基本不等式知識點歸納

1、基本不等式知識點總結向量不等式：【注意】：r a、r a' r ar , , _ rb同向或有0rb反向或有r -，b不共線irir ir懇br|1aLrb|I |b| Iir |a| ir |a| r ir b b|iriririrur印河印回11a b|；|b|ir|a|iririrI a| |b| |a b|；ir|b|.（這些和實數(shù)集中類似）代數(shù)不等式：a,b同號或有0|ab| |a| |bk |a|絕對值不等式:a,b異號或有0|ab| |a| Ibk |a|IbI|b|a b|;a a2a3雙向不等式：a b& a1b< aa?放縮不等式:【拓展】 a,b,c

2、a3（左邊當ab< 0（> 0）時取得等號，右邊當ab>0（< 0）時取得等號.）0, ab m /(a,n 1 ，0,0, m0,糖水的濃度問題）m 0,0,則b 則_ a12 /n12 nad 一;canab n b(x0),ex > x 11n 1(x R).函數(shù) f (x) ax b(a、 x0）圖象及性質(zhì)(1)函數(shù) f (x)axa、0圖象如圖:(2)函數(shù) f (x)axa、0性質(zhì):值域:2Vab,)；單調(diào)遞增區(qū)間：（b,J：,）；單調(diào)遞減區(qū)間：©,自基本不等式知識點總結重要不等式.-.221、和積不等式：a,b R a b >2ab （

3、當且僅當a b時取到“ ”2 2 2 2【變形】： ab < （ab） 2< a-b-（當 a = b 時，（b） 2 a ab）2222【注意】：Tab< ab（a, b R ），ab < （a-b）2（a,b R）222、均值不等式：平方兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)、均方根之間的關系，即平均 >算術平均 > 幾何平均 > 調(diào)和平均”*.若x 0,則x - 2 （當且僅當x 1時取“二”）； x1若x 0,則x 12 （當且僅當x 1時取“二”）x若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （當且僅當a b時取"

4、二”） xxx*.若ab 0,則a P 2 （當且僅當a b時取“二”） b a（當且僅當a b時取" 二 ”）若ab 0,則a - 2即芻-2或-2b a b a b a3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：3.33a b c > 3abc （ a b c 得式即可成立,a*不等式的變形在證明過程中或求最彳1時，有廣泛應用，如：當 ab 0時，a2 b2 2ab同時 除以ab得b - 2或b 1 1 a oa b ab2*a,b,均為正數(shù)，a- 2abb2222a b _ a b 2ab 2ab八種變式：ab ； ab （）；（）4-:若 a>0,b>0

5、, a by有最小值2/p ；2222 a b %；2（a2 b2）；若 b>0,則 a 2a b ;a>0,b>0,則 ba11 24. 一 111112貝U （一）； 右 ab 0 ,貝U-2-2-（）。ababa2b22 ab上述八個不等式中等號成立的條件都是“ a b”。最值定理（積定和最小）x, y 0,由x y > 2Jxy ,若積xy P（定值），則當x y時和xy是積xy有最大值；s2.y|最小時，|x y|最小.（和定積最大）D x, y 0,由x y>2jxy,若和x y S（定值），則當x22【推廣】：已知x, y R,則有（x y） （x

6、y）2xy.（1）若積xy是定值，則當|x y|最大時，|x y|最大；當|x(2)若和|x y |是定值，則當|xy|最大時，|xy|最?。划攟x y|最小時，|xy|最大.1 1已知a,x,b, y R ,axi(ax by)(一 xby by1,則有則m尸的最小值為:> a b 2Jab (0" xfbya &.一十一1若天y 則x+沙和守的最小值為:A+y=(五十_/)(匕+2)=十1 + + 遼十后十2也石二(g +“芋 一1 - - + 2 怪 -鼻、唇,2 2百，Aab應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：湊系數(shù)(乘、除變量系數(shù))例1.當0 x 4時，求

