2022年2021北京市海淀區(qū)高三數(shù)學

1、2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 1 / 13 1 / 132016北京市海淀區(qū)高三（一模）數(shù)學（理） 2016.4 本試卷共 4 頁， 150 分考試時長120 分鐘考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題共 8 小題，每小題5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1函數(shù)( )21xf x的定義域為（）a 0，） b 1，） c （， 0 d（，12某程序的框圖如圖所示，若輸入的zi （其中 i 為虛數(shù)單位） ，則輸出的 s 值為（）a 1 b1 c i di 3若 x，y 滿足20400 xyxy

2、y，則12zxy的最大值為（）a52 b3 c72 d4 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為（）a33 b32 c2 33 d2 635已知數(shù)列na的前 n 項和為 sn，則“na為常數(shù)列”是“*,nnnnsna”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件6在極坐標系中，圓c1 :2cos與圓 c2:2sin相交于 a，b兩點，則 ab （）a1 b 2 c 3 d 2 7已知函數(shù)sin(),0( )cos(),0 xaxf xxbx是偶函數(shù)，則下列結論可能成立的是（）a,44abb2,36abc,36abd52,63ab精品學習資料 可選擇p d f -

3、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 2 / 13 2 / 138某生產(chǎn)基地有五臺機器，現(xiàn)有五項工作待完成，每臺機器完成每項工作后獲得的效益值如表所示若每臺機器只完成一項工作，且完成五項工作后獲得的效益值總和最大，則下列敘述正確的是（）a甲只能承擔第四項工作b乙不能承擔第二項工作c丙可以不承擔第三項工作d丁可以承擔第三項工作

4、二、填空題共6 小題，每小題5 分，共 30 分9已知向量(1, ),( ,9)atbtrr，若a brrp，則 t _ 10在等比數(shù)列na中， a22，且131154aa，則13aa的值為 _11在三個數(shù)1231,2.log 22中，最小的數(shù)是_12已知雙曲線 c：22221xyab的一條漸近線 l 的傾斜角為3，且 c的一個焦點到 l 的距離為3，則 c 的方程為_13如圖，在三角形三條邊上的6個不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1， 2，3 中的一個（）當每條邊上的三個數(shù)字之和為4 時，不同的填法有_種；（）當同一條邊上的三個數(shù)字都不同時，不同的填法有_種14已知函數(shù)( )f x，對于實數(shù) t ，若

5、存在 a0，b 0 ，滿足：,xta tb，使得|( )( ) |f xf t2，則記 ab的最大值為 h（ t ） （）當( )f x2x時， h（0） _（）當( )f x2x且 t1,2時，函數(shù) h（t ）的值域為 _精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 3 / 13 3 / 13三、

6、解答題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程15 （本小題滿分13 分）如圖，在 abc 中，點 d在邊 ab上，且13addb記 acd ， bcd （）求證：sin3sinacbc；（）若,1962ab，求 bc 的長16 （本小題滿分13 分）2004 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機構將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣2015 年12 月10 日，我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了100 株青蒿進行對比試驗現(xiàn)在從

7、山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示：（）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量；（）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為21s，22s，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計21s與22s的大小關系（只需寫出結論） ；（）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1 株，記這 2 株的產(chǎn)量總和為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望編號位置山上5.0 3.8 3.6 3.6 山下3.6 4.4 4.4 3.6 17 （本小題滿分14 分）如圖，在四棱錐pabcd 中， pa 平面 abcd ，四邊形 abcd 為正方形，點m ，n 分別為線段 pb

8、，pc 上的點， mn pb （）求證： bc平面 pab ；（）求證：當點m 不與點 p ，b 重合時， m ， n ，d ， a 四個點在同一個平面內(nèi)；（）當 pa ab 2，二面角 can d的大小為3時，求 pn 的長精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 4 / 13 4 / 131

9、8 （本小題滿分13 分）已知函數(shù) f (x) ln x 1x 1，1( )lnxg xx（）求函數(shù) f (x)的最小值；（）求函數(shù) g(x) 的單調(diào)區(qū)間；（）求證：直線 y x不是曲線 y g(x) 的切線。19 （本小題滿分14 分）已知橢圓 c：22221(0)xyabab的離心率為32，橢圓 c 與y 軸交于 a ， b 兩點，且 ab 2（）求橢圓 c的方程；（）設點 p是橢圓 c上的一個動點，且點p在 y 軸的右側直線pa ，pb 與直線 x 4 分別交于 m ，n兩點若以 mn 為直徑的圓與 x 軸交于兩點 e，f，求點 p 橫坐標的取值范圍及ef的最大值20 （本小題滿分13

