直線與方程-知識點總結(jié)-例題習(xí)題精講-詳細答案-提高訓(xùn)練

1、【知識點一：傾斜角與斜率】(1) 直線的傾斜角 關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。 直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0° 傾斜角:的范圍0°乞：180°(2) 直線的斜率 直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為90°的直線斜率不存在.記作 k = tan ：= 900)當直線l與x軸平行或重合時，- 0°, k = tan 0° = 0 當直線l與x軸垂直時，=900,k不存在.k n 經(jīng)過兩點R(X!, yj, P(X2, y2)(x1 HX2)的直線的斜率公式是 k =-二

2、每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率(3) 求斜率的一般方法: 已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式k = y2 一“ (x2 = Xi)求斜率；X2 _Xi 已知直線的傾斜角:-或的某種三角函數(shù)根據(jù) k =tan來求斜率；(4) 利用斜率證明三點共線的方法：已知 A(Xi, yj, B(X2,y2),C(X3, y3)，若 xxX3或kAB，則有 A、B、C三點共線?！局R點二：直線平行與垂直】(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線|1,|2，其斜率分別為ki,k2，則有11 /12二k k2特別地，當直線IJ2的斜率都不存在時，li與12的關(guān)系為平追(2)兩條直線垂直：如果兩條直線li,

3、l2斜率存在，設(shè)為ki,k2，則有h 丨2二ki k -i注：兩條直線ll, 12垂直的充要條件是斜率之積為 -1，這句話不正確;由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果11,12中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，與l2互相垂直【知識點三：直線的方程】(1)直線方程的幾種形式需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 請在淘寶上搜.索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細解答)或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】名稱方程的形式已知條件局限性點斜式y(tǒng) y1 =k（x 為）(Xi, yj為直線上一定點，k為斜率不包括垂直于 X軸的

4、直線斜截式y(tǒng) =kX +bk為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于X軸的直線兩點式y(tǒng)力x捲y2 y1X2 X1經(jīng)過兩點任，yj,( X2, y2) 且(X1 式X2, y1 鼻 y2)不包括垂直于 X軸和y軸的直線截距式a ba是直線在x軸上的非零截距， b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于 X軸和 y軸或過原點的直線一般式Ax + By + C = 02 2（A +B 式0）代B,C為系數(shù)無限制，可表示任何位置的直線問題：過兩點 R(X1, yd F2(X2, y2)的直線是否一定可用兩點式方程表示？【不一定】(1)若X1 =X2且 m2，直線垂直于X軸,方程為X=X1 ；若X1 =X

5、2且y1二y2，直線垂直于y軸方程為y1 = y2 ；若X1 X2且yJ y2，直線方程可用兩點式表示直線的點斜式方程實際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；利用斜截式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時，要注意以下幾點：方程的條件限制為 a = O,b = O，即兩個截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點的直線以及與坐標軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標而不是長度截距與距離的區(qū)別： 截距的值有正、負、零。距離的值是非負數(shù)。截距是實數(shù)，不是“距離”，可正可負。截距式方程的應(yīng)用與坐標軸圍成的三角形的周長為：|a|+|b|+ a2 b2 ；直線與坐標

6、軸圍成的三角形面積為1:S -| ab | ；2直線在兩坐標軸上的截距相等，則k = -1或直線過原點，常設(shè)此方程為x y = a或 y = kx(2)線段的中點坐標公式若點R,P的坐標分別是(人，),化小),且線段RP2的中點M (x, y)的坐標為【知識點四 直線的交點坐標與距離】(1)兩條直線的交點設(shè)兩條直線的方程是 h ： Ax+ By+G =0, * ： Aex+B?y+C2 =0Ax + B y + G = 0兩條直線的交點坐標就是方程組1 的解。Ax +B2y +C2 = 0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標； 若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線

7、平行.(2)幾種距離兩點間的距離：平面上的兩點R(xi, yi), F2(X2,y2)間的距離公式 | PP2 卜、,(X2 -Xi)2 (y2 - yi)2特別地，原點0(0,0)與任一點P(x, y)的距離|OP| = , X2y2點到直線的距離：點P°(x。，y。)到直線Ax By 0的距離兩條平行線間的距離：兩條平行線 Ax By G =0與Ax By C 0間的距離注：1求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式2求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的二般形式后，才能套用公式計算。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請在淘寶上搜.索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總

