高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理(二)課件 北師大版必修5

1、第二章 解三角形1.2余弦定理(二)1.熟練掌握余弦定理及其變形形式.2.會用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題.學(xué)習(xí)目標題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識點一已知兩邊及其中一邊的對角解三角形能.在余弦定理b2a2c22accos b中，已知三個量acb，abc，cos b，代入后得到關(guān)于a的一元二次方程，解此方程即可.答案梳理梳理已知兩邊及其一邊的對角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，滿足條件的三角形個數(shù)為0,1,2，具體判斷方法如下：設(shè)在abc中，已知a，b及a的值.由正弦定理 ，可求得sin b .(1)當a為鈍角

2、時，則b必為銳角，三角形的解唯一；(2)當a為直角且ab時，三角形的解唯一；(3)當a為銳角時，如圖，以點c為圓心，以a為半徑作圓，三角形解的個數(shù)取決于a與cd和b的大小關(guān)系：當acd時，無解；當acd時，一解；當cdab，則有ab，所以b為銳角，此時b的值唯一.知識點二判定三角形的形狀思考1不需要.如果所知條件方便求角，只需判斷最大的角是鈍角，直角，銳角；如果方便求邊，假設(shè)最大邊為c，可用a2b2c2來判斷cos c的正負.而判斷邊或角是否相等則一目了然，不需多說.三角形的形狀類別很多，按邊可分為等腰三角形，等邊三角形，其他；按角可分為鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形.在判斷三角形的形狀時

3、是不是要一個一個去判定？答案思考2a，b(0，)，2a,2b(0,2)，2a2b或2a2b，即ab或ab .abc中，sin 2asin 2b.則a，b一定相等嗎？答案梳理梳理判斷三角形形狀，首先看最大角是鈍角、直角還是銳角；其次看是否有相等的邊(或角).在轉(zhuǎn)化條件時要注意等價.知識點三證明三角形中的恒等式思考前面我們用正弦定理化簡過acos bbcos a，當時是把邊化成了角；現(xiàn)在我們學(xué)了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成邊？答案梳理梳理證明三角恒等式的關(guān)鍵是借助邊角互化減小等式兩邊的差異.題型探究類型一利用余弦定理解已知兩邊及一邊對角的三角形例例1已知在abc中，a8，b7，b60，求c

4、.由余弦定理b2a2c22accos b，得7282c228ccos 60，整理得c28c150，解得c3或c5.解答引申探究引申探究例1條件不變，用正弦定理求c.解答sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b反思與感悟相對于用正弦定理解此類題，用余弦定理不必考慮三角形解的個數(shù)，解出幾個是幾個. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，若a ，a ，b1，則c等于 答案解析類型二利用正弦、余弦定理證明三角形中的恒等式例例2在abc中，有(1)abcos cccos b；(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos

5、 a，這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明.證明方法一(1)由正弦定理，得b2rsin b，c2rsin c，bcos cccos b2rsin bcos c2rsin ccos b2r(sin bcos ccos bsin c)2rsin(bc)2rsin aa.即abcos cccos b.同理可證(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.方法二(1)由余弦定理，得同理可證(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.反思與感悟證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理

6、轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2在abc中，a、b、c分別是角a、b、c的對邊，求證：證明類型三利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀例例3在abc中，已知(abc)(bca)3bc，且sin a2sin bcos c，試判斷abc的形狀.解答由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，又sin a2sin bcos c.由正弦、余弦定理，反思與感悟(1)判斷三角形形狀，往往利用正弦定理、余弦定理將邊、角關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)過化簡變形，充分暴露邊、角關(guān)系，繼而作出判斷.(2)在余弦定理中，注意整體思想的運用，如：b

7、2c2a2 2bccos a，b2c2(bc)22bc等等.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3在abc中，若b60，2bac，試判斷abc的形狀.解答方法一根據(jù)余弦定理，得b2a2c22accos b.b60，2bac，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2c，即bc.abc是等邊三角形.方法二根據(jù)正弦定理，2bac可轉(zhuǎn)化為2sin bsin asin c.又b60，ac120，c120a，2sin 60sin asin(120a)，a(0，120)，整理得sin(a30)1，a30(30，150)，a3090，a60，c60.abc是等邊三角形.當堂訓(xùn)練b2a2c22accos ba2c2ac，cos

8、 b ，0b180，b120.1.在abc中，若b2a2c2ac，則b等于 a.60 b.45或135c.120 d.30答案解析1232.在abc中，若2cos bsin asin c，則abc的形狀一定是 a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形1232cos bsin asin c，答案解析ab.故abc為等腰三角形.3.在abc中，若b30，ab ，ac2，則滿足條件的三角形有幾個？123解答設(shè)bca，acb，abc，由余弦定理得b2a2c22accos b，123即a26a80，解得a2或a4.滿足條件的三角形有兩個.規(guī)律與方法1.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進行討論.如果采用余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來，比較兩種方法，采用余弦定理較簡單.2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換.3.在余弦定理中，每一個等式均含有四