淺談解排列組合問(wèn)題(理科)的幾種方法

1、淺談解排列組合問(wèn)題（理科）的幾種方法江陰市祝塘屮學(xué)徐軼解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)我 們平吋做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題口多 變，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。因此必須掌握一些常用的方法策略解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：1 認(rèn)真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時(shí) 進(jìn)行，確定分多少步及多少類。3. 確定每一步或毎一類是排列問(wèn)題（有序）還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是 多少及取出多少個(gè)元素.一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，

2、若 以元索分析為主，需先安排特殊元索，再處理其它元索若以位置分析為主，需先 滿足特殊位置的耍求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約 束條件的同時(shí)述要兼顧其它條件例.由0,1, 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).3解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這 兩個(gè)位置先排末位共有_然后排首位共有_g_最后排其它位置共有由分步計(jì)數(shù)原理得ccm：=288二、相鄰元素捆綁要求某兒個(gè)元索必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題即將需要 相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi) 部也必須排列.例.7人站成一排，其

3、中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法. 解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同吋丙丁也看成一 個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有仗加加=480種不同的排法三、不相鄰問(wèn)題插空元索相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元索進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元索插入中 i可和兩端例一個(gè)晚會(huì)的節(jié)口有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)口不能連續(xù)岀場(chǎng), 則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有y 種,第二步將4舞蹈 插入第一步排好的6個(gè)元索中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有比人種四、定序問(wèn)題倍縮

4、、空位法例.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元 素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素z間的全排列數(shù)，則共冇不同 a ；排法種數(shù)是：a 4（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 心 種方4 4法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有丄種坐法，則共有人了 種方法五、垂排問(wèn)題求幕允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元索為研究對(duì)象，元索不受位置的約束，可 以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上 的排列數(shù)為加"種例把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事

5、共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法把第二名實(shí) 習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有尸種不同的排法六、多排問(wèn)題直排一般地，元索分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.例.8人排成前后兩排，每排4人其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成-排.先在前4 個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有 盃種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有 £種, 其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有工種,則共有種.七、環(huán)排問(wèn)題線排一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列，共有（n-l） !種排法如果從n個(gè)不同元素 中取出m個(gè)元素作圓形排列共有丄4：

6、種排法m例.5人圍桌而坐，共有多少種坐法？甲 乙丙丁戊鼻甲解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于：坐成圓形沒(méi)有首尾z分，所以固定 一人甲并從此位置把圓形展成直線其余4人共有種種排法，即（5-1）!八、元素相同問(wèn)題隔板將n個(gè)相同的元索分成m份（n, m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元索，可以用 m-1塊隔板，插入n個(gè)元索排成一排的n-l個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為例.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案?解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)冇差別，把它們排成一排。相鄰名額z間形成9個(gè)空 隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè) 班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共冇_c,_

7、種分法。九、平均分組問(wèn)題除法平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除 以a； (n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。例.6木不同的書平均分成3堆,每堆2木共有多少分法？解：分三步取書得cjcfc；種方法，但這里出現(xiàn)垂復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6 本書為abcdef若第一步取ab,第二步取cd,第三步取ef該分法記為(ab, cd, ef), 則 cccl 中還有(ab, ef, cd), (cd, ab, ef), (cd, ef, ab) (ef, cd, ab), (ef, ab, cd) 共冇需 種取法，而這些分法僅是(ab, cd, ef)-種分法，故共 uqu 有&#

8、163; 種分法。十、排列組合混合問(wèn)題先選后排策略解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.例有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不 同的裝法.解:第一步從5個(gè)球屮選出2個(gè)組成復(fù)合元共有q種方法.再把5個(gè)元素(包 含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有 好 種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球 的方法共有_cfa：-、合理分類與分步解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的 連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要 貫穿于解題過(guò)程的始終，我對(duì)學(xué)生說(shuō)的話是“耍從一而終，不能朝三暮四”！例.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演岀 一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法？10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5 人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究，只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有 _ccf_種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員_qc；cj_種,只會(huì)唱的5人中 有2人選上唱歌人員有_cfc二種，由分類計(jì)數(shù)原理共有+&&_ 種。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果關(guān)于最后一點(diǎn)，我始終堅(jiān)信：不管你碰