離散傅里葉變換課件

1、離散傅里葉變換PPT課件1離散傅里葉變換Discrete Fourier Transform離散傅里葉變換PPT課件2內(nèi)容提要離散傅里葉變換 (Discrete Fourier Transform，DFT)是時間函數(shù)是離散的，而且頻譜函數(shù)也是離散的變換。離散傅里葉變換定義DFT物理意義DFT基本性質(zhì)討論頻率取樣理論。DFT的應(yīng)用 離散傅里葉變換PPT課件3傅里葉變換的各種形式連續(xù)時間、離散頻率的傅里葉變換對于周期為T的連續(xù)時間信號，可以采用傅里葉級數(shù)展開：連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅里葉變換對于非周期的連續(xù)時間信號，可以進(jìn)行傅里葉變換：它在時域和頻域都是連續(xù)的。離散傅里葉變換PPT課件4離散時間、連

2、續(xù)頻率的傅里葉變換對于非周期的序列，其傅里葉變換在頻域是以2為周期的連續(xù)函數(shù)。離散傅里葉變換PPT課件5設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列， 則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為10( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n WX(k)的離散傅里葉逆變換為101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN式中， ， N稱為DFT變換區(qū)間長度, NM， 通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對。Note:有限長序列x(n)的DFT即X

3、(k)仍是有限長序列。2jNNWe離散傅里葉變換PPT課件6例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點和16點DFT.解： 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk離散傅里葉變換PPT課件7對長度為M的序列x(n)，其Z變換N點DFT進(jìn)行對比，可以看出式中，表示z平面單位圓上輻角(k=0,1,N-1)的N個等間隔點。 2,0,1,1jkNXkXekN離散傅里葉變換PPT課件8說明：序列x(n)的N點DFT是其Z變換在單位圓上的N點等角距取樣，如圖3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT

4、在區(qū)間0,2上的N點等間隔取樣。如圖3.4(b)。離散傅里葉變換PPT課件9DFT變換對中(),kk mNNNWWk m N均為整數(shù) 所以式(3.1.1) 中， X(k)滿足1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理可證明式(3.1.2) 中 x(n+mN)=x(n)離散傅里葉變換PPT課件10 x n任何周期為N的周期序列 都可以看做長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 的一個周期 mNx nx nmNx nx n Rn x n(3.1.5) (3.1.6) 離散傅里葉變換PPT課件11定義：為敘述方便，將式(3

5、.1.5)該寫成 表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，符號(n)N表示n對模N的余數(shù)，即 這里k是商。 的主值區(qū)間：周期序列 中從n=0到N-1的范圍 的主值序列：主值區(qū)間上的序列 Nxn離散傅里葉變換PPT課件12由此對長度為N的序列x(n)，且 ，則 的DFS為結(jié)論：與DFT定義比較，可見有限長序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的周期延拓序列 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列。例如，N=7, =x(n)7，則有 77770881xxxxxx Nx nxn 111000110011NNNknknknNNNNnnnNNknknNNnnX kx n WxnWx n Wx nX k WX

6、k WNN NxnX K NX kX k Rk離散傅里葉變換PPT課件13解：因此得 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987 X(4)=0.46235X(5)= 0.47017+j0.16987X(6)= 0.50746+j0.40597X(7)= 0.71063+j0.92558Matlab實現(xiàn) fft1.m例3. 1 求有限長序列的DFT，其中a=0.8，N=8。 離散傅里葉變換PPT課件14關(guān)于離散傅里葉變換(DFT)：序列序列x(n)在時域是有限長的在時域是有限長的(長

7、度為長度為N)，它的離散傅里葉變，它的離散傅里葉變換換X(k)也是離散、有限長的也是離散、有限長的(長度也為長度也為N)。n為時域變量，為時域變量，k為頻域變量。為頻域變量。DFT的物理意義：序列的物理意義：序列x(n)的的Z變換在單位圓上的等角距取變換在單位圓上的等角距取樣。序列傅里葉變換在區(qū)間樣。序列傅里葉變換在區(qū)間0,2上的等間隔取樣。上的等間隔取樣。離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)具有唯一性。具有唯一性。離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，DFT實實際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT也隱含有周期性。也

