數(shù)學競賽中的數(shù)學思維

1、數(shù)學競賽中的數(shù)學思維馬山鎮(zhèn)東安小學 傅秀麗數(shù)學競賽是當前數(shù)學教育實踐中的一個重要的組成部分，全國各地有很多學校以各種形式組織學生進行競賽的培訓和學習。同時各種層次的數(shù)學競賽層出不窮，很多學生也因為各種原因參加到這項活動中間來。數(shù)學教學大綱指出：“對學有余力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學才能”，“要重視能力的培養(yǎng)，著重培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學生的獨立思考和自學的能力”。數(shù)學教學大綱中所列出的內(nèi)容，是教學的要求，也是數(shù)學競賽的最低要求。在競賽中對同樣

2、的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。數(shù)學思維則是人腦和數(shù)學對象 ( 空間形式、數(shù)量關系、結構關系) 交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創(chuàng)造性思維是數(shù)學思維結構的基本成分。以下筆者將結合數(shù)學競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創(chuàng)造性思維。一、 形象思維數(shù)學中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數(shù)學問題的思維活動。形象思維的形式有：（1）、意象。意象又稱思維形象，是指對數(shù)學形象的一般特征的理性反映。（2）、聯(lián)想。指的是由一個意象到另一個意象的過程。

3、也就是說，聯(lián)想是將頭腦中的意象聯(lián)系在一起，由一種意象喚起另一種意象，從而揭示出意象的內(nèi)容和本質(zhì)關系。（3）、想象。想象是在聯(lián)想的基礎上加工原有意象而創(chuàng)造出新意象的思維活動。例1、 六年級有學生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？（1987年武漢市小學數(shù)學競賽題） 分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數(shù)量關系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）解：設三

4、種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）= 54x+46 = 54x = 8答：對于乒乓球、排球和足球都愛好的有8人。本題通過畫圖，把題中的各個數(shù)量以及數(shù)量之間的關系清楚地呈現(xiàn)出來，把繁雜的數(shù)字用具體的形象來展現(xiàn)。通過韋恩圖，想象三個圓重疊相交的關系，本題不采用方程，用求面積法也可以求解：54+18+14+12-40-20-30=8（人）二、直覺思維數(shù)學直覺思維是直接反映數(shù)學對象、結構以及關系的思維活動。這種思維活動表現(xiàn)為對認識對象的直接領悟和洞察，這是數(shù)學直覺思維的本質(zhì)特征，數(shù)學在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題的解決也離不

5、開直覺。例2、 計算（1993年武漢市洪山區(qū)六年級數(shù)學選拔賽試題）分析一：經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)三個分子都是1，分母都是三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。解法一：原式= = = =分析二：由于項數(shù)不多，故采用通分計算。原式=“通分”是數(shù)學教學大綱中必須掌握的內(nèi)容之一，由于項數(shù)不多，采用通分的方法還不至于繁雜。而“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優(yōu)勢不大。但若碰到:“求的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。三、定勢與反定勢思維（1）定勢思維定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準備的，具體地說，思維中的定勢包括定向

6、、定法、定序三個主要方面的內(nèi)容。例3、 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（）個。（北京市人大附中第七屆“幼苗杯”數(shù)學邀請賽試題）分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數(shù)題，很容易遺漏或者重復計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。解：以正方形的面積大小來分類計數(shù)：設相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。（2）反定勢思維為克服定勢思維導致思維的懶惰性、依賴性、呆板性，就需要反定勢思維。反定勢思維主要有發(fā)散思維和逆向

7、思維。例4、 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘?，F(xiàn)有1825個零件需要加工，如果規(guī)定3人用同樣的時間完成任務，那么各人應加工多少個零件？（人大附中“幼苗杯”小學數(shù)學邀請賽試題）分析一：甲、乙、丙三人工作效率之和是，那么三個人共同的工作時間為（分鐘）這時甲、乙、丙分別加工了這批零件的：甲：乙：丙：那么要求甲、乙、丙各加工了多少就是分別求1825的各是多少？解：根據(jù)分析一列綜合算式：甲應加工的零件數(shù)為：（個）乙應加工的零件數(shù)為：（個）丙應加工的零件數(shù)為：（個）分析二：甲、乙、丙的工作效率的比為：。也就是說，相同時間內(nèi)，如果以甲加工零件數(shù)為單位“1”，那么乙是甲的，丙是甲的。這樣

8、，我們可以概括為：甲的是1825個。解法二：由分析二可以分別列出甲、乙、丙加工零件的個數(shù)是：甲：（個）乙：（個）丙：（個）方法二比較簡單。解法一是從“甲、乙、丙三人工作效率的和”作為考慮問題的出發(fā)點；解法二是從“甲、乙、丙三人工作效率的比”作為考慮問題的出發(fā)點，比較新穎，但其實該方法也是建立在工程問題以及比和比例的性質(zhì)的基礎之上的。四、創(chuàng)造性思維創(chuàng)造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的特征有獨創(chuàng)性、靈活性、綜合性。例5、設A=，B=，那么（）。（1）A>B （2）A=B （3）A<B （4）AB（小學生數(shù)學報

9、第四屆小學生數(shù)學邀請賽）解法一：把A，B分別寫成 = =比較A、B可發(fā)現(xiàn)第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B,選（1）解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B,故選（1）。解法二的方法比較新穎，有創(chuàng)造性突破了代數(shù)的計算，從而轉(zhuǎn)換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學生的思維。數(shù)學競賽活動是數(shù)學教育改革和實驗的一