數(shù)學(xué)考點(diǎn)最短距離問題

1、實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 數(shù)學(xué)考點(diǎn)-最短距離問題 1.作圖題（不寫作法，用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）：（1）如圖，點(diǎn)A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最??；（2）如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同一側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最?。唬?）如圖，點(diǎn)A是銳角三角形MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，與點(diǎn)A組成三角形，使三角形周長最??；（4）如圖，AB是銳角三角形MON內(nèi)部一條線段，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C、D組成四邊形，使四邊形周長最?。唬?）如圖，連結(jié)M、N與直線l相交于點(diǎn)O，當(dāng)兩直線的夾角等于450，且OM=6，MN=2時(shí)，PM+PN 的最小值是

2、2.我們?cè)鴮W(xué)過“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，A，B 在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最小我們只要作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，PB=PB'因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB最小，顯然當(dāng)A、P、B在一條直線上時(shí)AP+PB最小，因此連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P有很多問題都可用類似的方法去思考解決 探究：（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E 為BC的中點(diǎn)，P是 BD上一動(dòng)點(diǎn)連接EP，CP，則EP+CP的最小值是 ； 運(yùn)用：（2）如圖4，

3、平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該是 ； 操作：（3）如圖5，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成ABC，使ABC周長最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡） 3.（1）如圖，點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長最小，請(qǐng)寫出作法 （2）AB是銳角MON內(nèi)部一條線段，在角MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C，D組成四邊形，使四邊形周長最小 （如圖所示） 4.已知A（3，8）和B（2，2），在x軸上有一點(diǎn)M，使得|AM|+|BM|為最短，那

4、么點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ）A（1，0） B（1，0）C（）D（） 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 5.(1)如圖，A、B兩村位于一條河的兩岸，假定河的兩岸筆直且平行，現(xiàn)要在河上垂直于河岸建一座橋.問：應(yīng)把橋建在什么位置，才能使A村經(jīng)過這座橋到B村的路程最短？請(qǐng)畫出草圖，并簡要說明作法及理由 (2)A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？請(qǐng)幫他們?cè)O(shè)計(jì)出來（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC=40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請(qǐng)求出來 6.在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0）

5、，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求mn 的值 7.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3）、B（4，1）（1）若P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAB的周長最短時(shí)，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABDC的周長最短時(shí)，求a的值；（3）設(shè)M、N分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）和（0，），使四邊形ABMV周長最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1）、B（4，2），坐標(biāo)原點(diǎn)為O點(diǎn)（1）在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)C，求當(dāng)AC+BC最小時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在直線y=x上有

6、一動(dòng)點(diǎn)D，求當(dāng)AD+BD最小時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），求當(dāng)四邊形CEFD周長最小時(shí)，m的值 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 9.已知線段AB在x軸上（A在B的左邊），且AB=3，點(diǎn)C（2，-4）、點(diǎn)D（4，-1），當(dāng)AC+BD最小時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0） 10.如圖，圓柱形玻璃杯，高為11cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 （結(jié)果保留根號(hào)） 11.如圖1，圓柱形容器高為18cm，底面周長為2

7、4cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，為了吃到蜂蜜，螞蟻從外壁A處沿著最短路徑到達(dá)內(nèi)壁B處（1）如圖2是杯子的側(cè)面展開圖，請(qǐng)?jiān)诒谻D上確定一點(diǎn)P，使螞蟻沿A-P-B路線爬行，距離最短（2）結(jié)合圖，求出螞蟻爬行的最短路徑長 12.如圖，長方體的長BE=5cm，寬AB=3cm，高BC=4cm，一只小螞蟻從長方體表面由A點(diǎn)爬到D點(diǎn)去吃食物，則小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌?cm 13.如圖，長方體的長BE=7，寬AB=5，高BC=5，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到棱BC上，再爬到D點(diǎn)去吃糖，則小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌?實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 14.如圖，在

8、邊長為8的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=6，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則BEQ周 長的最小值為 15.如圖，AB是O的直徑，AB=8，=6，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+DM的最小值（ ） A 8 B6 C 2+2 D4 16.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，0），B（6， 0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 17.如圖，MON=90°，邊長為4的等邊 ABC的頂點(diǎn)A 、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為 18.如圖，MON=90°

9、;，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長度為（ ）A B C2 D 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 數(shù)學(xué)考點(diǎn)-最短距離問題答案 1.解：（1）如圖，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（2）如圖，過A作直線l的垂線，在垂線上取點(diǎn)A，使直線l是AA的垂直平分線，連接BA交直線l于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求；（3）作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對(duì)稱點(diǎn)A''，與OM、ON相交于B、C，連接AB，BC，AC，則ABC即為所求三角

10、形；（4）作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交OM于C，交ON于D，連接AC，CD，BD，則四邊形ABCD即為所求；（5）作出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)MN交直線l于點(diǎn)P；兩直線的夾角等于45°，且OM=6，MN=2，MOP=45°，OM=OM=6，NO=8，NOM=90°， MN=10，故答案為： 10 2.解：（1）點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值 =AE=；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置，點(diǎn)C'坐