8、隱含有周期性。離散傅里葉變換PPT課件15 DFT隱含著周期性，因此在討論DFT的性質(zhì)時，常與DFS的概念聯(lián)系起來，并把有限長序列看作周期序列的一個周期來處理。設(shè)x1(n)和x2(n)的長度都為N，且它們對應(yīng)的DFT分別為X1(k)和X2(k)。 設(shè)x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都為常數(shù)，則 若它們長度不等，取長度最大者，將短的序列通過補零加長，注意此時DFT與未補零的DFT不相等。3.2 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換PPT課件16 一個長度為N的序列x(n)的循環(huán)移位定義為 循環(huán)移位分3步計算：(1)將x(n)延拓成周期為N的周期序列 ； (2)將 移位得 或 x(n+

9、m)N；(3)對 x(n+m)N 取主值得 x(n+m)NRN(n)。這個過程如下圖所示。a) 序列的循環(huán)移位：離散傅里葉變換PPT課件17 從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出，當(dāng)主值序列左移m個樣本時，從右邊會同時移進(jìn)m個樣本，而且好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來。因此取名“循環(huán)移位”。 顯然，循環(huán)移位不同于線性移位 離散傅里葉變換PPT課件18離散傅里葉變換PPT課件19離散傅里葉變換PPT課件20對長度為N的有限長序列x(n)，其循環(huán)移位后序列y(n)的DFT為 證明：b) 時域循環(huán)移位定理時域循環(huán)移位定理 1100NNknknNNNNNnnY kDFT y n

10、xnmRn WxnmW令n+m=n，則有： 11NmNmk nmkmknNNNNNnmnmY kDFT y nxnWWxnW knNNxnW 因為 以N為周期，上式中的求和區(qū)間任取一個周期即可，取主值區(qū)間為求和區(qū)間，得證。離散傅里葉變換PPT課件21若則c) 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理 離散傅里葉變換PPT課件22 長度分別為N1和N2的有限長序列x1(n)和x2(n)的N點DFT分別為： （ N=max N1, N2 ）。則由上式表示的卷積稱為循環(huán)卷積X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果X(k)=X1(k)X2(k) 11201210IDFTNNNmNNNmx

11、nX kx m xnmRnxm xnmRn離散傅里葉變換PPT課件23循環(huán)卷積的過程：(1)周期延拓 x2(m)x2(m)N(2)折疊 x2(m)Nx2(-m)N(3) 移位和取主值 x2(-m)Nx2(n-m)NRN(m)(4)相乘 x2(n-m)NRN(m) x1(m) x2(n-m)NRN(m)(5)相加 summ0,1,N-1循環(huán)反轉(zhuǎn)序列Note: 兩個長度為N的序列的循環(huán)卷積長度仍為N，（與線性卷積不同），記為： 112120121210NNNmNNNmx nx nxnx m xnmRnxnx nxm xnmRn離散傅里葉變換PPT課件24離散傅里葉變換PPT課件25離散傅里葉變換P

12、PT課件26循環(huán)卷積計算說明：x1(n)的N個值按順時針方向均勻分布在內(nèi)圓周上，x2(n)的N個值按反時針方向均勻分布在外圓周上，把內(nèi)外圓周上對應(yīng)的數(shù)值兩兩相乘，然后把乘積相加就得到y(tǒng)(0)。若將外圓周順時針方向轉(zhuǎn)動一格，將內(nèi)外圓周上對應(yīng)的數(shù)值兩兩相乘并把乘積相加，便得到y(tǒng)(1)。依次類推，可以得出y(n)的其它值。因此循環(huán)卷積也叫做圓卷積?？紤]到DFT關(guān)系的對偶性，可以證明，長為N的兩序列之積的DFT等于它們的DFT的循環(huán)卷積除以N，即 頻域循環(huán)卷積定理離散傅里葉變換PPT課件27離散傅里葉變換PPT課件28 是長度為N的序列x(n)的復(fù)共軛序列， xn X kDFT x n則 ,01DFT

