材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練 (含答案)類型1代數(shù)型新定義問題例1【2017 重慶A】對任意一個三位數(shù) n如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”.將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與 111的商記為F(n).例如n = 123,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為 213+ 321 + 132 = 666, 666+ 111= 6,所以,F(123) = 6.(1) 計算：F(243) , F(617); 若 s, t 都是

2、“相異數(shù)”， 其中 s= 100x + 32, t = 150+y(1 <x<9, 1< y< 9,F( s)x, y都是正整數(shù))，規(guī)定：k = (首.當F(s) + F(t) = 18時，求k的最大值.針對訓練1. 對于一個兩位正整數(shù) xy(0 <y<x< 9,且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的 數(shù)與個位上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對數(shù)62來說，62 + 22 = 40, 62- 22 = 32, 所以40和32就分別是62的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1) 75的“平方和數(shù)”是

3、, 5可以是的“平方差數(shù)”；若一個數(shù)的“平方和數(shù)”為10,它的“平方差數(shù)”為 8,則這個數(shù)是 .(2) 求證：當x< 9, y<8時，t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去 99所得結(jié) 果也是另一個數(shù)的“平方差數(shù)”.(3) 將數(shù)t的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換得到數(shù)t 若t與t的“平方和數(shù)” 之和等于t'與t'的“平方差數(shù)”之和，求 t.2. 將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù) abc(a vc),在所有重新排列中，當| a+ c 2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào) 和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定 F(n) = b2 ac.例如215可以重新排列為

4、125、152、215, 因為 | 1+ 5 2X2 | = 2，| 1+ 2 2X5 | = 7，| 2+ 5 2X1 | = 5,且 2v 5v 7， 所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215) = 22 1X 5= 1.(1) F(236) =；(2) 如果在正整數(shù) n 三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求 證： F(n) 是一個完全平方數(shù)；設三位自然數(shù)t = 100x + 60 + y(1 <x<9，1<y<9, x，y為自然數(shù))，交換 其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t .若t 1'= 693,那么我們稱t為“和順數(shù)”.求所有“

5、和順數(shù)”中 F(t) 的最大值.3. 進制也就是進位制，是人們規(guī)定的一種進位方法.對于任何一種進制X進制，就表示某一位置上的數(shù)運算時是逢 X 進一位.十進制是逢十進一，十六 進制是逢十六進一，二進制就是逢二進一，以此類推，X進制就是逢X進一.為與十進制進行區(qū)分，我們常把用X進制表示的數(shù)a寫成x.類比于十進制，我們可以知道：X進制表示的數(shù)(1111) x中，右起第一位上的 1表示1 x X0,第二位上的1表示1 x X1,第三位上的1表示1 X 乂，第四位上的1 表示 1X 乂.故(1111) X= 1X 乂 + 1X * + 1X X1 + 1X X0,即：(1111) X轉(zhuǎn)化為十進制 表示的

6、數(shù)為 乂 + X2 + X + X 如：(1 1 1 1) 2 = 1 X 2 3 + 1 X 2 2 + 1 X 21 + 1 X 2 0 = 15, (1 1 1 1) 5= 1 X 5 3 + 1 X 5 2+ 1 X 51 + 1 X 50 = 156.根據(jù)材料，完成以下問題： (1) 把下列進制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制表示的數(shù)：(101011)2 =; (302) 4 =; (257) 7= 若一個五進制三 位數(shù)(a4b) 5與八進制三位數(shù)(ba4) 8之和能被13整除 (1 <a<5, 1< b< 5,且a、b均為整數(shù))，求a的值；(3) 若一個六進制數(shù)與一個八

7、進制數(shù)之和為666,則稱這兩個數(shù)互為“如意數(shù)”，試判斷(mm1)s與(nn5) 8是否互為“如意數(shù)”？若是，求出這兩個數(shù)；若不是，說 明理由.4. 我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n = px q(p，q是正整數(shù)，且p<q)，在n的所有這種分解中，如果 p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小， 我們就稱pXq是n的最佳分解.并規(guī)定：F(n) = p.例如12可以分解成1 x 12, 2X 6或3X4,因為12 1>6-2>4-3,所以3X4是12的最佳分解，所以F(12) _ 3=4.(1)如果一個正整數(shù) m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù) m是完全平方 數(shù).求證