8、結(jié) 例題精講（詳細解答）或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知二一L I , 一 A幾門；直線I過原點0且與線段AB有公共點，則直線I的斜率的取值范圍是（）睜 V31答案：BCD分析：由于直線I與線段AB有公共點，故直線-一.，由于直線所以直線I的斜率的取值范圍是 -二.:.:解：由題意，：丄I的斜率應(yīng)介于0A，0B斜率之間.I與線段AB有公共點,考點：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線I與線段AB有公共點，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解.【例】在坐標平面內(nèi)，與點 A （1, 2）距離為1,且與點B （3, 1）距離為2的直線共有（A 1條B 2條C 3條D 4條答案：B分析：由題意，A、B到直線

9、距離是1和2，則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條 數(shù)即可.解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.考點：本題考查點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】將直線11： y=2x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得直線12,則直線I2到直線13： x+2y - 3=0的角為（）A 30 °B 60 °C 120 °D 150 °答案：A分析：結(jié)合圖象，由題意知直線I1I3互相垂直，不難推出I2到直線13： x+2y - 3=0的角.解：記直線I1的斜率為k1,直線13的斜率為k3,注意到 &k3=

10、- 1, 11丄13,依題意畫出示意圖，結(jié)合圖形 分析可知，直線I2到直線13的角是30° 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請在淘寶上搜.索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講（詳細解答） 或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】考點：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式【例】方程X +|y =1所表示的圖形的面積為 。答案：2解：方程x+y =1所表示的圖形是一個正方形，其邊長為J2【例】設(shè)a b = k(k = 0, k為常數(shù))，則直線ax b 1恒過定點.1 1 答案：(丄1)k k解：ax by =1 變化為 ax (k_a)y=1,a(x_y) ky_1=0,x -

11、y = 0對于任何a- R都成立，則ky_1=0【例】一直線過點M(-3,4)，并且在兩坐標軸上截距之和為12，這條直線方程是 答案：4x-y 16=0，或 x3y-9=0-4-4解：設(shè) y -4 二k(x 3), y =0,x3;x=0, y=3k 4;3 3k 4 = 12kk4213k 11=0,3k -11k-4 =0,k =4,或k k3【例】已知 A (1, 2) , B (3, 4),直線 11： x=0 , 12： y=0 和 13： x+3y - 1=0、設(shè) Pi 是 li (i=1 , 2, 3)上 與A、B兩點距離平方和最小的點，則 P1P2P3的面積是 答案：2分析：設(shè)

12、出P1, P2, P3，求出P1到A , B兩點的距離和最小時，P1坐標，求出P2, P3的坐標，然后再解 三角形的面積即可.解：設(shè)P1(0,b),P2 (a,0),P3(X0,y0)由題設(shè)點P1到A, B兩點的距離和為d=732+(4-b) 2 + 12+(2-b) 2=72 (b-3) 2 + 12顯然當b=3即P1(0, 3)時，點P1到A , B兩點的距離和最小，同理P2 (2 ,0),P3(1 ,0)，所以SAP1P2P34XP2P3Xb4考點：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值,考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題.【例】已知直線(a- 2) y= ( 3a- 1) x- 1，為使這

13、條直線不經(jīng)過第二象限，則實數(shù) a的范圍是_答案：2，+8)分析：由已知中直線(a- 2) y= (3a- 1) x- 1不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a- 2=0 (斜率不存在)，a-2工0(斜率存在)兩種情況，討論滿足條件的實數(shù)a的取值，進而綜合討論結(jié)果，得到答案.解：若a-2=0，即a=2時，直線方程可化為 x=，此時直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；5若a-2MQ直線方程可化為 y=/2x-_，此時若直線不經(jīng)過第二象限，則邑二0丄解a 2 a_ 2a_ 2 a_ 2得a> 0綜上滿足條件的實數(shù)a的范圍是2 , +8)考點：本題考查的知識點是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程

14、中，當k>0且 bwo時,直線不過第二象限得到關(guān)于 a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵，但解答時，易忽略對a- 2=0 (斜率不存在)時的討論，而錯解為(2, +8)?！纠窟^點A(-5, /)作一直線I，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為4解：設(shè)直線為y，4=k(x5),交x軸于點(5,0)，交y軸于點(0,5 k-4),k4 5 x 5k 4 =5, 40 一25k =10 kk得 25k2 -30k 16 =0，或 25k2 -50k 16=02解得k =,或58k2x-5y-100 或 8x-5y 20=0 為所求。5【例】直線y亠1和x軸，y軸分別交于點A,B，在線段A

15、B為邊在第一象限內(nèi)作等邊 ABC ,31如果在第一象限內(nèi)有一點 P(m,1)使得 ABP和厶ABC的面積相等，求2m的值。解：由已知可得直線 CP/AB，設(shè)CP的方程為y 3x c,(c 1)3則c_-ab乜1 J 2r：.3,c=3 , y 3x 3 過 P(m,)32亠m 3,m3【例】已知點A(1,1),B(2, 2)，點P在直線上，求 |PA|PB2取得最小值時P點的坐標。解：設(shè)P(2t,t)，則2PA + PB22= (2t -1)2(t -1)2 (2t -2)2 (t -2)2 =10t2 14t 10當吒時，|町盯取得最小值,即叱，和【例】求函數(shù)f (x)二X2二2x 2 .