13、 xnXNkkN 且 0X NX類似 ,01DFT xNnXkkNNote：對實序列有 X kXNk離散傅里葉變換PPT課件293.2.5 DFT的共軛對稱性的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列分別用xep(n)和xop(n) 表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1 (3.2.10) 當(dāng)N為偶數(shù)時， 將上式中的n換成N/2-n可得到()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 離散傅里葉變換PP

14、T課件30圖 3.2.3 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖 （圖中*表示對應(yīng)點為序列取共軛后的值） 離散傅里葉變換PPT課件31 如同任何實函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣， 任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛， 再將式(3.2.9) 和式(3.2.10) 代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n

15、)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14)離散傅里葉變換PPT課件32 2. DFT的共軛對稱性(a) 若將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，即 x(n)=xr(n)+jxi(n)根據(jù)復(fù)共軛序列的DFT可得 11DFTDFT2211DFTDFT( )22repiopxnx nxnX kXNkXkjx nx nxnX kXNkXk再由DFT的線性性質(zhì)可得 X=DFTDFTDFTDFT( )ririepopkx nxnjx nxnjx nXkXk離散傅里葉變換PPT課件33(b) 若將序列x(n)分成共軛對稱部分xep(n)與共軛反對稱部分xop(n)，即 x(n)=xep

16、(n)+xop(n)根據(jù)復(fù)共軛序列的DFT可得 11DFTDFTRe2211DFTDFTIm( )22epopxnx nxNnX kXkX kxnx nxNnX kXkjX k 因此 X=DFTDFTepopRIkx nxnxnXkjXk離散傅里葉變換PPT課件34結(jié)論：如果序列x(n)的DFT為X(k),則 x(n)的實部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量； x(n)的共軛對稱部分和共軛反對稱部分的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j.離散傅里葉變換PPT課件35有限長實序列DFT的共軛對稱性：對長度為N的實序列，X(k)=DFTx(n)，則 X(k)共軛

17、對稱，即 若x(n)=x(N-n),則X(k)實偶對稱，即 若x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對稱，即 X=kX Nk ,01X kXNkkN X=kX Nk離散傅里葉變換PPT課件36 這意味著，對于時間有限信號，可以像頻帶有限信號進(jìn)行時域采樣而不丟失任何信息一樣，可以在頻域上進(jìn)行采 樣而不丟失任何信息。這正是傅里葉變換中時域和頻域?qū)ε缄P(guān)系的反映，這有著十分重要的意 義。DFT實現(xiàn)了頻域離散化，開辟了在頻域采用數(shù)字技術(shù)處理的新領(lǐng)域。 這使我們自然想到，對于任意一個頻率特性，是否均能用頻域采樣的辦法來逼近，這是一個很吸引人的問題，因為用頻率采樣來逼近，可使問題大大簡化。因此我們要討論

18、頻率采樣的可行性以及所帶來的誤差。 3. 3 頻率域采樣 離散傅里葉變換PPT課件37頻率取樣是指對序列的傅里葉變換或系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行取樣 。本節(jié)討論在什么條件下能夠用得到的頻譜取樣值無失真地恢復(fù)原信號或系統(tǒng)。 設(shè)任意長序列x(n)絕對可和，其Z變換表示為如果在單位圓上對X(z)進(jìn)行等角距取樣，取樣點數(shù)為N，則得 22( )( )( )jkNjknNz enX kX zx n e根據(jù)DFT的定義，對X(k)求反變換 =IDFTpxnX k離散傅里葉變換PPT課件38根據(jù)上面兩式可得：因為所以 上式表明，在z平面的單位圓上對序列的Z變換進(jìn)行等角距取樣，將導(dǎo)致時間序列的周期延拓。這一結(jié)果與對連續(xù)

