數(shù)學(xué)思想方法的突破

1、數(shù)學(xué)思想方法的突破 一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景 模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的，它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。首先，現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數(shù)學(xué)工具。我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實(shí)踐表明，在自然界、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現(xiàn)實(shí)世界事物和現(xiàn)象的狀態(tài)反映，在量上是沒有明晰界限的。模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)，只能精確地描述和研究那些界限分明

2、的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結(jié)果符合實(shí)際。因此，隨著社會(huì)實(shí)踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對“模糊”數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究也就成為十分必要的了。其次，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃。自本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)問世以來，電子計(jì)算機(jī)在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計(jì)算機(jī)發(fā)展的一個(gè)重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的思維活動(dòng)之所以具有高度的靈活性，能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境，一個(gè)重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時(shí)在起作用。一

3、般說來，邏輯思維活動(dòng)可用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻畫，而非邏輯思維活動(dòng)卻具有很大的模糊性，無法用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計(jì)算機(jī)，也就無法真實(shí)地模擬人腦的思維活動(dòng)，自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力。這對電子計(jì)算機(jī)特別是人工智能的發(fā)展，無疑是一個(gè)極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計(jì)算機(jī)能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復(fù)雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進(jìn)和提高電子計(jì)算機(jī)的功能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認(rèn)為，

4、要想從根本上解決電子計(jì)算機(jī)發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發(fā)表了題為模糊集合的論文，由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論，模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數(shù)學(xué)的。模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個(gè)事物與它有著明確的隸屬關(guān)系，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示，可寫成這里的A(u)稱為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)的

5、邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態(tài)的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時(shí)所呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個(gè)年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯。對于這種集合，一個(gè)事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關(guān)系，因而也就不能用特征函數(shù)A(u)來描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質(zhì)和特征呢?模糊集合論的創(chuàng)立者札德給出了隸屬函數(shù)的概念，用以代替普通集合論中的特征函數(shù)概念。隸屬函數(shù)的實(shí)質(zhì)，是將特征函數(shù)由二值0，1推廣到0，1閉區(qū)間

6、上的任意值。通常把隸屬函數(shù)表示為(u)，它滿足0(u)1（或記作(u)0，1）有了隸屬函數(shù)概念，就可給模糊集合下一個(gè)準(zhǔn)確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：隸屬函數(shù)的選取是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，目前還沒有一個(gè)固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達(dá)形式。在許多情況下，它是憑借經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)分析確定的。例如，某小組有五名同學(xué)，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現(xiàn)在取為由“性格穩(wěn)重”的同學(xué)組成的集合，顯然這是一個(gè)模糊集合。為確定每個(gè)同學(xué)隸屬于的程度，我們分別給每個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100.這里實(shí)際上就是求隸屬函數(shù)，如果打分的結(jié)果是u1得85分，u

7、2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是可表示為還可表示為或普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系，這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來分析。事實(shí)上，當(dāng)隸屬函數(shù)只取0,1閉區(qū)間的兩端點(diǎn)值0，1時(shí)，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u)，從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)結(jié)，而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因?yàn)橛写藘?nèi)在的聯(lián)系，決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達(dá)彼的橋梁。模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，因而對于它的研究，無論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用，都得到了迅速的發(fā)展。就其基礎(chǔ)理論而言，模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。在應(yīng)用方面，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)、地