材料力學(xué)第05章(彎曲應(yīng)力)

1、51 純彎曲純彎曲52 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力53 橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力54 彎曲彎曲切應(yīng)力切應(yīng)力56 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力內(nèi)力剪力FS彎矩M51 純彎曲純彎曲MFS 純彎曲: FS =0 ， M0正應(yīng)力 切應(yīng)力 橫力彎曲： FS 0， M0AB段純彎曲段純彎曲(Pure Bending):FFaaABFSx+FFMx+F a縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面F1F2平面彎曲平面彎曲52 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力一、一、 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(mn、mn）變形后仍為直線，

2、但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，橫向線與縱向線變形后仍正交。變形幾何規(guī)律：變形幾何規(guī)律：bnamabnmababMMnmnm橫截面變形后仍為平面。橫截面變形后仍為平面。2. .平面假設(shè)：平面假設(shè)：bnamabnmababMMnmnm設(shè)想梁由無數(shù)根平行于軸設(shè)想梁由無數(shù)根平行于軸線的縱向纖維組成，變形線的縱向纖維組成，變形后，上部纖維縮短，下部后，上部纖維縮短，下部纖維伸長。纖維伸長。有一層纖維變形后不伸長有一層纖維變形后不伸長也不縮短。也不縮短。3. .兩個概念兩個概念中性層：梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層纖維，此層纖維中性層：梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層纖維，此層纖維稱中性層。稱中性層。中性軸中性軸中性軸

3、：中性層與橫截面的交線。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層2021-11-219（一）變形幾何關(guān)系：dxbblllddd)(ybbnamanmydx建立坐標(biāo)系變形前：變形后：dy)( a b a b MMn m n m ybbl1yd（1） dlll1伸長量：線應(yīng)變：dxdxdy)(dxdy)(y中性層中性層中性軸中性軸zyxy （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維無擠壓。假設(shè)：縱向纖維無擠壓。(2) yEEP時，當(dāng)xyzx - 曲線曲線 P 式中：E和為常數(shù)，所以橫截面上正應(yīng)力與 y 成正比。（三）靜力關(guān)系：（三）靜力關(guān)系：zyxzyxMMMFFF0（1）0（2）M（3）x

4、yzFxMyMzMx橫截面上的正應(yīng)力組成一個橫截面上的正應(yīng)力組成一個空間平行力系，可以簡化后空間平行力系，可以簡化后得到三個內(nèi)力分量：得到三個內(nèi)力分量：000 xyzxF 0 0ZSE所以必須，由于yMyAMAz)d(ydAdAAxAFdAAyEdAAyEdZSE00（1）0（2）M（3）由（1）式xyzFxMyMz軸必須通過形心中性所以，)( zAdAzzA )d(AyEzAMAy)d(（平面彎曲，（平面彎曲，Iyz=0）yAMAz)d(EIz 梁的抗彎剛度。梁的抗彎剛度。由（2）式由（3）式zIyM （5-2）xyzyzdAdAAAEyzdAAyzEdyzEIAAEyd2AAyEd2zEI

5、MzzEIM1（5-1）0yEzIyM （5-2）xyzMx53 橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力hFlAB對于橫力彎曲，當(dāng) 5 時，按純彎曲時的公式計算正應(yīng)力，誤差不超過1%。hl一、一、橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力 zIyM 二、最大正應(yīng)力：二、最大正應(yīng)力：zIMymaxmaxmax : yIWzZ記zWMmaxWz稱為抗彎截面系數(shù)maxM6 2bhWzbhzy矩形：2 ,12max3hybhIZ抗彎截面系數(shù)：抗彎截面系數(shù)：32 3dWz)1 (32 43DWzDd空心圓：實心圓：2 ,64max4dydIZ2 maxDydzyDdzy, )1 (6444DIZ nsmaxhF

6、lAB zWMmaxmax三、梁的正應(yīng)力強度條件三、梁的正應(yīng)力強度條件max塑性材料脆性材料 ntbttmaxncbccmax例例1FABl圖示起重機大梁，Q235鋼，=170MPa，小車和重物重量F=265kN，l=4m，求：1）設(shè)計h/b=1.5的矩形截面梁； 2）選擇工字鋼型號： 3）比較這兩種截面梁的耗材。hbzy解：解：(1)(1)當(dāng)小車在跨中時梁最危險。當(dāng)小車在跨中時梁最危險。zy求支座反力求支座反力, ,畫彎矩圖。畫彎矩圖。FABl/2l/2Chbzy(2)矩形截面梁ZWMmaxmaxzWMmaxmax62maxbhM32max5 . 16bM32max5 . 16 Mb)mm(

