的指標(biāo)為一個(gè)樣本（子樣）樣本（子樣）。個(gè)體個(gè)體：而組成母體的每一單元成員稱為個(gè)體個(gè)體。隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣：在母體中按機(jī)會(huì)均等的原則隨機(jī)的抽取一些個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)或測(cè)試的過(guò)程稱為隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣。 一、母體與個(gè)體一、母體與個(gè)體母體（總體）母體（總體

3、）：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中我們把研究對(duì)象的全體所構(gòu)成的一個(gè)集合稱為母體（總體）母體（總體）。樣本容量（容量）樣本容量（容量）：樣本中的個(gè)體的數(shù)目n稱作為這樣本的樣本容量（容量）樣本容量（容量）。12,n 12,nx xxn樣本值（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）樣本值（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）：在一次抽樣以后，觀測(cè)到的一組確定的值稱為容的樣本的樣本值樣本值（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）。樣本空間（子樣空間）樣本空間（子樣空間）：我們把樣本12,n 切可能結(jié)果的全體稱為樣本空間（子樣空間）樣本空間（子樣空間）。量為的一二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣12,n 121 . ,n 122 . ,n 12,n 稱定義：定義：若為來(lái)自母

4、體的一組子樣，且滿足與母體具有相同的分布；是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。為一組簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，簡(jiǎn)稱為子樣子樣。注：以下討論的都是簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣。 一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是總體中個(gè)體總數(shù)總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量樣本容量10Nn12,n n12,n 設(shè)母體具有分布函數(shù)F(x)，為取自這一母體的容量為的子樣。則的聯(lián)合分布函數(shù)為 12,n n12,n 設(shè)母體具有密度函數(shù)p(x), 為取自這一母體的容量為的子樣。則的聯(lián)合密度函數(shù)為niinxpxxxp121)(),(*niinxxxx121*)(F),(F概率函數(shù)的概念概率函數(shù)的

5、概念,Px( );f xPx若若為離散型隨機(jī)變量，其分布列為為離散型隨機(jī)變量，其分布列為令令( ),p x( )( ).f xp x若若為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令令)(xf),(21n),(21n*( ,)( )nniifx xxf x121稱稱為為的概率函數(shù)，設(shè)母體的概率函數(shù)，設(shè)母體的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為為取自母體為取自母體的一組子樣的一組子樣, ,則則的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為( ),f x),(21n),(21n( ),P( )(),0,1,2!xf xPxexx12( ,)n ，*121( ,)( )nniifx xxf x例例1 1.設(shè)母體

6、服從參數(shù)為的泊松分布，為取自母體的一組子樣，求的聯(lián)合概率函數(shù)。所以從而解：因?yàn)?!ixniiex112!niixnnex xx的聯(lián)合概率函數(shù)為：2( ,), N),(21n),(21n2( ,),N 22()21()2 xfxe),(21n*121( ,)( )nniifx xxf x例例2 2.設(shè)母體為取自母體的一組子樣，求的聯(lián)合概率函數(shù)。所以從而的聯(lián)合概率函數(shù)為：解：因?yàn)?211()21( 2)niixne22()2112ixnie三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)),(21nxxx是取自分布為F (x)的母體中一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的觀測(cè)值，若把子樣觀測(cè)值由小到大進(jìn)行排列得 ,)()()(nx

7、xx21)1(x),(21nxxx這里是子樣觀測(cè)值中最小一個(gè)， )(ix是子樣觀測(cè)值中第i個(gè)小的數(shù)等，則 (1)( )(1)( )0,( ),1,nkknxxkF xxxxnxx)(xFn是一個(gè)分布函數(shù)，稱作經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是母體分布函數(shù)F(x)的一個(gè)良好的近似.主要內(nèi)容5.2 5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布一、統(tǒng)計(jì)量的概念一、統(tǒng)計(jì)量的概念二、統(tǒng)計(jì)量的分布二、統(tǒng)計(jì)量的分布 我們知道子樣是母體的反映,但是子樣所含的信息不能直接用于解決我們所要研究的問(wèn)題,而需要把子樣所含的信息進(jìn)行數(shù)學(xué)上的加工,使其濃縮起來(lái),從而解決我們的問(wèn)題,這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中往往通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的依

8、賴于子樣的函數(shù)-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量來(lái)達(dá)到。一、統(tǒng)計(jì)量的概念一、統(tǒng)計(jì)量的概念1.1.定義定義定義5.1 一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是子樣的一個(gè)函數(shù)，如果子樣容量為n，它也就是n個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，并且要求這個(gè)函數(shù)是不依賴于任何未知參數(shù)的隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。?,),(,22321哪些不是些是統(tǒng)計(jì)量判斷下列各式哪為未知為已知其中樣本的一個(gè)是來(lái)自總體設(shè)N,11T,3212eT),(313213T),max(3214T,2215T).(123222127T是是不是不是實(shí)例實(shí)例1niiT12281216)(1niinTn21,niin112122121)(1niiniinnnSnikikkn11kniik

9、nm)(112.2.常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量是由母體取出的容量為n的子樣， 稱為子樣均值子樣均值；稱為子樣方差子樣方差；稱為子樣的子樣的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩；稱為子樣的子樣的k階中心矩階中心矩.定義2、統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 ),(21nxxx),(21n2122121)(1xxnxxnsniiniin2nS若是子樣的一組觀測(cè)值分別為子樣均值和子樣方差的觀測(cè)值.niixnx11二、統(tǒng)計(jì)量的分布二、統(tǒng)計(jì)量的分布2,DEn21,nDE2,定理5.1 設(shè)母體的分布函數(shù)F(x)具有二階矩，即若是取自母體的一個(gè)子樣，則子樣均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為kkE4 , 3 , 2 , 1,)(1kEkk221

10、)(nnSEn3224222422423)2(2)(nnnSDn3221),cov(nnSn若假設(shè)母體的原點(diǎn)矩和中心矩都存在，則子樣方差的數(shù)學(xué)并且子樣均值與子樣方差的協(xié)方差為期望和方差依次為),(2N),(n21).,(nN2定理5.3 設(shè)母體服從，是取服從正態(tài)分布自這個(gè)母體的一個(gè)子樣，則),(n21),(2N,niin112122121)(1niiniinnnS定理5.4 設(shè)是正態(tài)母體其子樣均值與子樣方差分別為的一個(gè)子樣，2,nS22nSn2則1）相互獨(dú)立；服從自由度為n-1的分布。2）n21,),(2N2_,nS推論推論1 1 設(shè)為取自正態(tài)母體子樣，分別為子樣均值與子樣方差，則是自由度為n-1的t變量，它服從t(n-1)分布.的一個(gè)1nSn_n21,221,n),(),(222211NN212121,nn與2_1222_112)(1,)(12211niinniinnSnS推論推論2 2 設(shè)與分別是從正態(tài)母體抽取的兩個(gè)子樣且相互獨(dú)立，并設(shè)分別為這兩個(gè)子樣方差，則) 1, 1() 1() 1(2121122222221121nnFnSnnSnFnn。2112_1_1,1niiniinn分別為這兩個(gè)子樣