8、：對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m) _ 1. 如果一個兩位正整數(shù) t , t _ 10x+y(1 <x<y<9, x, y為自然數(shù))，交換其 個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”； 在 所得的“吉祥數(shù)”中，求 F(t)的最大值.類型2函數(shù)型新定義問題例2已知一個大于1的正整數(shù)t可以分解成t _ac + b2的形式(其中a<c,a,b, c均為正整數(shù))，在t的所有表示結(jié)果中，當bc- ba取得最小值時，稱“ac+ b2”b+ c是t的“等比中項分解”，此時規(guī)定： P(t) = 2(a +

9、b)，例如：7= 1X6+ 12 =2X 3+ 12= 1X 3+ 22, 1 X 6- 1X 1>2X 3-2X 1> 1X 3- 1X 2,所以 2X 3+ 12 是7的“等比中項分解”，P(7) = |(1) 若一個正整數(shù)q= vm + n2,其中m n為正整數(shù)，則稱q為“偽完全平方數(shù)”，1證明：對任意一個“偽完全平方數(shù)” q 都有P (q) = 若一個兩位數(shù)s= 10x + y( 1<y<x< 5，且x，y均為自然數(shù))，交換原數(shù)十位 上的數(shù)字和個位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩倍再加上原數(shù)的14倍，結(jié)果被8除余4，稱這樣的數(shù)s為“幸福數(shù)”，求所有“幸福數(shù)”的 P(

10、s)的最大值.針對訓練1. 如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+ bx + c = 0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為 另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法： 方程X2 X 2= 0是倍根方程； 若(x 2)(mx + n) = 0 是倍根方程，則 4+ 5mn n2= 0; 若點(p，q)在反比例函數(shù)y = 2的圖象上，則關(guān)于x的方程px2 + 3x+ q= 0是x倍根方程.其中正確的是.(寫出所有正確說法的序號)2. 先閱讀下列材料，再解答下列問題：2材料：因式分解：(x + y) + 2(x + y) + 1.解：將“ x + y”看成整體，令 x + y= A,

11、則原式=A2+ 2A+ 1 = (A + 1)2.再將“A”還原，得原式=(x + y+ 1)2.上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方 法，請你解答下列問題：2(1)因式分解：1 + 2(x y) + (x y) =; 因式分解：(a + b)(a + b 4) + 4=;證明：若n為正整數(shù)，則式子(n + 1)(n + 2)(n2 + 3n) + 1的值一定是某一個 整數(shù)的平方.3. 若三個非零實數(shù)x, y, z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒 數(shù)的和，則稱這三個實數(shù) x, y, z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.(1) 實數(shù)1, 2，3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”

12、嗎？請說明理由；k(2) 若 M(t, yO , N(t + 1, y2), R(t + 3, y» 三點均在函數(shù) y =(k 為常數(shù)，k 工x0)的圖象上，且這三點的縱坐標 y, y2, y3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實數(shù)t的值；2 若直線y = 2bx+2c(bc工0)與x軸交于點 A(X1, 0)，與拋物線 y= ax + 3bx + 3c(a 工 0)交于 B(X2, y2), C(X3, y3)兩點. 求證：A, B, C三點的橫坐標X1, X2, X3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；一c b 若a>2b>3c, X2 = 1,求點P(-, -)與原點O的距離OP的取值范圍.a

13、 a4. 若一個整數(shù)能表示成a2 + b2(a ,b是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例 如，5 是“完美數(shù)”，因為 5= 22 + 12.再如，x2 + 2xy + 2y2= (x + y)2+ y2(x , y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”.(1)請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”. 已知S= x2+4y2+ 4x 12y + k(x ,y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由.如果數(shù)m n都是“完美數(shù)”，試說明 mn也是“完美數(shù)”.5. 若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應點稱為“3 倍點” P,取任意 的一個“

14、3倍點” P,到點P距離為1的點所對應的數(shù)分別記為 a，b.定義：若 數(shù)K= a2 + b2 ab,則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若 P所表示的數(shù)為3,貝U a =2, b= 4,那么 K= 22 + 42 2X4= 12;若 P所表示的數(shù)為 12,貝U a= 11, b= 13,那么 K= 132+ 112 13X 11= 147,所以 12, 147 是“尼爾數(shù)”.(1) 請直接判斷 6 和 39是不是“尼爾數(shù)” ,并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被 9 除余 3；(2) 已知兩個“尼爾數(shù)”的差是 189,求這兩個“尼爾數(shù)”.類型 3 整除問題例3我們知道，任意一個大于1的正整數(shù)n都可以進行這樣的