16、X2二4x 8的最小值。解：f(x) hj(x -1)2 (0 -1)2 (x -2)2 (0 -2)2 可看作點(x,0)到點(1,1)和點(2,2)的距離之和，作 點(1,1)關(guān)于 x軸對稱的點(1,-1). f(x)mirl =、12 32 10【例】在厶ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x - 2y+1=0 ,Z A的平分線所在直線的方程為解：點A為y=0與x - 2y+1=0兩直線的交點,BC方程，解出C點坐標逐步解答.點A的坐標為(-1 , 0) kAB=T2-0T7!)=1 又/ A的平分線所在直線的方程是y=0 , kAC= - 1 直線AC的方程是y= - x - 1

17、.而 BC 與 x - 2y+1=0 垂直，kBC= - 2.直線 BC 的方程是 y-2= - 2 (x - 1).由 y= - x - 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, - 6)考點：直線的點斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解【例】直線I過點P (2, 1),且分別與x , y軸的正半軸于 A, B兩點，O為原點.(1)求厶AOB面積最小值時I的方程；(2) |PA|?|PB取最小值時I的方程.分析：(1 )設(shè)AB方程為，點P (2, 1)代入后應(yīng)用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面積面積的最小值.(2)設(shè)直線l的點斜式方程，求出 A ,

18、 B兩點的坐標，代入|PA|?|PB的解析式，使用基 本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件.解：(1)設(shè) A (a, 0)、B ( 0, b ), a>0, b>0, AB 方程為-=1，點 P ( 2, 1)代入得a=4, b=2時，等號成立)故三角形OAB面積S=gab4此時直線方程為:-即 x+2y - 4=0.(2)設(shè)直線 I : y-仁k (x - 2),分別令 y=0, x=0 ,得 A (2 - - , 0), B (0 , 1 - 2k).則 |PA|?|PBF>42當且僅當k =1，即k= ±1時，|PA|?|PB取最小值， 又； k v 0

19、,二 k= - 1，這時I的方程為x+y - 3=0.考點：本題考查直線在坐標軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用.【例】求傾斜角是直線y=- 3x+ 1的傾斜角的£且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(.3,- 1); (2)在y軸上的截距是一5.解：直線的方程為y= . 3x+ 1 , k= 3,傾斜角a= 120°由題知所求直線的傾斜角為30°,即斜率為辱(1) 直線經(jīng)過點(.3, 1)，所求直線方程為y+ 1 = ¥(x . 3),即. 3x 3y 6 = 0.(2) 直線在y軸上的截距為5,二由斜截式知所求直線方程為5

20、,即，3x 3y 15 = 0.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請在淘寶上搜.索寶貝：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識點總結(jié) 例題精講(詳細解答)或者搜店鋪.:龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知直線I: kx y+ 1 + 2k= 0(1)證明：直線I過定點；若直線I交x負半軸于A,交y正半軸于B,A AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時直線 I 的方程。解：(1)證明：由已知得 k(x+ 2) + (1 y) = 0,無論k取何值，直線過定點(一2,1)。1(2)令y= 0得A點坐標為(2 ° 0), 令x = 0得B點坐標為(0,2k+ 1)(k>0), Ssob = 21 2 f|2k+ 1| = 2(2 + k)(2k+ 1) = 2(4k+ ；+ 4) >(4 + 4) = 411當且僅當4k= 1,即k= 1時取等號。k21即厶AOB的面積的最小值為 4，此時直線I的方程為x y + 1+ 1 = 0 ,即x 2y+ 4= 0【例】已知函數(shù)1：一，g (x) =x+a (a>0)(1) 求a的值，使點M (f (x), g (x)至U直線x+y -仁0的最短距離為#乓；(2) 若不等式一 :在x 1 , 4恒成立，求a的取值范圍。f ( X丿(2)將絕對值符號化去，從而轉(zhuǎn)化為分析