湊微分法課件

1、2021-11-21湊微分法PPT課件1 手機(jī)手機(jī) 關(guān)了嗎？關(guān)了嗎？2021-11-21湊微分法PPT課件2問(wèn)題問(wèn)題sin2xdx cos2,xC 正確解法正確解法一、第一換元法（湊微分法）一、第一換元法（湊微分法）5.3 換元積分法換元積分法不能直接用公式不能直接用公式, 因因?yàn)闉閟in2x是復(fù)合函數(shù)是復(fù)合函數(shù). sin2(1)xdx 1sin222xd x 21sin2x uudu 令令1cos2uC 1cos22xC 湊微分法求不定積分！復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):( )Fx dx ( )F xC ( )dF x ( )F xC 驗(yàn)證驗(yàn)證sin22x ( cos2 )x 湊微分法PPT課件sin2(2)x

2、dx 2sinsinxdx sin2uxudu 2uC2sin xC定理定理 ( )( )f uxF uf u 設(shè)設(shè)及及連連續(xù)續(xù), , 且且為為的的原原函函數(shù)數(shù), , 則則證證 ( )uxfxx dxf u duFxC 第一類換元積分法第一類換元積分法(湊微分法湊微分法)注：注：(1)湊微分法的關(guān)鍵湊微分法的關(guān)鍵 ( )( ).( )dxfxx dg xx 將將化化為為(2)觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)果不同觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)果不同答案不唯一答案不唯一! !2sincosxxdx ( )Fx ( )Fxx fxx 湊微分法PPT課件步驟：兩次積分步驟：兩次積分()()fxdx ( )g x dx =

3、 = ( )( )fxx dx ( )( )uxf u du ( )F uC ( )FxC 常省略常省略! !引例解引例解(3) xdx2sin xdxxcossin22 coscosxdx 2cos.xC 湊微分法PPT課件例例2 2132dxx 11(32 )232dxx 1ln 322xC ()f axb dx 100(45)xdx 例例1 1( )( ),0f x dxF xC a (一一)若若 ，則，則 1() ()f axb d axba 1()F axbCa1001(45)(45)4xdx 1011(45)404xC221dxax 211()xdaxa arcsinxCa 例例3

4、 3公式公式!2021-11-21湊微分法PPT課件6221dxax 2111()xdxaaa 例例4 4例例5 51arctanxCaa公式公式!221dxax 111()2dxaaxax 1(lnln)2axaxCa 1ln2axCaax 1()()()2d axd axaaxax 公式公式!dxaxa 222111221dxxa 1ln2xaCaxa 或或2021-11-21湊微分法PPT課件7例例6 621116dxxx 21(3)20(3)d xx 3arcsin()20 xC 例例7 7dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx14a

5、rctan.33xC 湊微分法PPT課件1dxx21(arcsin )1dxdxx 21(arctan )1dxdxx (二二)被積函數(shù)為積的形式被積函數(shù)為積的形式, 常用湊微分常用湊微分(第一次積分第一次積分): 1fxxdx 1()fxdxx 10fxdx 2()fx dx 211()fdxx x cos xdxsin xdx11()fdxx ()xxf ee dx ()xxf ede sindx cosdx (ln)dx 21sindxx21cosdxxtandx cotdx 2sec xdx 2csc xdx (ln )dx或或2021-11-21湊微分法PPT課件9223xdxx 例

6、例8 8例例9 9例例1010221223dxx 2211(23)()2323dxx 21233xC 121xe dxx 11()xe dx 1xeC 3xedxx 32xedx 32(3)3xedx 323xeC湊微分法PPT課件例例1111dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx 1ln 12ln2xCcos(31)xxeedx 例例1212例例1313cos(31)xxede 1cos(31) (31)3xxede 1sin(31)3xeC 21arctan1xxdxx 2221arctan()111xxdxxxx 2211arctanln 1(