10、分）給定正整數(shù) n(n 3)，集合1,2,nun若存在集合 a， b，c，同時滿足下列條件： u n a bc，且 a b bc ac；集合 a 中的元素都為奇數(shù)，集合b 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集合c 中（集合 c 中還可以包含其它數(shù)）；集合 a， b ，c 中各元素之和分別記為sa ，sb ， sc ，有 sa sb sc ；則稱集合 un為可分集合（）已知 u8為可分集合，寫出相應的一組滿足條件的集合a，b，c ；（）證明：若n 是3 的倍數(shù)，則 un不是可分集合；（）若 un 為可分集合且n 為奇數(shù)，求 n 的最小值（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）精品

11、學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 5 / 13 5 / 13dabc數(shù)學試題答案閱卷須知 : 1. 評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù)。2. 其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。一、選擇題（本大題共8 小題 , 每小題 5分 , 共 40 分）題號1 2 3 4

12、5 6 7 8 答案a d c a c b c b 二、填空題（本大題共6 小題 , 每小題 5 分, 有兩空的小題，第一空3 分，第二空2 分，共 30 分）三、解答題 ( 本大題共6 小題 , 共 80 分) 15解： （）在acd中，由正弦定理, 有sinsinacadadc在bcd中，由正弦定理,有sinsinbcbdbdc因為adcbdc, 所以sinsinadcbdc因為13addb, 所以sin3sinacbc（）因為6，2, 由（）得sin3223sin6acbc設2 ,3 ,0ack bck k, 由余弦定理 , 2222cosabacbcac bcacb代入 , 得到222

13、19492 23cos3kkkk, 解得1k, 所以3bc. 16 解: (i)由山下試驗田4 株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)93 10 5 11. 12122213yx 13 4,6 14 2, 62,2)23,4u精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 6 / 13 6 / 133

14、.64.44.43.644x則山下試驗田100株青蒿的青蒿素產(chǎn)量s估算為100400sxg （）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差21s和22s，結果為21s22s. （）依題意，隨機變量可以取7.2 7.4 8 8.28.6 9.4，1(7.2)4p, 1(7.4)8p1(8)4p, 1(8.2)8p1(8.6)8p, 1(9.4)8p隨機變量的分布列為隨機變量的期望111111( )7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888e. 17 解: （）證明：在正方形abcd中，abbc, 因為pa平面abcd，bc平面abcd， 所以pabc. 因為abpaai，且ab，pa平

15、面pab，所以bc平面pab（）證明：因為bc平面pab，pb平面pab, 所以bcpb在pbc中，bcpb，mnpb，所以mnbcp. 在正方形abcd中，adbcp, 所以mnadp，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 7 / 13 7 / 13所以mnad，,可以確定一個平面，記為所

16、以,m n d a四個點在同一個平面內(nèi)（）因為pa平面abcd，,ab ad平面abcd，所以paab,paad.又abad, 如圖，以a為原點，,ab ad ap所在直線為, ,x y z軸建立空間直角坐標系axyz, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)cdbp. 設平面dan的一個法向量為( , )nx y zr，平面can的一個法向量為( , , )ma b cu r, 設pnpcuuu ruuu r, 0,1，因為(2,2,2)pcuuu r，所以(2 ,2,22 )anuuu r，又(0,2,0)aduuu r，所以00an nad nuuu rruu

17、u rr，即22(22 )020 xyzy，取1z, 得到1(,0,1)nr, 因為(0,0,2)apuuu r，(2,2,0)acuuu r所以00ap mac muuu r u ruuu r u r，即20220cab，取1a得, 到(1, 1,0)mu r, 因為二面cand大小為3, 所以1|cos,|cos32m nu r r, 所以211|cos,|2|12()1m nm nm nu r ru r ru ru u r解得12, 所以3pn18 解: （）函數(shù)( )f x的定義域為(0,)，22111( )xfxxxx當x變化時，( )fx，( )f x的變化情況如下表：zyxnmd

18、cbap精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 8 / 13 8 / 13函數(shù)( )f x在( ,)0上的極小值為1( )ln1101f a，所以( )f x的最小值為0（）解：函數(shù)( )g x的定義域為(0,1)(1,)u，22211ln(1)ln1( )( )lnlnlnxxxf xxxg

