高等數(shù)學(xué)：4(4)幾類可積初等函數(shù)的不定積分

1、1第四節(jié)第四節(jié) 有理函數(shù)有理函數(shù)的積分的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)可化為有理函數(shù)的可化為有理函數(shù)的 積分舉例積分舉例rational function第四章第四章 不定積分不定積分2基本積分法基本積分法: : 換元積分法換元積分法;分部積分法分部積分法初等函數(shù)初等函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)初等函數(shù)初等函數(shù)積分積分例如例如,下列函數(shù)積分都不是初等函數(shù)下列函數(shù)積分都不是初等函數(shù),d2xex ,dsinxxx ,dsin2xx ,dln1xx ,1d4 xx,d13 xx)10(dsin122 kxxk直接積分法直接積分法;在概率論、數(shù)論、光學(xué)、傅里葉分析等領(lǐng)域在概率論、數(shù)論

2、、光學(xué)、傅里葉分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分有重要應(yīng)用的積分, ,都屬于都屬于“積不出積不出”的范圍的范圍. .3有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.;都是非負整數(shù)都是非負整數(shù)、其中其中nm,1010都是實數(shù)都是實數(shù)及及mnbbbaaa. 0, 000 ba且且有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 真分式真分式; ;,)2(mn 假分式假分式. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(4例例1123 xxx112

3、xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(多項式的積分容易計算多項式的積分容易計算.真分式的積分真分式的積分.只討論只討論:多項式多項式真分式真分式有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項式多項式 + + 真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和5 對一般有理對一般有理真分式的積分真分式的積分,代數(shù)學(xué)中下述定代數(shù)學(xué)中下述定理起著關(guān)鍵性的作用理起著關(guān)鍵性的作用.定理定理均可表為有限個均可表為有限個任何有理真分式任何有理真分式)()(xQxP.部部分分分分式式的的和和在在實實數(shù)數(shù)域域如如果果分分母母多多項項式式)(xQ:上上的的質(zhì)

4、質(zhì)因因式式分分解解式式為為,)()()(20 qpxxaxbxQ :)()(可唯一的分解為可唯一的分解為則則xQxP, 為正整數(shù)為正整數(shù) )04(2 qp有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分6 )()(xQxP,都是常數(shù)都是常數(shù)其中諸其中諸iiiNMA,可可由由待待定定系系數(shù)數(shù)法法確確定定的的式中每個分式叫做式中每個分式叫做)()(xQxP )(1axA部分分式部分分式( (最簡分式最簡分式).).,)()()(20 qpxxaxbxQ )04(2 qp )(2axA ax 1222)( qpxxNxM qpxxNxM2 1 A1)( )(2qpxx 11NxM 個常數(shù)待定個常數(shù)待定 個常數(shù)待定個常數(shù)

5、待定 2有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分7 用此定理有理函數(shù)的積分就易計算了用此定理有理函數(shù)的積分就易計算了.且由下面的例題可看出且由下面的例題可看出: 有理函數(shù)的積分是初等函數(shù)有理函數(shù)的積分是初等函數(shù).注注系數(shù)的確定系數(shù)的確定,一般有三種方法一般有三種方法:(1) 等式兩邊同次冪系數(shù)相等等式兩邊同次冪系數(shù)相等;(2) 賦值賦值;(3) 求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分8例例 求求xxxxd1123 解解 由多項式除法由多項式除法,有有 1123xxx 1dd2xxxx原式原式Cxx arctan22 說明說明:當被積函數(shù)是當被積函數(shù)是假分式假分式時時,應(yīng)把它分為

6、應(yīng)把它分為一個多項式和一個真分式一個多項式和一個真分式,分別積分分別積分.112 xx假分式假分式有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分9 xxxxd6532例例 求求6532 xxx)3)(2(3 xxx 2xA)2()3(3 xBxAx)23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA 65BA6532 xxx解解3625 xx3 xB 比較系數(shù)比較系數(shù) 因式分解因式分解有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分10 xxxxd6532 xxxxd316d215xxxd3625 Cxx 3ln62ln5有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分11xxxd)1(12 xA)1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系