7、arctan )22xxxC 2021-11-21湊微分法PPT課件11(三三)三角函數(shù)的積分，往往利用三角恒等式變形后三角函數(shù)的積分，往往利用三角恒等式變形后再利用上述方法解決。再利用上述方法解決。tan xdx 例例1414例例1515sincosxdxx (cos )cosdxx ln|cos|xC 公式公式!cotln|sin|xdxxC 1sindxx 方法方法（一）（一） xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxln tan2xC2021-11-21湊微分法PPT課件121sindxx 方法方法（二）（二）csc xdx

8、dxxx2sinsin21(cos )1cosdxx 11cosln21cosxCx 類似地：類似地：secln sectanxdxxxC 1(csccot)csccotdxxxx ln csccotxxC 2211cosln21cosxCx （）（）ln csccotxxC csc (csccot)csccotxxxdxxx 方方法法（三三） xdxcsc公式公式!1coslnsinxCx 2021-11-21湊微分法PPT課件13例例1 16 6.2cos3cos xdxx1coscoscos()cos()2ABABAB 1(coscos5 )2xx dx 11sinsin5210 xxC

9、 1sinsincoscos2ABABAB 1sincossinsin2ABABAB 附附sincosmxnxdx coscosmxnxdx sinsinmxnxdx 積化和差積化和差2021-11-21湊微分法PPT課件144sin xdx 例例1 17 721cos2()2xdx 2111(cos2cos 2 )424xx dx 311(cos2cos4 )828xx dx 311sin2sin48432xxxC 3cos xdx 例例1 18 82cossinxdx 2(1sin) sinx dx 31sinsin3xxC正、余弦偶次正、余弦偶次降冪降冪 22cocossins22112

10、xxx正、余弦奇次正、余弦奇次湊微分湊微分,再利用再利用: 22sincos1xx 2021-11-21湊微分法PPT課件15例例1 19 9 xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx sincosmnxxdx (1) m, n均偶數(shù)均偶數(shù)降冪公式降冪公式 (2) m, n一奇一偶一奇一偶拆奇，另用拆奇，另用 22sincos1xx (3) m, n均奇數(shù)均奇數(shù)拆小奇，另用拆小奇，另用 22sincos1xx 湊微分法PPT課件35s

11、incosxxdx 52cossinsinxxxdx 例例202052cos(1cos) cosxx dx 6811coscos68xxC 6sec xdx 例例2121例例222222(sec)(tan )xdx 22(1tan)(tan )xdx 3521tantantan35xxxC湊微分法非常靈活，有時(shí)需要兩次、甚至三次湊湊微分法非常靈活，有時(shí)需要兩次、甚至三次湊微分后才能用公式求出結(jié)果。微分后才能用公式求出結(jié)果。 cotlnsinxdxx cossinlnsinxdxxx sinsinlnsindxxx lnsinlnsindxx ln lnsin xC湊微分法PPT課件( )( )

12、( )( )v x dxdv xv xv x 24638xdxxx 例例232322(38)238d xxxx 22ln(38)xxC 24638xdxxx 變形變形: :ln ( )( ( )0)v xCv x22( )( )( )( )v x dxdv xvxvx 21ln( ln )xdxxx 例例24241( ( )0)( )Cv xv x 2( ln )( ln )d xxxx 1lnCxx 22(38)238d xxxx 2021-11-21湊微分法PPT課件18例例2525211xdxxx 211322ln(1)arctan22332xxxC 213ln(1)22xx 2121l

13、n(1)3arctan23xxxC 21(21)321xdxxx 221()213()()22d xx 2021-11-21湊微分法PPT課件19例例2626dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例2727dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2021-11-21湊微分法PPT課件20例例28 28 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2021-11-21湊微分法PP

14、T課件21例例2929 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 解解2021-11-21湊微分法PPT課件22解解例例3030 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2021-11-21湊微分法PPT課件23例例3131 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1x