7、8 .160)mm(2 .241 h(3)工字形截面梁 maxMWz)cm(8 .15583zyxM265m)(kN+查表，選擇No.45c工字鋼工矩AA3cm1570zW23. 3(4)比較耗材工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。工字鋼耗材是矩形截面梁的三分之一。hbzyzy120002 .2418 .160 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：梁內(nèi)的最大正應(yīng)力；例例2q=60kN/mAB3m120180zyxM+5 .67m)(kN解：解：MPa2 .1041048. 6105 .6756maxmaxzWMkNm5 .67maxM62bhWz61801202)mm(1048. 635例例3

8、支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理。q=60kN/mAB3maa120180zy解：解： 考慮兩種極限情況考慮兩種極限情況a=0 和和 a=1.5mq=60kN/mABl=3maaq=60kN/mABl=3mxM+5 .67m)(kNM+Mq=60kN/ml=3mABq=60kN/mAl=3maaBM+282qlaql22qaq=60kN/ml=3maaABC22qa2 2qaMMBA8 )2(22qlalqlMC時，梁受力最合理：當(dāng) ACMM04422llaa222llla舍去負(fù)值la) 12(21l207. 02 2822qaqalql2 82qlaqlM+q=60kN/maaABCm

9、)kN(56.11BAMMm)kN(56.11CM最大彎矩下降了：82. 05 .6756.115 .67%82。降了梁內(nèi)最大正應(yīng)力同樣下%82l=3mm)kN(56.1156.1156.11M+ 鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的t=20MPa，c=60 MPa，試根據(jù)危險截面k-k的強度，確定最大載荷P。(2)求危險截面上的彎矩例例4k770Fk101010180285解：(1)求形心位置和慣性矩Cycyzz1)(mm3 .112cy)(mm10622044zI)mm(N770FMKtcMk101010180285Cycyzz1k770FkMktcMk(4)壓應(yīng)力強度(3)拉應(yīng)力強度zcktIyM)

10、(kN4 .14 F101010180285Cycyzz141062203 .112770FtzckcIyM)285(41062207 .172770Fc)(kN1 .28 F允許的最大載荷允許的最大載荷F14.4kNk770FkMk T 字形截面的鑄鐵梁，受力如圖，鑄鐵的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。解：(1)求支座反力)kN(5 . 2AFF1=9kN1m1m1mF2=4kNABCD例例5y1y2CFAFB)kN(5 .10BF（2）畫彎矩圖找危險截面F1=9kN1m1m1mF2=4kNABC

11、Dy1y2CFAFBB截面彎矩最大，是危險截面2.5kNm4kNmMx+(2)B截面的強度F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2C負(fù)彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓負(fù)彎矩，上邊緣受拉，下邊緣受壓zBtIyM1zBcIyM2tc+-tcMB2.5kNm4kNmMx+MPa2 .27107635210446MPa2 .46107638810446(3)C截面的強度F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2C正彎矩，下邊緣受拉，上邊緣受壓正彎矩，下邊緣受拉，上邊緣受壓zCtIyM2zBzCcIyMIyM21tc+-+-梁安全tcMCMPa2 .281076388105 . 246

12、2.5kNm4kNmMx+討論：若將若將T字形梁倒置，梁是否安全？字形梁倒置，梁是否安全？F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2Cy1y2CMPa2 .461076388104t462zBtIyMB截面的拉應(yīng)力：梁的強度不夠。tcMB2.5kNm4kNmMx+ T 字形截面鑄鐵梁，梁長為l，受活動載荷，如圖，已知許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力之比t:c=1:4，y1:y2=1:5，試確定合理的 a 值。例例6y1y2Cal/2ABCDaFl/2解：al/2ABCDaFl/2al/2ABCDaFl/2y1y2CFa+)2(4alF正彎矩：拉應(yīng)力控制強度負(fù)彎矩：壓應(yīng)力控制強度t:c=1:4，

13、y1:y2=1:5y1y2C正彎矩：拉應(yīng)力控制強度負(fù)彎矩：壓應(yīng)力控制強度t:c=1:4，t2zCtIyMc2zBcIyMctBCMM4BCMM4)2(4FaalF3la+)2(4alFFaFSM 54 彎曲彎曲切應(yīng)力切應(yīng)力b2h2hzy一、一、 矩形截面矩形截面梁梁1 1、切應(yīng)力的切應(yīng)力的兩點假設(shè)：兩點假設(shè)： 54 彎曲彎曲切應(yīng)力切應(yīng)力yFS（2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布。切應(yīng)力沿寬度均勻分布。（1 1）切應(yīng)力與剪力切應(yīng)力與剪力Fs平行；平行；hbxzyyFS2 2、研究方法：分離體平衡、研究方法：分離體平衡（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段hbxzyyFSMM+dMdxdxyFSzyxhbFS