7、數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 x并將并將 值代入值代入BA,1 C11)1(112 xxx2)1(1 xx例例 求求2)1(1 xx解解(1)(1) 2)1(xB1 xC 賦值賦值有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分12于是于是xxxd)1(12 xxxxxxd11d)1(1d12Cxxx 1ln11|lnxxxxd11)1(112 xxxd)1(12 11)1(112 xxx2)1(1 xx有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分13)21)()1(12xCBxxA ACxCBxBA )2()2(12 , 1, 02, 02CACBBA51,52,54 CBA

8、例例 求求 .d)1)(21(12 xxx解解 )1)(21(12xx xA2121x CBx 比較系數(shù)比較系數(shù) 二次二次質(zhì)因式質(zhì)因式有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分14xxxxxd15152d21542 xxxd)1)(21(122ln 125x|21|ln52x 2151522154xxx )1)(21(12xx |1|ln512x Cx arctan51 xxxd12512xxd11512 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分15注注任意有理真分式的不定積分都歸納為下列任意有理真分式的不定積分都歸納為下列;d)1(xaxA ;d)()2(xaxAn .d)()4(2 xqpxxBAxn;d)3(2

9、xqpxxBAx其中其中A,B, a, p, q都為常數(shù)都為常數(shù),. 042 qp 分別討論上述幾種類型的不定積分分別討論上述幾種類型的不定積分.并設(shè)并設(shè)四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分之和之和.n為大于為大于1的正整數(shù)的正整數(shù).有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分16xaxAd)1( axaxA)(dCaxA lnxaxAnd)()2( naxaxA)()(dCaxnAn 1)(11有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分17 xqpxxBAxd)3(2xqpxxd2 xqpxxpAAxd22 xqpxxpABd1)2(2 xqpxxpxAd222 pA2 AxB pA2 )(2qpxxxqpxxp

10、ABd1)2(2 qpxx2)4()2(22pqpx px 2有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分18 )4()2()2(d)2(22pqpxpxpABqpxxA 2ln2 2224)2()2(d)2(pqpxpxpABqpxxA 2ln2CpqpxpqpAB 42arctan4)2(22 qpxxqpxxA22)(d2有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分19 xqpxxBAxnd)()4(2xqpxxnd)(2 nqpxxqpxxA)()(d222xqpxxpABnd)(1)2(2 nqpxxqpxx)()(d22xqpxxInnd)(12 pA2pA2 AxB 112)(1(1Cqpxxnn )4()2(

11、d22pqpxxn有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分20用遞推公式用遞推公式 natt)(d22xqpxxInnd)(12 )4()2(d22pqpxx nt2atd 11222)32()()1(21nnnInattnaI有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分21應(yīng)重點提高計算的應(yīng)重點提高計算的(1) 部分分式法部分分式法; 此法一般運算較繁此法一般運算較繁.(2) 拆項法拆項法;(分項積分法分項積分法)(3) 換元法換元法;(4) 配方法配方法.有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、無理函數(shù)積分的基礎(chǔ)無理函數(shù)積分的基礎(chǔ),熟練程度和技巧熟練程度和技巧, 一般有以下方法一般有以下方

12、法:有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分22例例 求求 xxxxd)22(222 分析分析解解 原式原式=xxxxxd)22(22222 分項分項xxxxd)22(2222 湊微分湊微分從理論上看從理論上看,可用部分分式法可用部分分式法,但計算復(fù)雜但計算復(fù)雜,故不宜輕易使用故不宜輕易使用,xxxd)22(22 2x22 x22 x應(yīng)盡量考慮其它方法應(yīng)盡量考慮其它方法. 約去公因子約去公因子有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 221)1(dxx 配方配方 222)22()22(dxxxx )1arctan(xCxx 221223 例例 求求 xxxd)1(1002 解解原式原式=這是有理函數(shù)的積分這是有理函數(shù)

13、的積分.如按部分分式法很麻煩如按部分分式法很麻煩.使分母為單項使分母為單項,作變換作變換tx 1tttd)1(1002 ttttd211002 ttttd1219899100 分析分析分母是分母是100 次多項式次多項式,如作一個適當?shù)淖儞Q如作一個適當?shù)淖儞Q,而分子為多項而分子為多項,除一下除一下,化為和差化為和差的積分的積分.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分24Cttt 979899971491991Cxxx 979899)1(971)1(491)1(991或或xxxd)1(1002 xxd)1(1002 xxxxd)1(1)1(2)1(1002 1)1( x 分項分項有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積

