直線與方程-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-例題習(xí)題精講-詳細(xì)答案-提高訓(xùn)練

1、【知識(shí)點(diǎn)一：傾斜角與斜率】(1) 直線的傾斜角 關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。 直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0° 傾斜角:的范圍0°乞：180°(2) 直線的斜率 直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為90°的直線斜率不存在.記作 k = tan ：= 900)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，- 0°, k = tan 0° = 0 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，=900,k不存在.k n 經(jīng)過兩點(diǎn)R(X!, yj, P(X2, y2)(x1 HX2)的直線的斜率公式是 k =-二

2、每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率(3) 求斜率的一般方法: 已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式k = y2 一“ (x2 = Xi)求斜率；X2 _Xi 已知直線的傾斜角:-或的某種三角函數(shù)根據(jù) k =tan來求斜率；(4) 利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知 A(Xi, yj, B(X2,y2),C(X3, y3)，若 xxX3或kAB，則有 A、B、C三點(diǎn)共線?！局R(shí)點(diǎn)二：直線平行與垂直】(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線|1,|2，其斜率分別為ki,k2，則有11 /12二k k2特別地，當(dāng)直線IJ2的斜率都不存在時(shí)，li與12的關(guān)系為平追(2)兩條直線垂直：如果兩條直線li,

3、l2斜率存在，設(shè)為ki,k2，則有h 丨2二ki k -i注：兩條直線ll, 12垂直的充要條件是斜率之積為 -1，這句話不正確;由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果11,12中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，與l2互相垂直【知識(shí)點(diǎn)三：直線的方程】(1)直線方程的幾種形式需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請(qǐng)?jiān)谔詫毶纤?索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng) y1 =k（x 為）(Xi, yj為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于 X軸的

4、直線斜截式y(tǒng) =kX +bk為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于X軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)力x捲y2 y1X2 X1經(jīng)過兩點(diǎn)任，yj,( X2, y2) 且(X1 式X2, y1 鼻 y2)不包括垂直于 X軸和y軸的直線截距式a ba是直線在x軸上的非零截距， b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于 X軸和 y軸或過原點(diǎn)的直線一般式Ax + By + C = 02 2（A +B 式0）代B,C為系數(shù)無限制，可表示任何位置的直線問題：過兩點(diǎn) R(X1, yd F2(X2, y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？【不一定】(1)若X1 =X2且 m2，直線垂直于X軸,方程為X=X1 ；若X1 =X

5、2且y1二y2，直線垂直于y軸方程為y1 = y2 ；若X1 X2且yJ y2，直線方程可用兩點(diǎn)式表示直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：方程的條件限制為 a = O,b = O，即兩個(gè)截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長(zhǎng)度截距與距離的區(qū)別： 截距的值有正、負(fù)、零。距離的值是非負(fù)數(shù)。截距是實(shí)數(shù)，不是“距離”，可正可負(fù)。截距式方程的應(yīng)用與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為：|a|+|b|+ a2 b2 ；直線與坐標(biāo)

6、軸圍成的三角形面積為1:S -| ab | ；2直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則k = -1或直線過原點(diǎn)，常設(shè)此方程為x y = a或 y = kx(2)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)R,P的坐標(biāo)分別是(人，),化小),且線段RP2的中點(diǎn)M (x, y)的坐標(biāo)為【知識(shí)點(diǎn)四 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離】(1)兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是 h ： Ax+ By+G =0, * ： Aex+B?y+C2 =0Ax + B y + G = 0兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組1 的解。Ax +B2y +C2 = 0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)； 若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線

7、平行.(2)幾種距離兩點(diǎn)間的距離：平面上的兩點(diǎn)R(xi, yi), F2(X2,y2)間的距離公式 | PP2 卜、,(X2 -Xi)2 (y2 - yi)2特別地，原點(diǎn)0(0,0)與任一點(diǎn)P(x, y)的距離|OP| = , X2y2點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P°(x。，y。)到直線Ax By 0的距離兩條平行線間的距離：兩條平行線 Ax By G =0與Ax By C 0間的距離注：1求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式2求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的二般形式后，才能套用公式計(jì)算。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔詫毶纤?索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總

