論文極限概念的是與非

1、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）設(shè)計(jì)(論文)題目極限概念的是與非姓 名：曹洋學(xué) 號(hào)：201000820001學(xué) 院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)2010級(jí)指導(dǎo)教師：董瑩 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開(kāi)題報(bào)告論文題目：極限概念的是與非姓 名：曹洋學(xué) 號(hào)：201000820001學(xué) 院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)：2010級(jí)指導(dǎo)教師：董瑩山東大學(xué)（威海）畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開(kāi)題報(bào)告書(shū)一、 課題來(lái)源極限是一個(gè)非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，在對(duì)學(xué)習(xí)、研究高等數(shù)學(xué)有奠基作用的數(shù)學(xué)分析這門課程里，幾乎所有的基本概念，包括函數(shù)連續(xù)的概念，微分積分的定義，級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分

2、與曲面積分的概念，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出。可以概括的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析的本質(zhì)就是用極限的思想來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限的思想揭示了變量和常量，無(wú)限與有限之間對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，極限的思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)不可缺少的一種重要思想方法。因此，弄清楚極限學(xué)中的基本概念和思想，學(xué)會(huì)判定極限學(xué)中的種種問(wèn)題，是至關(guān)重要的。二、 本課題的基本內(nèi)容1. 序列極限和函數(shù)極限的嚴(yán)格定義，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述A不是f(x)的極限的嚴(yán)格定義。應(yīng)用定義舉例證明Lim f(x)等于A,Lim f(x)不等于B.2. 序列收斂和函數(shù)收斂的嚴(yán)格定義，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述序列和函數(shù)不收斂的嚴(yán)

3、格定義。應(yīng)用定義舉例證明序列與函數(shù)是否收斂。3. 一致收斂的嚴(yán)格定義，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述非一致連續(xù)的嚴(yán)格定義。應(yīng)用定義舉例判斷是否是一致連續(xù)。三、本課題的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)此論題的重點(diǎn)是弄清楚極限學(xué)中的極限、收斂、一致連續(xù)以及極限不存在、不收斂、非一致連續(xù)等基本概念的嚴(yán)格定義，并學(xué)會(huì)判斷。難點(diǎn)1. 極限是一個(gè)抽象概念，因此對(duì)于理解極限學(xué)中的種種定義有一定難度，2. 闡述極限不存在，序列、函數(shù)不收斂，非一致收斂等定義的時(shí)候，容易疏忽導(dǎo)致闡述錯(cuò)誤，進(jìn)而引起對(duì)概念的混淆。3. 對(duì)于極限學(xué)中的問(wèn)題進(jìn)行判定時(shí)（如極限是否存在等），容易出現(xiàn)疏忽導(dǎo)致錯(cuò)誤，三、 論文提綱i. 序列極限1.序列極限的定義與反向定義（

4、即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述A不是序列的極限）。2.序列上下極限的定義3.序列收斂的定義與序列不收斂的定義。4.利用定義判斷給定序列極限是否存在。 二函數(shù)極限 1.函數(shù)極限（自變量趨于有限值以及趨于無(wú)窮時(shí)）的定義與反向定義（即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述A不是函數(shù)的極限）。 2.函數(shù)左右極限的定義3.利用定義判斷給定函數(shù)極限是否存在。 4.函數(shù)一致收斂的定義與函數(shù)非一致收斂的定義。 5.利用定義判斷給定函數(shù)是否一致收斂。三總結(jié)一些常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。四、 進(jìn)度安排1寒假期間，復(fù)習(xí)相關(guān)課程，對(duì)極限概念有最基本的認(rèn)識(shí)。2開(kāi)學(xué)4周內(nèi)，進(jìn)一步收集相關(guān)知識(shí)，理清思路，提交開(kāi)題報(bào)告，并提交指導(dǎo)老師評(píng)閱，34周后，根據(jù)開(kāi)題報(bào)告撰寫(xiě)論文初稿

5、，上交指導(dǎo)老師批閱，根據(jù)指導(dǎo)老師修改意見(jiàn)，完善論文論文，并請(qǐng)指導(dǎo)老師進(jìn)一步批閱，4進(jìn)一步修改論文，完成定稿，5準(zhǔn)備論文答辯指導(dǎo)教師意見(jiàn)：（請(qǐng)手寫(xiě)意見(jiàn)和簽名）（對(duì)本課題的深度、廣度及工作量的意見(jiàn)）指導(dǎo)教師：（簽字）年 月 日教研室審查意見(jiàn)：（請(qǐng)手寫(xiě)意見(jiàn)和簽名） 教研室負(fù)責(zé)人：（簽字） 年 月 日畢 業(yè) 論 文 開(kāi) 題 報(bào) 告.畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū)學(xué) 生 姓 名曹洋學(xué)號(hào)201000820001指導(dǎo)教師董瑩設(shè)計(jì)（論文）題目極限概念的是與非主要 研究 內(nèi)容從正反兩面來(lái)理解分析極限、一致連續(xù)、一致收斂等基本概念，給出新的命題，分析相關(guān)命題的應(yīng)用以及判別方法。研 究 方 法通過(guò)研究數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

