高三數(shù)學第七章不等式及線性規(guī)劃復習學案教師版

1、第七章 不等式及線性規(guī)劃【高考考情解讀】1. 本章在高考中主要考查兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍.2. 多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題【知識梳理】1 四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0

2、)；變形0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)簡單指數(shù)不等式的解法當a>1時，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；當0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)簡單對數(shù)不等式的解法當a>1時，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；當0<a<1時，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2 五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3

3、)(a>0，b>0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a>0，b>0)3 二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；求出目標函數(shù)的最大值或者最小值131 / 154 兩個常用結論(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的條件是【典型題型解析】考點一一元二次不等式的解法例1(2012·江蘇)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為

4、0，)，若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，則實數(shù)c的值為_答案9解析由題意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域為0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)<c.2<c，即<x<.，得26，c9. 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學的重要基礎知識，也是高考的熱點本題考查了二次函數(shù)的值域及一元二次不等式的解法突出考查將二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者進行相互轉化的能力和轉化與化歸的數(shù)學思想方法 (1)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0.若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2(2)設命

5、題p：x|02x11，命題q：x|x2(2k1)xk(k1)0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是_答案(1)C(2)解析(1)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m<0；命題q為真時，m24<0，解得2<m<2.故pq為真時，2<m<0.(2)p：x|x1，q：x|kxk1，由pq且qD/p，則，0k，即k的取值范圍是.考點二利用基本不等式求最值問題例2(1)(2012·浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B. C5 D6(2)設x，y為實數(shù)，若4x2y2xy1，則2xy的最大值是_答案(1

6、)C(2)解析(1)x>0，y>0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)×25(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.(2)方法一4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)2·2xy1，(2xy)2·21，解之得(2xy)2，即2xy.等號當且僅當2xy>0，即x，y時成立方法二令t2xy，則yt2x，代入4x2y2xy1，得6x23txt210，由于x是實數(shù)，故9t224(t21)0，解得t2，即t，即t的最大值也就是2xy的最大值為.方法三化已知4x2y2xy1為221，令2xycos ，ysin ，則ysin ，則2

7、xy2xyycos sin sin(). 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤解題時應根據(jù)已知條件適當進行添(拆)項，創(chuàng)造應用基本不等式的條件 (1)已知關于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為()A1 B. C2 D.答案B解析2x2(xa)2a2·2a42a，由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為，故選B.(2)(2013·山東)設正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0.則當取得

8、最小值時，x2yz的最大值為()A0 B.C2 D.答案C解析由題意知：zx23xy4y2，則31，當且僅當x2y時取等號，此時zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.所以當y1時，x2yz取最大值2.考點三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元答案C解析設租A型車x輛，B型

9、車y輛時租金為z元則z1 600x2 400yx、y滿足畫出可行域如圖直線yx過點A(5,12)時縱截距最小，zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少為36 800元 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應用問題，要準確地設出變量，確定可行域和目標函數(shù) (1)(2013·山東)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2

10、 B1 C D(2)(2013·北京)設關于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)由得A(3，1)此時線OM的斜率最小，且為.(2)當m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m<0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即m<m1，解得m<.1 三個“二次”的關系一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程

11、的根，也是相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點2 基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉化為“和式”或將“和式”轉化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)設基本不等式的應用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結構使其具備基本不等式的應用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3 二元一次不等式表示平面區(qū)域的快速判斷法： 區(qū)域不等式區(qū)域B>0B<0

12、AxByC>0直線AxByC0上方直線AxByC0下方AxByC<0直線AxByC0下方直線AxByC0上方主要看不等號與B的符號是否相向，若同向則在直線上方，若異向則在直線下方，簡記為“同上異下”，這叫B的值判斷法解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決【當堂達標】1 若實數(shù)x、y滿足4x4y2x12y1，則t2x2y的取值范圍是()A0<t2 B0<t4C2<t4 Dt4答案C解析依題意得，(2x2y)22×2x×2

