淺談解排列組合問題(理科)的幾種方法

1、淺談解排列組合問題（理科）的幾種方法江陰市祝塘屮學(xué)徐軼解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，歷來是學(xué)習(xí)中的難點，通過我 們平吋做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題口多 變，數(shù)字龐大，難以驗證。因此必須掌握一些常用的方法策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1 認(rèn)真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時 進行，確定分多少步及多少類。3. 確定每一步或毎一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是 多少及取出多少個元素.一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，

2、若 以元索分析為主，需先安排特殊元索，再處理其它元索若以位置分析為主，需先 滿足特殊位置的耍求，再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約 束條件的同時述要兼顧其它條件例.由0,1, 2, 3, 4, 5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).3解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這 兩個位置先排末位共有_然后排首位共有_g_最后排其它位置共有由分步計數(shù)原理得ccm：=288二、相鄰元素捆綁要求某兒個元索必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題即將需要 相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi) 部也必須排列.例.7人站成一排，其

3、中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法. 解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同吋丙丁也看成一 個復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有仗加加=480種不同的排法三、不相鄰問題插空元索相離問題可先把沒有位置要求的元索進行排隊再把不相鄰元索插入中 i可和兩端例一個晚會的節(jié)口有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)口不能連續(xù)岀場, 則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有y 種,第二步將4舞蹈 插入第一步排好的6個元索中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法由分步計數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有比人種四、定序問題倍縮

4、、空位法例.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元 素一起進行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素z間的全排列數(shù)，則共冇不同 a ；排法種數(shù)是：a 4（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 心 種方4 4法，其余的三個位置甲乙丙共有丄種坐法，則共有人了 種方法五、垂排問題求幕允許重復(fù)的排列問題的特點是以元索為研究對象，元索不受位置的約束，可 以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上 的排列數(shù)為加"種例把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事

5、共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法把第二名實 習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推，由分步計數(shù)原理共有尸種不同的排法六、多排問題直排一般地，元索分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.例.8人排成前后兩排，每排4人其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成-排.先在前4 個位置排甲乙兩個特殊元素有 盃種,再排后4個位置上的特殊元素有 £種, 其余的5人在5個位置上任意排列有工種,則共有種.七、環(huán)排問題線排一般地,n個不同元素作圓形排列，共有（n-l） !種排法如果從n個不同元素 中取出m個元素作圓形排列共有丄4：

6、種排法m例.5人圍桌而坐，共有多少種坐法？甲 乙丙丁戊鼻甲解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于：坐成圓形沒有首尾z分，所以固定 一人甲并從此位置把圓形展成直線其余4人共有種種排法，即（5-1）!八、元素相同問題隔板將n個相同的元索分成m份（n, m為正整數(shù)），每份至少一個元索，可以用 m-1塊隔板，插入n個元索排成一排的n-l個空隙中，所有分法數(shù)為例.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案?解：因為10個名額沒冇差別，把它們排成一排。相鄰名額z間形成9個空 隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個 班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共冇_c,_

7、種分法。九、平均分組問題除法平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除 以a； (n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。例.6木不同的書平均分成3堆,每堆2木共有多少分法？解：分三步取書得cjcfc；種方法，但這里出現(xiàn)垂復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6 本書為abcdef若第一步取ab,第二步取cd,第三步取ef該分法記為(ab, cd, ef), 則 cccl 中還有(ab, ef, cd), (cd, ab, ef), (cd, ef, ab) (ef, cd, ab), (ef, ab, cd) 共冇需 種取法，而這些分法僅是(ab, cd, ef)-種分法，故共 uqu 有&#

8、163; 種分法。十、排列組合混合問題先選后排策略解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.例有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不 同的裝法.解:第一步從5個球屮選出2個組成復(fù)合元共有q種方法.再把5個元素(包 含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有 好 種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球 的方法共有_cfa：-、合理分類與分步解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的 連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要 貫穿于解題過程的始終，我對學(xué)生說的話是“耍從一而終，不能朝三暮四”！例.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現(xiàn)要演岀 一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法？10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以只會唱歌的5 人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研究，只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有 _ccf_種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員_qc；cj_種,只會唱的5人中 有2人選上唱歌人員有_cfc二種，由分類計數(shù)原理共有+&&_ 種。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果關(guān)于最后一點，我始終堅信：不管你碰