14、FSSFxMdddxF1dx2 2、研究方法：分離體平衡、研究方法：分離體平衡, 0 xFMM+dMyydxyFSzyxhb1dxF2（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段（2 2）在微段上再切取一部分求平衡在微段上再切取一部分求平衡0)d(112xbFF1FSFSzIyMM1)d(dxyzyx2FzzISMM)d(bISxMzzdd1由切應(yīng)力互等定理由切應(yīng)力互等定理bISFzz*S zzIMSF1同理：*d)d(1AzAyIMMF2dxF1 1AzIyMM1)d( )d( zzISMMSddFxMbISFzzS0)d( 112xbFF由AdAdAy1 *zzIMS0d1xbAdA*b2h2hy

15、zyFSbISFz*zS zb2h2hyyFSy*cA*zS)2(yhb)4(222yhb)2(yhb) 4(222yhIFzS矩max(2b當(dāng) y=0 時，max, 2hy 0cyA)24(yhy)24(yh)(2yh)2yh、切應(yīng)力分布規(guī)律、切應(yīng)力分布規(guī)律422ShIFzmax)4(222S矩yhIFz 方向：與橫截面上剪力方向一致；方向：與橫截面上剪力方向一致； 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。分布為拋物線。最大最大切切應(yīng)力為平均應(yīng)力為平均切切應(yīng)力的應(yīng)力的1.51.5倍。倍。zb2h2hyyFSy*cA*當(dāng) y=0 時，max矩形截面彎曲切

16、應(yīng)力分布規(guī)律：矩形截面彎曲切應(yīng)力分布規(guī)律：AF.S51412223ShbhFbhF23S平均5 . 1平均5 . 1maxB2H2H2h2hbyzyFS bISFzZ*S分為腹板和翼板：分為腹板和翼板：翼板上除了有平行于翼板上除了有平行于FS的切應(yīng)的切應(yīng)力分量外，還有水平分量。力分量外，還有水平分量。腹板為狹長矩形，可以采用前述的腹板為狹長矩形，可以采用前述的兩個假設(shè)。采用相同的推導(dǎo)，得到兩個假設(shè)。采用相同的推導(dǎo)，得到切應(yīng)力公式切應(yīng)力公式：二、二、 工字形截面工字形截面梁梁 zS)442)(22(hHhhHB)(8)4(22222*hHByhbSZB2H2H2h2hbyzy)24)(2( yh

17、yyhb2211yAyAA2A11y2y) 4(2)(82222yhbhHBbIFZSmaxminB2H2H2h2hbyyFSy=0時，8)(8222maxbhhHBbIFZS8)( 822hbBBHbIFZS8 822minBhBHbIFZS時， 2hy BbBbB則，如果 minmax此時腹板上的切應(yīng)力可以看成近此時腹板上的切應(yīng)力可以看成近似的均勻分布。似的均勻分布。A腹 腹板的面積。SAFA)97. 095. 0(d 腹即：腹板承受了95%97%的剪力又因為max min腹AFSmaxB2H2H2h2hbyzyFS計算計算腹板上切應(yīng)力的合力：腹板上切應(yīng)力的合力：對工字形型鋼，切應(yīng)力由下式

18、計算：dSIFZzS)(max為腹板厚度。由查表得到，式中：dSIZzzydmax三、三、 T T字形截面字形截面梁梁yzyFSA*bbISFzZS*在梁的橫截面上，最大正應(yīng)力發(fā)生梁截面的上下邊緣，在梁的橫截面上，最大正應(yīng)力發(fā)生梁截面的上下邊緣，最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的中性軸處。最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的中性軸處。三、切應(yīng)力強度條件三、切應(yīng)力強度條件切應(yīng)力強度條件：切應(yīng)力強度條件：bISFzzS*maxmaxmaxM max max細(xì)長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力，只有在下述情況細(xì)長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力，只有在下述情況下，需要進行梁的彎曲切應(yīng)力強度校核：下，需要進行梁的彎曲切應(yīng)力強度校核：（

19、2 2）鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度較薄，要校核腹板）鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度較薄，要校核腹板的切應(yīng)力。的切應(yīng)力。（1 1）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的的M較小，而較小，而FS較大時。較大時。（3 3）經(jīng)）經(jīng)鉚接、焊接或膠合而成的梁，應(yīng)對焊縫、鉚釘、膠合面鉚接、焊接或膠合而成的梁，應(yīng)對焊縫、鉚釘、膠合面進行切應(yīng)力校核。進行切應(yīng)力校核。 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖， =7MPa，=0. 9 M Pa，校核梁的強度。例例7q=3.6kN/mABL=3m120180zy解：q=3.6kN/mA