11、標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，4），直線C'A的解析式為：y=x2，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；（3）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的位置，與ON交點(diǎn)為C的位置；如圖所示：點(diǎn)B、C即為所求作的點(diǎn) 3.解：(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB于直線l交于P，則點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn) (2)解：如圖，作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E,再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF即可如圖ABCD便是周長最小的 4.解：找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，與x軸的交于M

12、點(diǎn)，連接BM，此時(shí)|AM|+|BM|為最短，由B與B關(guān)于x軸對(duì)稱，B（2，2），所以B（2，2），又A（3，8），則直線AB的方程為 y+2=（x2）化簡得：y=2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故選： B 5.(1)先確定AA與河等寬，且AA河岸，連接BA，與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D，CD就是所求的橋的位置 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 理由：由作圖過程可知，四邊形ADCA為平行四邊形，AD平移至AC即可得到線段AB，兩點(diǎn)之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋 (2)解：（1）橋應(yīng)該建在如圖所示MN處，四邊形AMKN是平行四邊形（2）作MHBC垂足為H

13、兩村A、B之間的最短路程=AN+KN+BK，四邊形AMKN是平行四邊形，AN=MK，在RTBMH中，BH=70，MH=40， BM= =10， AN+KN+BK=BM+KN=10+30，兩村的最短路程為（ 10+30）米 6.解：根據(jù)題意，作出如圖所示的圖象,過點(diǎn)B作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B、過點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，直線AB與坐標(biāo)軸交點(diǎn)即為所求設(shè)過A與B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+bA（8，3），B（4，5），A（8，3），B（4，5） ，依題意得： ，解得，所以，C（0，n）為（0，）D（m，0）為（，0 ）所以，=故答案為 7.解：（1）設(shè)點(diǎn)B（4，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B&

14、#39;，其坐標(biāo)為（4，1），設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b，把A（2，3），B'（4，1 ）代入得： ，解得，y=2x7，令y=0，得x=，即當(dāng)PAB的周長最短時(shí)，x= （2）過A點(diǎn)作AEx軸于點(diǎn)E，且延長AE，取A'E=AE做點(diǎn)F（1，1），連接A'F那么A'（2，3）直線A'F的解析式為y 1=?（x1），即y=4x5，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線A'F上，0=4a5，解得a=當(dāng)四邊形ABDC的周長最短時(shí)，a= （3）存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，與x軸、y

15、軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，A（2，3），B（4，1），直線AB的解析式為：y=x，M（，0），N（0，）m=，n= 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 8.解：（1）如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交y軸于C，AC=AC，AC+BC=AC+BC=AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB就是AC+BC的最小值，點(diǎn)A（2，1），A（2，1），B（4，2），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，-2k+b=1,4k+b=2，解得k=16，b=43直線AB的解析式為y=x+，C（0，）； （2）如圖2，作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交直線y=x于D，AD=DA，AD+BD=DA+BD=AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

16、最短可知AB就是AD+BD的最小值，點(diǎn)A（2，1），A（1，2），B（4，2），直線BAx軸，y=2，代入y=x中得x=2，D（2，2）； （3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，則C的坐標(biāo)為（0，），把C向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D'（1，），連接DD，與x軸交于點(diǎn)F，如圖3，CE=CE，又點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），EF=1，CDEF，四邊形CDFE為平行四邊形，CE=DF，CE=DF，CE+DF=DD，此時(shí)CE+DF最小，而CD與EF的長一定，此時(shí)四邊形CEFD周長最短設(shè)直線DD的解析式為y=kx+n，把D（2，2）、D（1，）分別代入得2k+n=2，k+n= -43，解得 k=，n=

17、 ，直線DD的解析式為 y=x ，令y=0 ，則x =0，解得x=，D點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），m+1=，m= 10.解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AC，則AC即為最短距離，AC2=AD2+CD2=82+122=208 ，CA=4cm答：螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離的是 4cm 12.解：（1）如圖（1）， AD= =；（2）如圖（2）， AD= =；（3）如圖（3）， AD= = =4可見，AD 的最小值為故選C 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 13.解：AE=AB+BE=5+7=12DE=BC=5 AD= =13螞蟻爬的最短路徑長為13 14.解：連接BD，DE，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)

18、B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，DE的長即為BQ+QE的最小值，AB=8，AE=6， DE=BQ+QE=10，AB=8，AE=6，BE=2，BEQ周長的最小值 =DE+BE=10+2=12 15.解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接CD與AB相交于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，連接OC交CD于N，連接OD，AB是O 的直徑， =6， ， ， ，OCCD，CD=2DN，COD=60°，D=30°，AB=8，OD=4， DN=OD?sin60°=2， CD=4CM+DM的最小值 =4故選：D 16.解：如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交直線y=x于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，OA=2，BO=6，PA+ PB=AB= =2故答案為： 2 17.解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，ABC是等邊三角形