14、分99100982(1)11dxdxdxxxx25 xxd14)1(2 x)1(2 x 1d4xxxxxxd11121222 xxxxd11121222 2)1(212xx)1(dxx 2)1(212xx)1(dxx 技巧技巧有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 例例 求求 解解原式原式=21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0( x12C26例例 求求 xxxxd)22(3522 解解是二次質(zhì)因式是二次質(zhì)因式,042 qp222 xx原式原式=xxxd)22(22 22)22(2 xxx35 xxxxd)22(1222 225)2(25 xxxxd)22(222522

15、222)22()22(d25xxxxxxxd)22(1222 1)1(2 x遞推公式遞推公式法一法一不能再分解不能再分解.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分27 求求 xxxxd)22(3522 解解, 1 xu設(shè)設(shè)uuud)1(2522 222)1()1(d25uu 22)1(d2uuCuuu arctan12原式原式=Cxxxx )1arctan()22(2722, 1 ux則則.ddux 11252u回代回代遞推公式遞推公式 11222)32()()1(21nnInattna natdt)(222 n法二法二有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分28 求求解解.d11632xeeexxx 令令6xet

16、txln6 ttxd6d xeeexxxd11632 tttttd61123 ttttd)1)(1(162 tttttd1331362 指數(shù)代換指數(shù)代換有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分所構(gòu)成的代數(shù)式所構(gòu)成的代數(shù)式適用于被積函數(shù)由適用于被積函數(shù)由xe29Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62tttttd1331362 Ceeexxxx )arctan(3)1ln(23)1ln(363623)1ln(3ln6 ttttttd1131)1(d222 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分30 求求 xxxd1142 求求 xxxd1124 求求 xxxd18 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分31

17、三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過)cos,(sinxxR,tansin1xx ,)cos1(sinsin1xxx .2sin451x 有限次四則運算有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之構(gòu)成的函數(shù)稱之. 一般記為一般記為如如有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分和分部積分法討論過一些和分部積分法討論過一些.對于三角函數(shù)有理式的積分對于三角函數(shù)有理式的積分,曾用換元法曾用換元法 是否任何一個三角函數(shù)有理式的積分都有是否任何一個三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù)原函數(shù) 回答

18、是肯定的回答是肯定的.322cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx 2tan12tan22xx .d)cos,(sin xxxR對對 由三角學(xué)知識由三角學(xué)知識可用可用可通過變換可通過變換2tanxu 事實上事實上,由由2tanxu 半角變換半角變換(或稱萬能代換）或稱萬能代換）則則,arctan2ux uuxd12d2 212uu 2tanx表示表示.化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分332sec2tan1cos22xxx 2tan12tan122xx ,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 xxxRd)cos,(sinu

19、uuuuuRd1211,122222 2211uu u的有理函數(shù)的有理函數(shù)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分34例例 求求.dcossin1sin xxxx解解212sinuux 2211cosuux uuxd12d2 由由萬能代換萬能代換 xxxxdcossin1sinuuuud)1)(1(22 uuuud)1)(1(22 2211uu 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分35uuuuud)1)(1()1()1(222 uuud112 uud11 uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx Cx |2tan1|ln回代回代有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分36例例

20、 求求.dsin14 xx解解 法一法一2tanxu 212sinuux uuxd12d2 xxdsin14uuuuud83314642 Cuuuu 333318133Cxxxx 332tan2412tan832tan832tan241回代回代有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分37 法二法二 修改修改萬能代換公式萬能代換公式xutan 令令21sinuux uuxd11d2 xxdsin14uuuud1111242 uuud142 Cuu 1313Cxx cotcot313有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 xxdsin14說明說明xxxxcossincos,sin22及及的有理式的積分時的有理式的積分時

21、, ,xutan 更方便更方便. .用代換用代換通常求含通常求含38 法三法三 不用萬能代換公式不用萬能代換公式 xxdsin14dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc ( cot )dxCxx 3cot31cot 比較以上三種解法比較以上三種解法,便知萬能代換不一便知萬能代換不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考慮其它手段慮其它手段, xxxdsinsin122不得已才用萬能代換不得已才用萬能代換.結(jié)論結(jié)論有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分.dsin14 xx39當三角函數(shù)有理式當三角函數(shù)有理式.sin)cos,(sin)1(

