函數(shù)極值的概念課件

1、2.3.1 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2.3.2 函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法 第第2章章 極限極限2.3 函數(shù)的極值函數(shù)的極值2.3.3 函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法 2.3.3 函數(shù)最值應(yīng)用舉例函數(shù)最值應(yīng)用舉例 首頁上頁返回下頁 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函數(shù)函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x1 、x2 、x3 、x4處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右近旁各與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)?觀察圖像：觀察圖像：首頁上頁返回下頁2.3.

2、1 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f ( x )在在(a , b)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) , x0 是是(a , b)內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)如果對于點(diǎn)如果對于點(diǎn) x0近旁的任意一點(diǎn)近旁的任意一點(diǎn) x ， 均有均有 f ( x ) f ( x0 )，則就稱則就稱 f ( x0 )是函數(shù)是函數(shù) f ( x )的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值， 點(diǎn)點(diǎn) x0 是是 f ( x )的一個(gè)的一個(gè)極大點(diǎn)極大點(diǎn)；如果對于點(diǎn)如果對于點(diǎn) x0近旁的任意一點(diǎn)近旁的任意一點(diǎn) x ， 均有均有 f ( x ) f ( x0 )，則就稱則就稱 f ( x0 )是函數(shù)是函數(shù) f ( x )的一個(gè)的一個(gè)極小值極小值， 點(diǎn)點(diǎn) x0 是

3、是 f ( x )的一個(gè)的一個(gè)極小點(diǎn)極小點(diǎn)；首頁上頁返回下頁 yxO觀察與思考：觀察與思考：極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？在極值點(diǎn)處，曲線如果有切線，則切線是水平的。在極值點(diǎn)處，曲線如果有切線，則切線是水平的。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值函數(shù)的極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)。aby= =f(x)x1 f (x1)= =0 x2 f (x2)= =0 x3 f (x3)= =0 x4 f (x5)= =0 x5首頁上頁返回下頁如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處有極值，且處有極值，且 f (x0)存在，存在

4、，則必有則必有 f (x0)= =0。取得極值的必要條件：取得極值的必要條件：駐點(diǎn)：駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù) f (x)為零的點(diǎn)叫函數(shù)為零的點(diǎn)叫函數(shù) f(x)的駐點(diǎn)。的駐點(diǎn)。 說明：說明： 可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)必定的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)。但函數(shù)是函數(shù)的駐點(diǎn)。但函數(shù) f(x)的駐的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。x yOf(x)=x3對于函數(shù) f(x)=x3可知， x= =0是是函數(shù)的駐點(diǎn)，不是函數(shù)的極函數(shù)的駐點(diǎn)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)。值點(diǎn)。 首頁上頁返回下頁函數(shù)極值的判定定理函數(shù)極值的判定定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的近旁可導(dǎo)且的近旁可導(dǎo)且 f (x0) = 0

5、若在點(diǎn)若在點(diǎn) x0 的的左左側(cè)近旁側(cè)近旁 f (x) 恒為正恒為正； 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的右右側(cè)近旁側(cè)近旁 f (x)恒為負(fù)恒為負(fù)， 則函數(shù)則函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處取得處取得極大值極大值 f ( x0 ) (2)若在點(diǎn)若在點(diǎn) x0 的的左左側(cè)近旁側(cè)近旁 f (x) 恒為負(fù)恒為負(fù)； 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的右右側(cè)近旁側(cè)近旁 f (x)恒為正恒為正， 則函數(shù)則函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處取得處取得極小值極小值 f ( x0 ) 首頁上頁返回下頁 yxOx1x2aby=f(x)在極大值點(diǎn)附近在極大值點(diǎn)附近在極小值點(diǎn)附近在極小值點(diǎn)附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0首頁上頁返回

6、下頁2.3.2 函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法(1) 確定函數(shù)的確定函數(shù)的定義域定義域；求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù) f (x) 的極值點(diǎn)和極值的步驟：的極值點(diǎn)和極值的步驟：(2) 求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù)f (x)； (3) 令令f (x)=0，求出求出 f (x)的全部的全部駐點(diǎn)駐點(diǎn)； 用駐點(diǎn)把定義域劃分為用駐點(diǎn)把定義域劃分為部分區(qū)間部分區(qū)間， 考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi) f (x) 的符號的符號， 以確定每個(gè)駐點(diǎn)是否是以確定每個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)極值點(diǎn)， 若是極值點(diǎn)，確定是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)。若是極值點(diǎn)，確定是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)。首頁上頁返回下頁例例求求 (4) 列表討論，如下列表討論，如下：xf (

7、x)f (x)(,2)+20(2 , 3)單調(diào)減少30(3 , + )單調(diào)增加函數(shù)在函數(shù)在 x = 2處取得極小值處取得極小值62 在在 x = 3處取得極大值處取得極大值16.524182323=xxxy的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值.解：解：(1) f (x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,)；(2) f (x) =3x + 3x + 18(3) 令令 f (x) = 0得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) x1 =2, x2 =3單調(diào)減少 極小值62極大值16.5首頁上頁返回下頁2.3.3 函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法 yxOMaby=f(x)mx1x2x3x4x5問：問：最大值與最小值可能在何處取得？最大值與最小