15、分解：n = p+ q(p、 q是正整數(shù)，且p< q)，在n的所有這種分解中，如果 p、q兩數(shù)的乘積最大， 我們就稱 pq 是 n 的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時： F(n) =pq. 例如 6 可以 分解成1+ 5或2 + 4或3+ 3,因為1X 5<2X 4<3X 3,所以3+ 3是6的最佳分 解,所以 F(6) = 3X 3= 9.(1) 求 F(11) 的值；(2) 一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被 1整除，它的 前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被3除余2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到 前N位數(shù)被N除余(N 1)，我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)”.如： 2

16、36的第一位數(shù)“2”能被 1 整除,前兩位數(shù)“ 23”被 2 除余 1,“236”被 3除余 2,則 236是 一個“多余數(shù)”. 若把一個小于 200的三位“多余數(shù)”記為 t ,它的各位數(shù)字之 和再加 1 為一個完全平方數(shù),請求出所有“多余數(shù)”中 F(t) 的最大值.針對訓練1. 一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)可以被 1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被 3整除，一直到前 N位數(shù)可以 被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”.如：123的第一位數(shù)“ 1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“ 123”可以被3整除，則123是一個“精 巧數(shù)”.(1) 若四位數(shù)1

17、23k是一個“精巧數(shù)”，求 k的值；(2) 若一個三位“精巧數(shù)” 2ab各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿 足條件的三位“精巧數(shù)”.2. 人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系.若兩個不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個數(shù) 為“親和數(shù)”.例如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18，它的真因數(shù)之和為1+ 2+ 3+ 6 + 9 = 21 ; 51的正因數(shù)有1、3、17、51，它的真因數(shù)之和為 1 + 3+ 17 =21,所以稱18和51為“親和數(shù)”.數(shù)還可以與動物形象地聯(lián)系起來，我們 稱一個兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”.

18、例如：121、1351等.(1) 8的真因數(shù)之和為 ;求證：一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差，能被7整除；(2) 一個百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被 16的“親和數(shù)”整除，若這個五位“兩頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”.2x x + 33. 材料1:將分式一x + 1 拆分成一個整式與一個分式(分子為整數(shù))的和的形式.解:2x -x + 3 _ x (x+ 1) 2 (x+ 1)+ 5 _ x (x + 1)這樣，分式2x x + 3x+ 1就拆分成一個整式x 2與一個分式 冊的和的形式.x+ 1x+ 1x + 1材料2:已知

19、一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數(shù)100x + 10y+ x,且 1<x<4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.解:2x y9x+ y+ 101x+ 10y99x+ 11y + 2x y11 _ 112x y又 v 1<x<4, 0< y< 9,A 7<2xy<8,還要使為整數(shù), 二 2x y_ 0.2x2+ 6x 一 3(1)將分式拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)x I果為已知整數(shù)x使分式2x2+ 5x 20x 3的值為整數(shù),則滿足條件的整數(shù)x_(3) 已知一個六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x, y的值.4. 在

20、任意n(n>1且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做 K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”.若K的“順數(shù)” 與“逆數(shù)”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數(shù)”.比如 1324的“順數(shù)”為16324, 1324的“逆數(shù)”為13264, 1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為 1632413264= 3060, 3060- 17= 180,所以 1324 是“最佳拍檔數(shù)”.請根據(jù)以上方法判斷31568(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數(shù)”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)” N,其個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為 8,且 百位數(shù)字不小于十位數(shù)字，求所有符合條件的 N的值；證

21、明：任意三位或三位以上的正整數(shù)K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差一定能被30整除.a5. 若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n,使得b = n，即a = bn.例如:若整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù) n,使得a= 7n.(1) 將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)減去個位數(shù)的兩倍，若所得之差能被 7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除例如：將數(shù)字1078分解為8和107, 107 8X 2= 91,因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數(shù)都滿足上述規(guī)律.(2) 若將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)加上個位數(shù)的k(k為正整數(shù)，1