20、BL=3m（2）校核強度梁安全！zWMmaxmaxAFmaxsmax5 . 1(1)畫內(nèi)力圖找危險截面(kN)FS+x4 . 54 . 5xM+m)(kN4.0518. 012. 054005 . 10.375MPa 2max6bhM218. 012. 0405066.25MPa 例例8 已知：已知：q =407kN/m， =190MPa， =130 MPa，校校核梁的強度。核梁的強度。qAB3700200200FAFB)mm(6 .3821y)mm(10249zI)mm(4 .3092y解：（解：（1 1）求形心位置和慣性矩）求形心位置和慣性矩300206501640022y2y1Cz847

21、150150qAB3700200200FAFB+m)kN(xMx(kN)FS753+753300206501640022y2y1Cz（2 2）畫內(nèi)力圖）畫內(nèi)力圖zIyM1maxmax961026 .38210847（3 3）彎曲正應(yīng)力強度）彎曲正應(yīng)力強度)MPa(162qAB3700200200FAFB(kN)FSx753+7534 .29822400*zS（4 4）彎曲切應(yīng)力強度）彎曲切應(yīng)力強度)MPa(4 .77梁安全梁安全bISFzzS*maxmax1610210287. 31075396324 .287164 .287)mm(10287. 336bISFzzS*maxmax300206

22、501640022y2y1Cz例例9已知：F=30kN，l=5m，大梁由20a工字鋼制成，=170MPa，=100 MPa，校核梁的強度。zy200FABlPABl)mkN(5 .37maxM3610237105 .37zWMmaxmax解：（1 1）彎曲正應(yīng)力強度）彎曲正應(yīng)力強度FABl/2l/2小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，小車在跨中時，梁內(nèi)彎矩最大，5 .37m)(kN+)cm(237 3ZW查表得)MPa(158)kN(30max FFS717210303dSIFzzS*maxmax（2 2）彎曲切應(yīng)力強度）彎曲切應(yīng)力強度小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力最大，最大，)

23、cm(2 .17 *zzSI查表得)MPa(9 .24FABlFAFB+FAFB梁安全！zy200d)mm(7d例例1010zy12010200FAB2.21.41.4單位：m已知：F=50kN，大梁由20a工字鋼制成，用12010mm的鋼板加強，=152MPa，=95 MPa，校核梁的強度。)mkN(5 .62maxM46105018110105 .62zIyMmaxmaxmax解：（1）跨中彎曲正應(yīng)力強度跨中彎曲正應(yīng)力強度5 .101121211222370 23ZI)MPa(137PAB2.21.41.4FABl/2l/2CDzy12010200)cm( 50184355 .62m)(k

24、N+（2）D截面彎曲正應(yīng)力強度)mkN(4 .50maxDM3610237104 .50zDWMmaxmax小車在D截面時)MPa(2134 .50m)(kN+FABl/2l/2CDFAB3.61.4D5 .62m)(kN+35（2）D截面彎曲正應(yīng)力強度)cm(237 3ZW查表得強度不夠，鋼板需加長。FFSmax717210503dSIFzzS*maxmax（3）彎曲切應(yīng)力強度小車在支座附近時，梁內(nèi)剪力最大，)cm(2 .17SI *zz查表得)MPa(5 .41梁切應(yīng)力強度足夠！zy200d)mm(7dPABl/2l/2CDFAFB+FAFB)kN(50例例11已知： Me =40kNm，

25、q=20kN/m，=170MPa，=100 MPa，試選擇工字鋼型號。FAAB4m2mq1mFBMeFAAB4m2mq1mFBMeFSkN40+解：畫 FS 、M 圖kN40AF0BF（1）彎曲正應(yīng)力強度zWMmaxmax17010406 maxMWz3cm3 .235查表，選擇No.20a工字鋼，Wz=237cm3MmkN40+FAAB4m2mq1mFBMeFSkN40+（2）彎曲切應(yīng)力強度)cm(2 .17 : ZZ :SI查表得)mm(7ddSIFzzSmaxmax)MPa(2 .33梁切應(yīng)力強度足夠！717210403選擇No.20a工字鋼。注意：先按正應(yīng)力強度注意：先按正應(yīng)力強度選擇

26、型號，再校選擇型號，再校核切應(yīng)力強度。核切應(yīng)力強度。MmkN40+例例12已知：前軸重已知：前軸重F1=10kN，后軸重，后軸重F2=50kN，l=10m，大梁，大梁由兩根工字鋼制成，由兩根工字鋼制成， =160MPa， =100 MPa，試選擇，試選擇工字鋼型號工字鋼型號。F1ABl2mF2xFA650解：（解：（1 1）彎曲正應(yīng)力強度）彎曲正應(yīng)力強度設(shè)小車在距左端設(shè)小車在距左端 x 距離距離F1ABl2mF2xFAFBCDMCMD+xFB610MCMD+0dd xMC令xFMAC )mkN(104maxCMxx )650(m)(17. 4 0 xF1ABl2mF2xFAFBCDmkN2 .140 maxM1602102 .1406zWM2maxmax 2 maxMWz3cm438M