13、y2(2x2y)，則t22t2×2x×2y2×()2；即2t0，解得0t4；又t22t2×2x×2y>0，且t>0，因此有t>2，故2<t4，故選C.2 已知點A(2，2)，點P(x，y)在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則在方向上投影的取值范圍是()A，) B(，)C(， D，答案D解析不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：由向量投影的幾何意義知，當點P與點D重合時投影最大，當點P與點B或點C重合時投影最小又C(1,0)，D(0，1)，(1,0)，(0，1)，在方向上的投影為，在方向上的投影為，故在方向上投影的取值范圍是，【點擊高考】

14、一、選擇題1 (2012·福建)下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析應用基本不等式：x，yR，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件當x>0時，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確2 設a>b>1，c<0，給出下列三

15、個結論：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有的正確結論的序號是()A BC D答案D解析由不等式的基本性質可知對；冪函數(shù)yxc(c<0)在(0，)上單調(diào)遞減，又a>b>1，所以對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得logb(ac)>logb(bc)，又由對數(shù)的換底公式可知logb(bc)>loga(bc)，所以logb(ac)>loga(bc)，故選項D正確3 設Ax|x22x3>0，Bx|x2axb0，若ABR，AB(3,4，則ab等于()A7 B1 C1 D7答案D解析依題意，A(，1)(3，)，又因為ABR，AB(3,

16、4，則B1,4所以a(14)3，b1×44，于是ab7.故選D.4 (2012·陜西)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()Aa<v< BvC.<v< Dv答案A解析由小王從甲地往返到乙地的時速分別為a和b，則全程的平均時速為v，又a<b，<<，a<v<，A成立5 (2013·課標全國)已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a等于()A. B. C1 D2答案B解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點A時，z取最小

17、值，由得zmin22a1，解得a，故選B.6 已知變量x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zyax僅在點(3,0)處取到最大值，則實數(shù)a的取值范圍為()A(3,5) B.C(1,2) D.答案B解析如圖所示，在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線yax0，要使目標函數(shù)zyax僅在點(3,0)處取到最大值(即直線zyax僅當經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(3,0)時，在y軸上的截距達到最大)，結合圖形可知a>.二、填空題7 已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_答案6，)解析由p得：0<x1，若p是q的充分條件，則有對x(0,1，4x2xm0恒成立，即m4x2x

18、恒成立，只需m(4x2x)max，而(4x2x)max6，m6.8 函數(shù)ya1x (a>0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10 (mn>0)上，則的最小值為_答案4解析定點A(1,1)，又A在mxny10上，mn1.(mn)24.當且僅當mn時取等號9 已知實數(shù)x，y滿足若zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則a的值為_答案1解析依題意，在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示要使zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則直線zyax必平行于直線yx10，于是有a1.10(2013·浙江)設zkxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的

19、最大值為12，則實數(shù)k_.答案2解析作出可行域如圖陰影部分所示：由圖可知當0k<時，直線ykxz經(jīng)過點M(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；當k時，直線ykxz經(jīng)過點(0,2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當k<0時，直線ykxz經(jīng)過點M(4,4)時z最大，所以4k412，解得k2，符合題意綜上可知，k2.三、解答題11求解關于x的不等式ax2(a1)x1<0.解(1)當a0時，原不等式變?yōu)閤1<0，此時不等式的解集為x|x>1(2)當a0時，原不等式可化為a(x1)<0.若a<0，則上式即為(x1)>0，又因為<1，所以此時不等式的解集為x|x>1或x<若a>0，則上式即為(x1)<0.當<1，即a>1時，原不等式的解集為；當1，即a1時，原不等式的解集為；當>1，即0<a<1時，原不等式的解集為.綜上所述，當a<0時，原不等式的解集為；當a0時，原不等式的解集為x|x>1；當0<a<1時，原不等式的解集為；當a1時，原不等式的解集為；當a>1時，原不等式的解集為.12某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，現(xiàn)準備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關若建造宿舍的