22、< k< 5)倍，所得之和能被13整除，求當k為何值時使得 原多位自然數(shù)一定能被13整除.參考答案例 1.解：(1) F(243) = (423 + 342 + 234) - 111= 9,F(617) = (167 + 716 + 671) - 111= 14. s, t都是“相異數(shù)”， F(s) = (302 + 10x + 230+ x+ 100x+ 23) +111= x + 5,F(t) = (510 + y + 100y+ 51 + 105+ 10y)寧 111= y+ 6,F(s) + F(t) = 18,.°. x + 5 + y + 6 = x + y

23、+ 11 = 18, x+ y = 7,°.° 1 冬x冬 9, 1<y< 9, x, y都是正整數(shù),x = 1, x= 2,x= 3,x = 4,x = 5,c 或或或 c 或 cy = 6 y = 5y= 4 y = 3y = 2x= 6,或 1y=1.(2)v s是“相異數(shù)”， x豐2, x豐3,v t是“相異數(shù)”，x= 1,亠 x= 4,x = 5, y世1, y世5,二或或y = 6y= 3y = 2.F( s) = 6,F( s) = 9,F(s) =10,或或 /、F(t) = 12F(t) = 9F(t) = 8.k=妙=1或 k=妙=i 或 k

24、=血=5k F(t)2或 k F(t)1 或 k F(t) 4,.k的最大值為4.針對訓練1 解：(1) 74; 32; 31(2)證明：令 t = 10x + y,2 22(10x + y) (x y ) 992 2 2 2 2 2=20x + 2y x + y 99 = (y + 2y + 1) (x 20x+ 100) = (y+ 1) (x 10), .t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去 99所得結(jié)果是另一個數(shù)的“平方差” 數(shù).令 t = xy, t ' =yx,由題意知：10x + y + x2 + y2 = 10y+ x+ y2 x2,所以 9x 9y+ 2x2 = 0,

25、9(x y) + 2x2 = 0,2/x y>0, 2x >0,. x = y = 0.故 t = 0.2. 解：(1) F(236) = 3(2)證明：設這個正整數(shù) n三個數(shù)位上的數(shù)字分別為：x+ yx,y.F( n) = b2 ac=|a+ c 2b|最小時，我們稱 abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”2xy =x2+ y2 xy4 2.F(n)為一個完全平方數(shù)； t = 100x+ 60+ y, t = 100y+ 60+ x,/1 1 = 99x 99y = 693,. 99(x y) = 693, x y = 7, x = y+ 7,.1 < x< 9, 1 <y

26、< 9,. 1 < y + 7<9,. 1 <y<2,y = 1, y = 2,.或.t = 861 或 t = 962,x = 8 x = 9,當t = 861時，可以重新排列為 168, 186, 618.|1 + 8 2X6| = 3,|1 + 6 2X8| = 9,|6 + 8 2X 1| = 12, . 168 為 861 的“調(diào) 和優(yōu)選數(shù)”， F(861) = 6X 6- 1X 8= 28 ;當 t = 962 時，可以重新排列為 269, 296, 629, .|2 + 9-2X 6| = 1, |2 + 6-2X 9| = 10, |6 + 9-2

27、X 2| = 11,二 269 為 962 的 “調(diào)和優(yōu)選數(shù)”， F(962) = 6X 6-2X 9= 18.所有“和順數(shù)”中 F(t)的最大值為28.3. 解：(1)43 ； 50 ； 1401 2 2(2) b+ 4X5 + aX5 + 4+ aX8+ bX8 = 33a + 65b+ 24= 13(2a+ 5b+ 1) + 7a + 11, 13 整除 7a + 11,15而 1< a<5, 1< b<5,二 18冬 7a +11<46,二 7a+ 11 = 26 或 39.解得 a=(舍 去)或 4,二 a = 4.(3) ( mm) 6 + ( nn5

28、) 8=1 + 6耐 36仃卄 5+ 8n+64n=6 + 42m 72n.若互為“如意數(shù)”，則 6 + 42耐72n= 666, 7m 12n= 110,此時m必為偶數(shù)，經(jīng)檢驗，當 2, n = 8 時，7m 12n= 110,這兩個數(shù)為 85和581.4. (1)證明：對任意一個完全平方數(shù)m,設n= a2(a為正整數(shù))，|a a| = 0,二aX a是m的最佳分解，a對任意一個完全平方數(shù) m總有F(m =- = 1.a(2)設交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t '，則t '= 10y + x, t是“吉祥數(shù)”， t 一 t = (10y+ x) (10x + y)