19、時間信號取樣導(dǎo)致頻譜周期延拓類似。 現(xiàn)在我們來考察xp(n)與原序列x(n)的關(guān)系，看它如何才能代表原序列x(n)。 110011=NNk n mkmknpNNNkmmkxnx m WWx mWNN 101,1,0,Nk n mNkmnrNWrmnrNN為任意整數(shù) =prxnx nrN離散傅里葉變換PPT課件39 xp(n)是原非周期信號x(n)的周期延拓序列，因此xp(n)是一個周期序列，其主值為 在x(n)為有限長度M的情況下，如果取樣點NM，那么x(n)周期延拓的結(jié)果不會產(chǎn)生混疊。這時，xp(n)的主值xN(n)與原序列x(n)一樣，因此xN(n)完全能代表原序列x(n)，可由頻域采樣X

20、(k)恢復(fù)x(n)。 如果N=M，則有離散傅里葉變換PPT課件42令則 上式就是用X(z)在單位圓上的N個取樣值X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，內(nèi)插函數(shù)為 。因為1kNNW所以 X z 1111NkkNzzNWz 10NkkX zX kz kz離散傅里葉變換PPT課件43如果 則可以得到傅里葉變換的內(nèi)插公式，結(jié)論：長度為N的序列x(n)，其N個頻域取樣值X(k)可以不失真地代表它，X(k)還能完整的表示序列的Z變換X(z)和傅里葉變換 。 2/10111j Nkjk NNjkkeNeX eX k離散傅里葉變換PPT課件443. 4 DFT應(yīng)用舉例 1. 線性卷積實際應(yīng)用中一般以線性卷積和相關(guān)運

21、算處理為依據(jù)，如一個FIR數(shù)字濾波器的輸出等于輸入與濾波器的單位取樣響應(yīng)的線性卷積。DFT計算循環(huán)卷積DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。 2. 譜分析離散傅里葉變換PPT課件45線性卷積 線性卷積不受主值區(qū)間限制循環(huán)卷積 在一定條件下與線性卷積相等。兩個長度都為N的因果序列的循環(huán)卷積仍是一個長度為N的序列，而它們的線性卷積卻是一個長度為2N-1的序列。3. 4.1 利用循環(huán)卷積計算線性卷積 離散傅里葉變換PPT課件46 如果能將線性卷積轉(zhuǎn)化成循

22、環(huán)卷積，那么根據(jù)DFT的循環(huán)卷積性質(zhì)，就能夠用循環(huán)卷積來計算線性卷積，而循環(huán)卷積可以用FFT 進(jìn)行快速計算。因此，首先需要討論在什么條件下，循環(huán)卷積與線性 卷積相等的問題。 設(shè)h(n)和x(n)分別是長度為N和M的有限長序列，它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別為 1010NlmLcLLmynh nx nh m x nmynh nx nh m xnmRn其中，L=maxN,M離散傅里葉變換PPT課件47所以對照線性卷積的公式，可以看出因 為 Lqxnx nqL 1010NcLmqNLqmynh mx nmqL Rnh m x nqLm Rn 10Nlmh m x nqLmynqL離散傅里葉變換PPT課

23、件48 yc(n)是yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。而yl(n)是個長度為N+M-1的序列，所以(1)如果L=N+M-1） 計算L點DFTh(n), DFTxk(n) 計算 Yk(n)=Xk(n)H(K) 用L點IFFT求yk(n)=IDFTYk(k) 將yk(n)的重疊部分相加，最后輸出為由于yk(n)的長度為N+M-1，而xk(n)長度為M，所以相鄰兩段yk(n)序列必然有N-1個點發(fā)生重疊，如圖3.4.4所示。這些重疊部分應(yīng)該相加起來才能構(gòu)成最后的輸出序列，這就是“重疊相加法”這一名稱的由來。離散傅里葉變換PPT課件54圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 M0NMMx1(

24、n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)離散傅里葉變換PPT課件553. 4.2 用DFT對信號進(jìn)行譜分析 所謂信號的譜分析就是計算信號的頻譜，包括振幅譜、相位譜和功率譜。處理對象：連續(xù)信號和離散信號1 用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析（近似分析） 設(shè)連續(xù)信號xa(t)（經(jīng)預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號）持續(xù)時間為Tp， 最高頻率為fc， 如圖3.4.5所示。 xa(t)的傅里葉變換為()( )( )j taaaXjFT x tx t edt 離散傅里葉變換PP