7、函的數(shù)y x(8 2x)最大值.5湊項(加、減常數(shù)項)：例2.已知x -,求函數(shù)f (x) 4x 4x2 7x 10調(diào)整分子：例 3.求函數(shù)f(x) (x1)的值域；x 14x5的最大值.變用公式：基本不等式ab jab有幾個常用變形2a22.2,a b za b、2.一;一(1)不22易想到，應重視；一 ，一-：15例4.求函數(shù)y J2x 1 V5 2x(- x -)的最大值；一，一，、-,一 ，216連用公式：例 5.已知a b 0,求y a 的取小值；b(a b)1 .ln對數(shù)變換：例6.已知x -, y 1,且xy e,求t (2x)lny的最大值;三角變換：例 7.已知0 y<

8、 x ,且tanx 3tan y,求t x y的最大值；1 1常數(shù)代換(逆用條件)：例8.已知a 0,b 0,且a 2b 1,求t 的最小值. a b“單調(diào)性”補了 “基本不等式”的漏洞：平方和為定值若x2 y2 a (a為定值，a 0),可設x Jacos , y Ta sin-其中0w f(x,y) x y Ta sinVa cosJ2gsin()在0, - ,5 ,2 )上是增函數(shù)，444，15在，上是減函數(shù)；441 1._35. _7 g(x,y) xyasin2在0,-，一，一，一，2 )上是增函數(shù)，在2 444413 -57 , 一一，一,一，一上是減函數(shù)；444411 x y s

9、in cos m(x, y)-.令 t sin cosJ2asin(一)，其中x y xy. a sin cos4t J2, 1)U( 1,1)U(1,72.由 t2 1 2sin cos ,得 2sin cost2 1 ,從而2t2m(x,y) 2一 一2一在衣 1)U( 1,1)U(1,J2上是減函數(shù).a(t9斜1) t和為定值若x y b ( b為定值，b 0),則y b x._ 2bbg(x,y) xy x bx在(，2上是增函數(shù)，在2,)上是減函數(shù)；_ 11 x y b 一 一一 一 b_m(x, y) y .當b 0時，在(，0),(0,上是減函數(shù)，在x y xy x bx2bbb

10、-,b),(b,)上是增函數(shù)；當b 0時，在(，b),(b,g上是減函數(shù)，在萬,0),(0,)上是增函2222. bbn（x,y） x y 2x 2bx b在（，3上是減函數(shù)，在-,）上是增函數(shù)；積為定值c右xy c （ c為定值，c 0）,則y . x f（x,y） x y x &.當 c 0 時，在Jc,0）,（0,而上是減函數(shù)，在（，Jc,Jc,） x上是增函數(shù)；當c 0時，在（，0）,（0,）上是增函數(shù)； m(x, y)(,、.c,、c, n(x, y)x yxy1(x c）上是增函數(shù)；當(xc）.當c 0時，在Tc,0）,（0, yc上是減函數(shù)，在 x0時，在（，0）,（0,

11、）上是減函數(shù);)2 2c 在 x（,yc）,（0, Tc上是減函數(shù)(、.c,0,、.c,）上是增函數(shù).倒數(shù)和為定值升11右一一x y其中z f (x) x1 皿1 二，則一 d x2dx1 z,-yz,得x是增函數(shù)；當d g(x,y)是增函數(shù)；當dc一.成等差數(shù)列且均不為零，可設公差為y 1 d2z2.d 0時，在（,y .1 dz 1 dz1、，1 c,rc 1、，1-),(二,0上是減函數(shù)，在0,-),(-, d dd d）上1、 ，11、 ， 1、。時，在（，一）,（一,0上是增函數(shù)，在0,一）,（一,）上減函數(shù)；d dd d2d1111xy FT-當d 0時，在（，一）,（ 一,0上是減函數(shù)，在0,-）,（-,