29、 = 9(y x) = 36, y = x+ 4,v 1< x<y<9, x, y 為自然數(shù)，滿足“吉祥數(shù)”的有15, 26, 37, 48, 59.32163 F(15) = 5 , F(26)=亦，F(xiàn)(37) = 37，F(xiàn)(48)=孑=；,F(59)=13 3 211359. 3>5>i3>37>59，所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是4.例2解：(1)證明：I a<c, a, b, c為正整數(shù), bc- ba= b(c a) > 0.又 q= m+ n2= m- m n2, 令 n= b, m= a= c, 則此時bc ba最小為0

30、, 故m- m n2是q的“等比中項分解”，n + m 1 二 P(q)= 2 (m n) = 2. 由題意，得 2(10 y + x) + 14(10x+ y) = 8k+ 4( k 為整數(shù)), 即：142x + 34y = 8k + 4.二 8(18x+ 4y) + 2y 2x 4= 8k, 2(y x 2)是8的倍數(shù)， y x 2是4的倍數(shù).又v 1< y<x<5且x, y均為自然數(shù)， 6< y x 2< 2,A y x 2= 4,x = y + 2， s= 31, 42, 53.vbc ba= b(c a)，且 a, b, c 為正整數(shù)，a<c,當b

31、越小，c a的差越小，b(c a)越小.當 s= 31 時，31= 5X6+ 12，貝9 P(31) = 2x I；'" = £；當 s = 42 時，42 =2X 3+ 62,貝 9 P(42) =6； 3八=£2X( 6+ 2)16'當 s = 53 時，53= 7X7+ 22或 53 = 2X2+ 72,小19 7 19則 P(53) = . v > 石二， P( s) max=.2 16 12 216針對訓練1.2. 解：(1)1 + 2(x y) + (x y)2 = (x y + 1)2;令 A= a； b,則原式變?yōu)?A(A-

32、4) + 4= A 4A； 4 = (A 2)2,2故(a； b)( a； b 4) + 4 = (a； b 2);2證明：(n； 1)( n；2)( n ； 3n) ； 1 =(n2； 3n)( n； 1)( n； 2) ； 1=(n ；3n)( n ；3n；2) ； 12 2 2=(n ；3n) ；2(n ；3n) ； 1 =(n2 ； 3n； 1)2, vn為正整數(shù)， n2； 3n； 1也為正整數(shù)， 代數(shù)式(n； 1)( n； 2)( n2； 3n) ； 1的值一定是某一個整數(shù)的平方.1 1 1 13. 解：(1) v 1, 2, 3的倒數(shù)分別為1, ，彳 且1>2>亍1 1

33、 v；3工1,二1, 2, 3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.kkkkkk亠“宀、比一Mt, -), Nt ； 1, 百),Rt ； 3,両3)，且, 笛，苻3構(gòu)成“和諧三 數(shù)組”.t t ； 1 t ； 3 右匚=，得 2t ； 4= t ,得 t = 4;t 4-1 t t + 3 若F : + 耳3，得 2t + 3= t + 1,得 t = 2;k k kt + 3 t t + 1 若=R+，得2t + 1 = t + 3,得t = 2.綜上，t的值為一4或一2或2. 證明：I a, b, c均不為0,二X1, X2, X3都不為0,令y = 2bx + 2c = 0,則整理得：ax + b

34、x+ c= 0.聯(lián)立2'整理得：ax 1 1 1 當一2<m<2且m0時，OP隨m的增大而增大，當m= q時，OP有最小值？，當 m=寸時，OP有最大值I，1 以 5口R210 口/Opv：且 oPm 1,.OP< 且 0占 1. 2 '2 24. 解：（1）（答案不唯一 ）0 , 1, 2, 4, 8, 9均可.因為29 = 52+ 22，所以29是完美數(shù)2 2 2 2(2)當 k= 13 時，S= x + 4y + 4x 12y+ 13 = x + 4x+ 4 + 4y 12y+ 9= (x + 2)2 + (2y 3)2,vx, y是整數(shù)，.x + 2,