6、、函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)序列的一致收斂性等概念，給出其正反敘述，分析其應(yīng)用及判別方法，能夠從正反兩面來(lái)更加深刻理解這些概念 內(nèi)涵。并且舉例說(shuō)明。主要技術(shù)指標(biāo)(或研究目標(biāo))撰寫(xiě)一篇一萬(wàn)字左右的論文主要 參考 文獻(xiàn)1，微積分學(xué)教程；2，數(shù)學(xué)分析注：1、本表由指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生的開(kāi)題報(bào)告填寫(xiě)，下發(fā)給學(xué)生，并定期檢查學(xué)生進(jìn)度。本表可用微機(jī)打?。?、由理工科指導(dǎo)教師填寫(xiě)。目 錄摘要.2一、數(shù)列極限.5（一）數(shù)列極限的定義.5（二）利用定義判斷給定數(shù)列是否收斂.5二、函數(shù)極限.6（一）函數(shù)極限的定義.6（二）利用定義判斷給定函數(shù)極限是否存在.8三、連續(xù)函數(shù).9（一）函數(shù)連續(xù)的定義與不連續(xù)

7、點(diǎn)類型.9（二）函數(shù)一致連續(xù)的定義與函數(shù)非一致的定義.11（三）利用定義判斷給定函數(shù)的連續(xù)性。.11參考文獻(xiàn).13注釋.14謝辭.23摘 要極限是一個(gè)非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，在對(duì)學(xué)習(xí)、研究高等數(shù)學(xué)有奠基作用的數(shù)學(xué)分析這門課程里，幾乎所有的基本概念，包括函數(shù)連續(xù)的概念，微分積分的定義，級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出。可以概括的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析的本質(zhì)就是用極限的思想來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。因此，弄清楚極限學(xué)中的基本概念和思想，學(xué)會(huì)判定極限學(xué)中的種種問(wèn)題，是至關(guān)重要的。本論文先闡述了數(shù)列極限的

8、嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。之后又按照自變量的趨近情況分別對(duì)函數(shù)極限進(jìn)行嚴(yán)格定義，最后也給出了函數(shù)連續(xù)性以及一致連續(xù)性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。為了能夠加深理解，本文還做了反向定義的描述，即用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言定義非極限、非一致連續(xù)概念等等。同時(shí)，本文也會(huì)通過(guò)舉例來(lái)進(jìn)行更深一步的說(shuō)明。關(guān) 鍵 詞：極限，函數(shù)極限，一致連續(xù)，定義Abstract The limit is the mathematical concept of a very basic, in the foundation for learning, research on higher mathematics analysis this course, alm

9、ost all basic concepts, including the concept of continuous function, the definition of differential and integral, partial derivative of the convergence of series, multi - function, the convergence of generalized integral concept, double integral and curve integral and surface integral method, is fi

10、rst introduced the function theory and the limit, then the thought method of limit is given. Can generally speaking, a discipline essence of mathematical analysis is used to study the idea of function limit. Therefore, clear limit basic concept and idea of study, learn to judge the limit problems of

11、 science, is of crucial importance.本論文先闡述了序列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。之后又按照自變量的趨近情況分別對(duì)函數(shù)極限進(jìn)行嚴(yán)格定義，最后也給出了函數(shù)連續(xù)性以及一致連續(xù)性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。為了能夠加深理解，本文還做了反向定義的描述，即用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言定義非極限、非一致連續(xù)等等。同時(shí)，本文也會(huì)通過(guò)舉例來(lái)進(jìn)行更深一步的說(shuō)明。This paper first describes the rigorous mathematical definition of limit of a sequence. After reaching the situation according t

12、o variables are defined respectively on the limit of function, the function of continuity and uniform continuity of the strict mathematical definition is given. In order to deepen understanding, this paper also did the reverse description of the definition, namely language well-defined non limit, no

13、n uniformly continuous. At the same time, the paper also cites examples to further illustrateKey words：Limit, limit of function, uniformly continuous, definition一、數(shù)列極限(一) 數(shù)列極限定義1. =：設(shè)是一給定數(shù)列，如果對(duì)>0，正整數(shù)N, 時(shí)，成立，則稱數(shù)列收斂于 (或稱是數(shù)列的極限)，記為=,有時(shí)也記為。2. ：設(shè)是一給定數(shù)列，如果>0，對(duì)正整數(shù)N,，成立,則數(shù)列不收斂于，即不是數(shù)列的極限。3.柯西原理： （1）存在：