8、結(jié) 例題精講（詳細(xì)解答）或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知二一L I , 一 A幾門；直線I過原點(diǎn)0且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線I的斜率的取值范圍是（）睜 V31答案：BCD分析：由于直線I與線段AB有公共點(diǎn)，故直線-一.，由于直線所以直線I的斜率的取值范圍是 -二.:.:解：由題意，：丄I的斜率應(yīng)介于0A，0B斜率之間.I與線段AB有公共點(diǎn),考點(diǎn)：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線I與線段AB有公共點(diǎn)，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解.【例】在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn) A （1, 2）距離為1,且與點(diǎn)B （3, 1）距離為2的直線共有（A 1條B 2條C 3條D 4條答案：B分析：由題意，A、B到直線

9、距離是1和2，則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條 數(shù)即可.解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.考點(diǎn)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】將直線11： y=2x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得直線12,則直線I2到直線13： x+2y - 3=0的角為（）A 30 °B 60 °C 120 °D 150 °答案：A分析：結(jié)合圖象，由題意知直線I1I3互相垂直，不難推出I2到直線13： x+2y - 3=0的角.解：記直線I1的斜率為k1,直線13的斜率為k3,注意到 &k3=

10、- 1, 11丄13,依題意畫出示意圖，結(jié)合圖形 分析可知，直線I2到直線13的角是30° 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔詫毶纤?索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講（詳細(xì)解答） 或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】考點(diǎn)：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式【例】方程X +|y =1所表示的圖形的面積為 。答案：2解：方程x+y =1所表示的圖形是一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為J2【例】設(shè)a b = k(k = 0, k為常數(shù))，則直線ax b 1恒過定點(diǎn).1 1 答案：(丄1)k k解：ax by =1 變化為 ax (k_a)y=1,a(x_y) ky_1=0,x -

11、y = 0對(duì)于任何a- R都成立，則ky_1=0【例】一直線過點(diǎn)M(-3,4)，并且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12，這條直線方程是 答案：4x-y 16=0，或 x3y-9=0-4-4解：設(shè) y -4 二k(x 3), y =0,x3;x=0, y=3k 4;3 3k 4 = 12kk4213k 11=0,3k -11k-4 =0,k =4,或k k3【例】已知 A (1, 2) , B (3, 4),直線 11： x=0 , 12： y=0 和 13： x+3y - 1=0、設(shè) Pi 是 li (i=1 , 2, 3)上 與A、B兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)，則 P1P2P3的面積是 答案：2分析：設(shè)

12、出P1, P2, P3，求出P1到A , B兩點(diǎn)的距離和最小時(shí)，P1坐標(biāo)，求出P2, P3的坐標(biāo)，然后再解 三角形的面積即可.解：設(shè)P1(0,b),P2 (a,0),P3(X0,y0)由題設(shè)點(diǎn)P1到A, B兩點(diǎn)的距離和為d=732+(4-b) 2 + 12+(2-b) 2=72 (b-3) 2 + 12顯然當(dāng)b=3即P1(0, 3)時(shí)，點(diǎn)P1到A , B兩點(diǎn)的距離和最小，同理P2 (2 ,0),P3(1 ,0)，所以SAP1P2P34XP2P3Xb4考點(diǎn)：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值,考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題.【例】已知直線(a- 2) y= ( 3a- 1) x- 1，為使這

13、條直線不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù) a的范圍是_答案：2，+8)分析：由已知中直線(a- 2) y= (3a- 1) x- 1不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a- 2=0 (斜率不存在)，a-2工0(斜率存在)兩種情況，討論滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，得到答案.解：若a-2=0，即a=2時(shí)，直線方程可化為 x=，此時(shí)直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；5若a-2MQ直線方程可化為 y=/2x-_，此時(shí)若直線不經(jīng)過第二象限，則邑二0丄解a 2 a_ 2a_ 2 a_ 2得a> 0綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是2 , +8)考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程

14、中，當(dāng)k>0且 bwo時(shí),直線不過第二象限得到關(guān)于 a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵，但解答時(shí)，易忽略對(duì)a- 2=0 (斜率不存在)時(shí)的討論，而錯(cuò)解為(2, +8)?！纠窟^點(diǎn)A(-5, /)作一直線I，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為4解：設(shè)直線為y，4=k(x5),交x軸于點(diǎn)(5,0)，交y軸于點(diǎn)(0,5 k-4),k4 5 x 5k 4 =5, 40 一25k =10 kk得 25k2 -30k 16 =0，或 25k2 -50k 16=02解得k =,或58k2x-5y-100 或 8x-5y 20=0 為所求。5【例】直線y亠1和x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B，在線段A

15、B為邊在第一象限內(nèi)作等邊 ABC ,31如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) P(m,1)使得 ABP和厶ABC的面積相等，求2m的值。解：由已知可得直線 CP/AB，設(shè)CP的方程為y 3x c,(c 1)3則c_-ab乜1 J 2r：.3,c=3 , y 3x 3 過 P(m,)32亠m 3,m3【例】已知點(diǎn)A(1,1),B(2, 2)，點(diǎn)P在直線上，求 |PA|PB2取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)P(2t,t)，則2PA + PB22= (2t -1)2(t -1)2 (2t -2)2 (t -2)2 =10t2 14t 10當(dāng)吒時(shí)，|町盯取得最小值,即叱，和【例】求函數(shù)f (x)二X2二2x 2 .