35、 2y 3也是整數(shù)，.S是一個“完美數(shù)”./ m與n都是“完美數(shù)”，設m= a2 + b2, n= c2 + d2(a, b, c, d都是整數(shù))， + bx+ c= 0.y = ax + 3bx+ 3c,bc/ x2 + X3= 一，X2 X3=,aa11 x2 + X3b a b 1X2X3X2 X3a c cX1 A, B, C三點的橫坐標X1, X2, X3構(gòu)成“和諧三數(shù)組X2= 1， a+ b+ c= 0, c = a b.a>2b>3c,. a>2b>3( a b)，且 a>0,整理得a> 2b,5 b > 3a,b3111令 n=，則一i

36、<m<且0,貝U OP= 2（ m4）2+ ,： 2>0,a5 22231313當一7<m<：時，OP隨m的增大而減小，當 m= 時，OP2有最大值忑，當m525251 1=2時，oP有最小值；則2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mn= (a + b)( c + d ) = a c + ad + be + b d =a2e2+2abed+ b2d2 + b2c2 2abed+ a2d2=(ac+ bd)2 + (be ad)2./ a, b, c, d 是整數(shù)， ac+ bd與be ad都是整數(shù)， mn也是“完美數(shù)”.5. 解：(1)6 不是“尼爾數(shù)

37、”； 39 是“尼爾數(shù)”；設a= 3n+ 1, b= 3n 1(其中n為自然數(shù))，K= (3n+ 1)2+ (3n 1)2 (3 n+ 1)(3 n 1)2 2 2=2X9 n+ 2X 1 (9n 1) = 9n+ 3, 所有“尼爾數(shù)”一定被 9 除余 3.(2) 設這兩個“尼爾數(shù)”分別為 9m23， 9n23， 其中 m n 為整數(shù)，則(9ni+ 3) (9n2+ 3) = 189,22m n = 21. ( nHn)( m-n) = 1 X21 或 3X7.m n= 21,m- n= 1mH n= 7, 或 m- n= 3.解得m= 11,n= 10m= 5,n= 2.當 m= 11, n

38、= 10 時，9m + 3 = 9X 112+ 3= 1092,229n2H 3= 9X 102H 3= 903.當 5, n= 2 時，9m+ 3= 9X 5 2+ 3 = 228,229n H 3= 9X2H 3= 39.答：這兩個“尼爾數(shù)”分別是 1092 和 903 或 228 和 39. 類型 3. 整除問題例3. 解：(1)11 =1H10=2H9=3H8=4H7=5H6,且 1X 10<2X 9<3X 8<4X 7<5X 6,所以 F(11) = 5X 6= 30.(2)設此數(shù)為1bc，由題可得10 + b = 2mH 1，由得：10 + b為奇數(shù)，所以b

39、為奇數(shù)； 100+ 10bHc = 3nH2，由得：1H bHc +1 是 3 的倍數(shù);1 + bH eH 1= k2.(其中m n, k為整數(shù)) 又因為1冬b冬9, 1冬e冬9,所以4冬1 + b + CH 1冬20, 所以 1HbHcH1 只能等于 9，即 bHc=7.所以當b= 1時，c = 6,此數(shù)為116.當 b= 3 時， c= 4，此數(shù)為 134；當b= 5時，c = 2,此數(shù)為152;當b= 7時，c = 0,此數(shù)為170;當 b= 9 時,舍去；所以 F(t ) max= F(170) = 85X 85= 7225.針對訓練1. 解：(1) t四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，

40、 1230+ k是4的倍數(shù)；即 1230+ k= 4n,當 n = 308 時，k= 2;當 n= 309 時，k = 6, k = 2 或 6; 2ab是“精巧數(shù)”， a為偶數(shù)，且2 + a+ b是3的倍數(shù)，/ a< 10，bv 10，a 2+ a+ bv 22，各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，2 + a+ b 3 9，當 a 0 時，b 7；當 a 2 時，b 5;當 a4 時，b 3;當 a 6 時，b 1， 所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207，225，243，261.2. 解： 證明：設這個四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1，由題意，得1ab1 - 3ab1001 + 100a+ 10b 30a 3b 1001 + 70a+ 7b7(143 + 10a+ b).a、b為整數(shù)， 143+ 10a+ b為整數(shù)， 一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除. T 16 的真因數(shù)有：1，2，4，8，二1+ 2 + 4+ 8 15. 15 1 + 3+ 11，二 16 的“親和數(shù)”為 33.設這個五位“兩頭蛇數(shù)”為 1x4y1，由題意，得衛(wèi)字為整數(shù)， 315 + 30x+ 10X +33" + 6 為整數(shù)，故 10x