14、設(shè)是一給定數(shù)列，對(duì)>0，正整數(shù)N。 n,m>N時(shí)成立（2）不存在設(shè)是一給定數(shù)列，若>0，正整數(shù)N， 使得（二）利用定義判斷給定數(shù)列是否收斂例 用定義證明數(shù)列是無(wú)窮小量。證明：對(duì)>0，由=<知，欲使<，只須<即可。取N=,則當(dāng)>N時(shí)，有<。從而知是無(wú)窮小量。 證畢例 用定義證明不是數(shù)列的極限證明：，取=，,當(dāng)時(shí)有>。從而知不是數(shù)列的極限。證畢例證明數(shù)列極限不存在證明：每一個(gè)正整數(shù)N，取定后總存在正整數(shù)。設(shè)，則，>1，取=1，則正整數(shù)N， 使得因此不存在。證畢二、函數(shù)極限（一）函數(shù)極限定義1.設(shè)為定義在上的函數(shù)，如果對(duì)，正數(shù)， ，成

15、立,則稱A是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。記作或.2. 設(shè)為定義在上的函數(shù)， 如果，正數(shù)，成立，則不是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限3.時(shí)以及時(shí)的定義與時(shí)類似，在此不做累牘。（注釋1）4. ：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)0，當(dāng)時(shí)，成立，則稱A是函數(shù)在點(diǎn)的極限，記作或（.5. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，如果某， 滿足，成立，則不是函數(shù)在點(diǎn)的極限。6. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，如果對(duì)，當(dāng)時(shí)，成立,則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的右極限，記作或7. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，如果某，滿足，成立，則不是函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的右極限。8.類似可給出左極限和的定義。（二）利用定義判斷給定函數(shù)極限是否存在 例4.用定義證明。證明：由，當(dāng)時(shí)，故取對(duì)，

16、當(dāng)時(shí)，有 。由定義知：證畢例6.證明Heine定理。的充分必要條件是：對(duì)于任意滿足條件，且 的數(shù)列，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列成立證明：必要性：由可知，：。因?yàn)?，?，對(duì)于上述， ，。于是當(dāng)成立，即。充分性：用反證法。取一列， 。對(duì)，存在，使；對(duì)，存在，使； .一般的，對(duì)，存在，使。于是得到數(shù)列，滿足，但相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 不可能以A為極限。證畢三、連續(xù)函數(shù)（一）函數(shù)連續(xù)的定義與不連續(xù)點(diǎn)類型1. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域中有定義，并且成立，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，而稱是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。2.函數(shù)在區(qū)間的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù).3.若，則稱函數(shù)在左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在右連續(xù).可表述為： ；可表述為：.4

17、若在連續(xù)，且在左端點(diǎn)右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).5.不連續(xù)點(diǎn)類型（1）第一類不連續(xù)點(diǎn)：函數(shù)在點(diǎn)的左右極限都存在但不相等，即.（2）第二類不連續(xù)點(diǎn)：函數(shù)在點(diǎn)的左右極限中至少有一個(gè)不存在.（3）第三類不連續(xù)點(diǎn)：函數(shù)在點(diǎn)的左右極限都存在而且相等，但不等于或者在點(diǎn)無(wú)定義。（二）函數(shù)一致連續(xù)的定義與函數(shù)非一致的定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上定義，如果對(duì)>0， 滿足，成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。2. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間X上定義，若，對(duì)， ，滿足，成立，則稱在區(qū)間上非一致連續(xù)。（三）利用定義判斷給定函數(shù)的連續(xù)性。例7證明Riemann.函數(shù)R（x）（注釋2）在任意點(diǎn)的極限存在且極限值為0

18、.換言之，一切無(wú)理點(diǎn)都是R（x）的連續(xù)點(diǎn)，一切有理點(diǎn)是R（x）的第三類不連續(xù)點(diǎn)。證明：R（x）是以1為周期的周期函數(shù)，故只需討論區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)。設(shè)任意一點(diǎn)，對(duì)任意給定的>0，設(shè)，因?yàn)樵谏戏置鞑怀^(guò)k有理點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，設(shè)它們?yōu)?。令，顯然>0。當(dāng)且時(shí)，若是無(wú)理數(shù)，則；若x是有理數(shù)，其分母必大于，于是，因此成立此即說(shuō)明R（x）在的極限為0（=0時(shí)是指右極限，=1是指左極限）。據(jù)R(x)的周期性，對(duì)一切成立例8證明在（0，1）上非一致連續(xù)。證明：對(duì)任意給定的，可以精確接出來(lái)說(shuō)明不存在適用于整個(gè)區(qū)間（0，1）的>0.對(duì)任意的，關(guān)系式即為等價(jià)于，即，由此得到。顯然，這就是。 但是當(dāng)時(shí)，有，換言之不存在對(duì)區(qū)間（0，1）中一切點(diǎn)都適用的>0，因此在（0，1）上非一致連續(xù)。證畢參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)分析（第二版 上冊(cè)） 陳紀(jì)修 於崇華 金路 高等教育出版社查看更多關(guān)于“數(shù)學(xué)分析崇華 大學(xué)”的內(nèi)容 >>吉米多