22、的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是若若xxxR則作代換則作代換).cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 即即ux cos例例 求求xxxxdcos1sincos22 xxxcosdcos1cos22 原式原式解解 ux cos)cos,(sinxxR具有某具有某種種對稱性對稱性時時,用下述變換較簡單用下述變換較簡單.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分40 求求xxxdcossin45 解解 原式原式 xxxcosdcos)cos1(422ux cos224(1)duuu xxx44coscosdsin有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分2441 2duuuu 41.cos)cos,(sin)2(的奇函數(shù)的奇函數(shù)

23、是是若若xxxR即即).cos,(sin)cos,(sinxxRxxR 則作代換則作代換ux sin例例 求求xxxxxdsincoscossin46 原式原式解解 xxxxdsincostan46 xxxdsincos35 xxxxdsincoscos34 xxxsindsincos34ux sin有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分42.cossin)cos,(sin)3(的偶函數(shù)的偶函數(shù)與與是是若若xxxxR即即).cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 則作代換則作代換ux tan例例 求求xxxxdcossinsin1422 解解 作作代代換換,tanux ,arctanux uux

24、d11d2 x2sinxx22sectan xx22tan1tan 221uu xx22sec1cos x2tan11 211u xxx222coscossin(屬上述類型屬上述類型)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分43或或xxxxdcossinsin1422 xxxxxdcos1cossinsin12222 xxxxtandcossinsin1222 xxxtandcossin122 xxtandcos12 xxxtandtansec24 xxtand)tan1(2 分子分母同乘以分子分母同乘以x4cos1xxxtandtan)tan1(222 xtand xx tandtan2 xtand分項

25、分項有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分44(1) 盡量使分母簡單盡量使分母簡單. xxxRd)cos,(sin基本思路基本思路或分子分母同乘以某個或分子分母同乘以某個因子因子, 把分母化為把分母化為)cos(sinxxkk或或的單項式的單項式,或?qū)⒎帜刚麄€看成一項或?qū)⒎帜刚麄€看成一項.(2) 盡量使盡量使)cos,(sinxxR的冪降低的冪降低.用倍角公式或積化和差公式以達目的用倍角公式或積化和差公式以達目的.為此常利為此常利有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分45xxxxdcossinsin 解解 xxxcossinsin 1cossincossin xxxx1tantan xx作作代代換換,tanux

26、uuxd11d2 原式原式uuuud1112 )cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 法一法一法二法二 原原式式xxxxxx22cosdcos1cossinsin 分子分母同乘以分子分母同乘以xsinux tan有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分dtan x46例例 求求.dsin3sinsin1 xxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA xxxxdsin3sinsin1 xxxxdcos2sin2sin1 xxxxdcossin4sin12 xxxdcossin1412 xxdcos1412妙用妙用有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分47 xxxxxdcossincossin412

27、22 xxdcos1412 xxxxxdsin141dcossin412 xxdcos1412 xxxxdsin141)(cosdcos1412 xxdcos1412xcos41 xxcotcscln41 Cx tan41分項分項有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分48有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分xxxdsin22sin1 1994年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 5分分解解 xxxd)1(cossin21 xxxxd2cos22cos2sin412 )2d(x 2cos2cos2sin412xxx 2cos2tan1412xx)2d(tanx)2(tand2tan2tan1412xxx 2tan812x

28、2tanln41xC 分子分母同乘以分子分母同乘以2cosx 原式原式分項分項49類型類型),(nbaxxR 解決方法解決方法 作代換去掉根號作代換去掉根號.),(ecxbaxxR ntt),(2cbxaxxR ),(2cbxaxxR 對對通常先將通常先將cbxax 2配方配方,再用三角變換化為三角函數(shù)有理式的積分或再用三角變換化為三角函數(shù)有理式的積分或直接利用積分公式計算直接利用積分公式計算.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分50 xxxxd11tttttd)1(2)1(222 1d222tttdtt 1112212ln1ttCt 2112ln1xxxCxx 回代回代例例 解解 令令,1txx ,12txx 22)1(d2d tttx,112 tx原式原式=有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分51例例 求求.d1)1( xxxxx解解先將無理函數(shù)的分子或分母有理化先將無理函數(shù)的分子或分母有理化.分析分析 xxxxxxxxxd)1)(1()1( )1(原式原式 xxxd)1( xxxd1 xx d23 xx d21 xxxd1)(11 2552x 2332x 25)1(52xCx 23)1(32有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分52例例 解解 221d2xxx 222xx1)1(2 x令令txtan1 則則td