16、X2二4x 8的最小值。解：f(x) hj(x -1)2 (0 -1)2 (x -2)2 (0 -2)2 可看作點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(2,2)的距離之和，作 點(diǎn)(1,1)關(guān)于 x軸對(duì)稱的點(diǎn)(1,-1). f(x)mirl =、12 32 10【例】在厶ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x - 2y+1=0 ,Z A的平分線所在直線的方程為解：點(diǎn)A為y=0與x - 2y+1=0兩直線的交點(diǎn),BC方程，解出C點(diǎn)坐標(biāo)逐步解答.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1 , 0) kAB=T2-0T7!)=1 又/ A的平分線所在直線的方程是y=0 , kAC= - 1 直線AC的方程是y= - x - 1

17、.而 BC 與 x - 2y+1=0 垂直，kBC= - 2.直線 BC 的方程是 y-2= - 2 (x - 1).由 y= - x - 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, - 6)考點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解【例】直線I過點(diǎn)P (2, 1),且分別與x , y軸的正半軸于 A, B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)求厶AOB面積最小值時(shí)I的方程；(2) |PA|?|PB取最小值時(shí)I的方程.分析：(1 )設(shè)AB方程為，點(diǎn)P (2, 1)代入后應(yīng)用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面積面積的最小值.(2)設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程，求出 A ,

18、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|PA|?|PB的解析式，使用基 本不等式，求出最小值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件.解：(1)設(shè) A (a, 0)、B ( 0, b ), a>0, b>0, AB 方程為-=1，點(diǎn) P ( 2, 1)代入得a=4, b=2時(shí)，等號(hào)成立)故三角形OAB面積S=gab4此時(shí)直線方程為:-即 x+2y - 4=0.(2)設(shè)直線 I : y-仁k (x - 2),分別令 y=0, x=0 ,得 A (2 - - , 0), B (0 , 1 - 2k).則 |PA|?|PBF>42當(dāng)且僅當(dāng)k =1，即k= ±1時(shí)，|PA|?|PB取最小值， 又； k v 0

19、,二 k= - 1，這時(shí)I的方程為x+y - 3=0.考點(diǎn)：本題考查直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用.【例】求傾斜角是直線y=- 3x+ 1的傾斜角的£且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)(.3,- 1); (2)在y軸上的截距是一5.解：直線的方程為y= . 3x+ 1 , k= 3,傾斜角a= 120°由題知所求直線的傾斜角為30°,即斜率為辱(1) 直線經(jīng)過點(diǎn)(.3, 1)，所求直線方程為y+ 1 = ¥(x . 3),即. 3x 3y 6 = 0.(2) 直線在y軸上的截距為5,二由斜截式知所求直線方程為5

20、,即，3x 3y 15 = 0.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔詫毶纤?索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知直線I: kx y+ 1 + 2k= 0(1)證明：直線I過定點(diǎn)；若直線I交x負(fù)半軸于A,交y正半軸于B,A AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時(shí)直線 I 的方程。解：(1)證明：由已知得 k(x+ 2) + (1 y) = 0,無論k取何值，直線過定點(diǎn)(一2,1)。1(2)令y= 0得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2 ° 0), 令x = 0得B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2k+ 1)(k>0), Ssob = 21 2 f|2k+ 1| = 2(2 + k)(2k+ 1) = 2(4k+ ；+ 4) >(4 + 4) = 411當(dāng)且僅當(dāng)4k= 1,即k= 1時(shí)取等號(hào)。k21即厶AOB的面積的最小值為 4，此時(shí)直線I的方程為x y + 1+ 1 = 0 ,即x 2y+ 4= 0【例】已知函數(shù)1：一，g (x) =x+a (a>0)(1) 求a的值，使點(diǎn)M (f (x), g (x)至U直線x+y -仁0的最短距離為#乓；(2) 若不等式一 :在x 1 , 4恒成立，求a的取值范圍。f ( X丿(2)將絕對(duì)值符號(hào)化去，從而轉(zhuǎn)化為分析