19、 xxxx由（）得，( )0f x，所以( )0gx所以( )g x的單調(diào)增區(qū)間是(0,1),(1,)，無單調(diào)減區(qū)間. （）證明：假設直線yx是曲線( )g x的切線 . 設切點為00(,)xy，則0()1g x，即00201ln11lnxxx又000001,lnxyyxx，則0001lnxxx. 所以000011ln1xxxx, 得0()0gx，與0()1g x矛盾所以假設不成立，直線yx不是曲線( )g x的切線19 解： （）由題意可得，1b，32cea，得22134aa，解24a，橢圓c的標準方程為2214xy. （）設000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，精品

20、學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 9 / 13 9 / 13所以001paykx，直線pa的方程為0011yyxx，同理：直線pb的方程為0011yyxx，直線pa與直線4x的交點為004(1)(4,1)ymx，直線pb與直線4x的交點為004(1)(4,1)ynx，線段mn的中點004(4

21、,)yx，所以圓的方程為22200044(4)()(1)yxyxx，令0y，則222002016(4)(1)4yxxx，因為220014xy，所以2020114yx，所以208(4)50 xx，因為這個圓與x軸相交 , 該方程有兩個不同的實數(shù)解，所以0850 x，解得08(,25x. 設交點坐標12(,0),(,0)xx，則1208| 2 5xxx（0825x）所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2. 方法二：（）設000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，所以001paykx，直線pa的方程為0011yyxx，同理：直線pb的方程為0011yyxx，直線pa與直線4x的交點

22、為004(1)(4,1)ymx，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 10 / 13 10 / 13直線pb與直線4x的交點為004(1)(4,1)ynx，若以 mn為直徑的圓與x 軸相交，則004(1)1yx004(1)10yx，即2000200016(1)4(1)4(1)10,yyyxx

23、x即2020016(1)810.yxx因為220014xy，所以2020114yx, 代入得到0850 x，解得08(,25x. 該圓的直徑為000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|yyxxx，圓心到 x 軸的距離為0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=|2yyyxxx，該圓在 x 軸上截得的弦長為22000044882 (1)()2 5,(2)5yxxxx；所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2. 方法三：（）設000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，所以001paykx，直線pa的方程為0011yyxx，同理：直線pb的方程為0011yyxx，直線

24、pa與直線4x的交點為004(1)(4,1)ymx，直線pb與直線4x的交點為004(1)(4,1)ynx，所以000004(1)4(1)8|=|+1(1)|=|2|yymnxxx，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 11 / 13 11 / 13圓心到 x 軸的距離為0000004(

25、1)4(1)41|+1+(1)|=|2yyyxxx，若該圓與x軸相交，則04|1|x004|yx，即2200044(1)()0yxx，因為220014xy，所以2020114yx,所以0850 x，解得08(,25x該圓在 x 軸上截得的弦長為22000044882 (1)()2 52 5=22yxxx；所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2. 方法四：記(2 0)d， , (4 0)h，設00(,) (4,) (4, )p xymmnn由已知可得(0,1) (0,1)ab，所以ap的直線方程為0011yyxx，bp的直線方程為0011yyxx，令4x，分別可得004(1)1ymx，004(1)

26、1ynx，所以004(1)(4,1),ymx004(1)(41)ynx，若以mn為直徑的圓與x軸相交于,e f，因為ehmn， 所以2ehhnhm，200004(1)4(1)(1) (1)yyehhnhmxx220002016168()yxxx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 12

27、/ 13 12 / 13因為220014xy，所以2020114yx, 代入得到2eh20020850 xxx所以08(,25x，所以08822 52 522efehx所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2. 方法五：設直線op與4x交于點t因為/mny軸，所以有,apaoopbpbooppntnptpmtmpt所以aobotntm，所以tntm，所以t是mn的中點 . 又設000(,)(02)p xyx, 所以直線op方程為00yyxx, 令4x, 得004yyx, 所以004(4)ytx，而041rtnx若以mn為直徑的圓與x軸相交于,e f則00044|1ydrxx所以220016(4)y

28、x因為220014xy，所以2020114yx, 代入得到所以200580 xx，所以085x或00 x因為點002x，所以0825x而22220004422 (1)()yefrdxx0882 52 522x所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2. 20 解：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 13 頁 - - - - - - - - -2016 北京市海淀區(qū)高三(一模 )數(shù)學 (理) 13 / 13 13 / 13（i ）依