8、值可能在何處取得？ 怎樣求最大值與最小值？怎樣求最大值與最小值？ 觀察極值與最值的關(guān)系：觀察極值與最值的關(guān)系：首頁上頁返回下頁xO y y=f(x ) abxO y y=f(x ) ab 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在在a, b上單調(diào)增加上單調(diào)增加(減少減少)，則則 f (a)是是 f(x)在在a, b上的最小值上的最小值(最大值最大值)，f (b)是是 f (x)在在a, b上的最大值上的最大值(最小值最小值)。函數(shù)的最值一般分為兩種情況：函數(shù)的最值一般分為兩種情況：（1）首頁上頁返回下頁xO y f(x0) y=f(x ) ax0bxO y f(x0) y=f(x ) ax0b 如果連續(xù)函

9、數(shù)在區(qū)間如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有且僅有一內(nèi)有且僅有一個(gè)極大個(gè)極大(小小)值，而沒有極小值，而沒有極小(大大)值，則此極大值，則此極大 (小小)值就是函數(shù)在區(qū)間值就是函數(shù)在區(qū)間a, b上的最大上的最大(小小)值。值。函數(shù)的最值一般分為兩種情況：函數(shù)的最值一般分為兩種情況：（2）首頁上頁返回下頁求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值的步驟求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值的步驟 求出函數(shù)求出函數(shù) y = f (x)在在(a , b)內(nèi)的內(nèi)的全部駐點(diǎn)全部駐點(diǎn)和和 駐點(diǎn)處的函數(shù)值駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求出區(qū)間求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值端點(diǎn)處的函數(shù)值； 比較以上各函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù) 的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值。首

10、頁上頁返回下頁求函數(shù)求函數(shù) y = x + 3 x9x在上在上4 , 4 的最大值和最小值。的最大值和最小值。解解 (1) 由由 f (x)=3x +6x9,(2) 區(qū)間端點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)4 , 4 處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76(3) 比較以上各函數(shù)值，比較以上各函數(shù)值，例例得駐點(diǎn)為得駐點(diǎn)為 x1=3，x2=1 駐點(diǎn)處的函數(shù)值為駐點(diǎn)處的函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=4可知函數(shù)在可知函數(shù)在4 , 4 上的上的最大值為最大值為 f (4) =76，最小值為最小值為 f (3)=27 首頁上頁返回下頁求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值求下列函數(shù)在指定區(qū)

11、間內(nèi)的最大值和最小值。=2,2,2sin)()1(xxxf1 ,5,1)()2(=xxxf4, 1,71862)() 3(23=xxxxf答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值最小值 f (/2)= /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值最小值 f (3)= 61練練 習(xí)習(xí)6首頁上頁返回下頁2.3.4 函數(shù)最值應(yīng)用舉例函數(shù)最值應(yīng)用舉例 在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在實(shí)際問題中，如果函數(shù) f ( x )在某區(qū)間在某區(qū)間( a , b )內(nèi)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)只有一個(gè)駐點(diǎn) x0 ，而且從實(shí)際問題而且從實(shí)際問題本身又可以知道函數(shù)

12、在本身又可以知道函數(shù)在 ( a , b ) 內(nèi)必有最大值內(nèi)必有最大值或最小值，那么或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最就是所求的最大值或最小值小值.首頁上頁返回下頁 把一個(gè)邊長為把一個(gè)邊長為48cm的正方形鐵皮的四角各的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容積最大？的方盒容積最大？題題例例4848482x 解解 設(shè)截去的小正方形設(shè)截去的小正方形 的邊長為的邊長為x cm xx方盒容積為方盒容積為V cm首頁上頁返回下頁 把一

13、個(gè)邊長為把一個(gè)邊長為48cm的正方形鐵皮的四角各的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容積最大？的方盒容積最大？題題例例方盒容積為方盒容積為V cm則則 V = x(482x) , ( 0 x 24 )482xx解解 設(shè)截去的小正方形設(shè)截去的小正方形 的邊長為的邊長為x cm 首頁上頁返回下頁 把一個(gè)邊長為把一個(gè)邊長為48cm的正方形鐵皮的四角各的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成截去面積相等的正方形，然后將四邊折起，做成方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作方盒。問在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容積最大？的方盒容積最大？題題例例解解 設(shè)截去的小正方形的邊長為設(shè)截去的小正方形的邊長為x cm , 方盒容積為方盒容積為V cm則則 V = x(482x) , ( 0 x 24 )求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得 V =(482x)+2x(482x)(2)令令V = 0 , 求得函數(shù)的唯一駐點(diǎn)為求得函數(shù)的唯一駐點(diǎn)為 x = 8于是于是 , 當(dāng)當(dāng) x= 8 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) V 取得