25、T課件56 對xa(t)以采樣間隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采樣得x(n)= xa(nT)。 x(n)的傅里葉變換為X(ej).12()jamX eXjmTTT X(ej)與 的關(guān)系為(3.4.6)X(n)的長度為ppsTNT fT()aXj將 代入T 121()defj TaamX eXjmXjTTT離散傅里葉變換PPT課件57X(n)的N點DFT 2( )DFT01jNkNX kx nX ekN 22( )22aafaafXfXjXjfXfXXf21212( ),01jkNaapX kX eXkXkkNTNTTT代入式（3.4.6），可得所以，令離散傅里葉變換PPT課件58 11

26、( ),0,1,1pdefaakkfNTTaNX kXfXkFkNTTXkFTX kT DFT x n可得F表示對模擬信號的頻譜的采樣間隔，稱為頻率分辨率，即頻域取樣中兩相鄰點間的頻率間隔。說明：由上式可得，對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行DFT再乘以T，就可近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個周期0,Fs上的N點等間隔采樣。如圖1spFFTNTN離散傅里葉變換PPT課件59離散傅里葉變換PPT課件60結(jié)論：對滿足假設(shè)的持續(xù)時間有限的帶限信號，在滿足時域采樣定理時， 包含了模擬信號頻譜的全部信號，可由X(k）恢復(fù) 。缺點：柵欄效應(yīng)對持續(xù)時間有限的帶限信號aXkF aaXjxt 或離散傅

27、里葉變換PPT課件61截斷效應(yīng)用DFT分析理想低通濾波器單位沖激響應(yīng)的頻率響應(yīng)特性截取理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)的一段Tp：sin()( )ath tt 假設(shè)Tp=8 s， 采樣間隔T=0.25 s(即采樣速度fs=4 Hz)， 采樣點數(shù)N=Tp/T=32。 此時頻域采樣間隔F=1/NT=0.125 Hz。 則Ha(kF)=TDFTh(n), 0k16其中 h(n)=ha(nT)R32(n)注意：對實信號，其頻譜函數(shù)具有共軛對稱性，只需分析正頻率頻譜離散傅里葉變換PPT課件62圖 3.4.7 用DFT計算理想低通濾波器頻響曲線 離散傅里葉變換PPT課件63從上圖(c)可看出： 低頻部分近似理

28、想低通頻響特性；高頻誤差較大 截斷效應(yīng)整個頻響都有波動減少截斷效應(yīng)的途徑： 加長信號分析時間Tp，增加采樣點數(shù) 先用窗函數(shù)處理離散傅里葉變換PPT課件64連續(xù)信號譜分析的參數(shù)選擇原則：關(guān)心的問題：譜分析范圍0,Fs/2和頻率分辨率F 為避免頻譜混疊現(xiàn)象，F(xiàn)s 2fc 譜分辨率F=Fs/N, 若N不變，要提高頻譜分辨率，必須降低Fs 若Fs不變，為提高頻譜分辨率，可增加采樣點數(shù)N，即增加觀察時間Tp。21cpfNFTF選取原則：離散傅里葉變換PPT課件65例3.4.2 對實信號進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時間Tpmin， 最大的采樣間

29、隔Tmax， 最少的采樣點數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少? 解： 因此Tpmin=0.1 s， 因為要求fs2fc， 所以110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF離散傅里葉變換PPT課件66為使頻率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求minmin225001000510.25pNTs離散傅里葉變換PPT課件672 用DFT對序列進(jìn)行譜分析單位圓上的Z變換序列的傅里葉變換序列的DFT：0,2上對傅里葉變換的N點等間隔采樣。頻譜分辨率： 2/N可用DFT計算序列的FT周期為N

30、的周期序列 的頻譜函數(shù)： x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 Note: 周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示離散傅里葉變換PPT課件68由DFT的隱含周期性， 截取 的主值序列 并進(jìn)行N點DFT得到( )x n ( )Nx nx n Rn( ) ( ) ( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k Rk( )x n( )x n因此可用X(k)表示 的頻譜結(jié)構(gòu)。 如果截取長度M等于 的整數(shù)個周期， 即M=mN， m為正整數(shù)， 則2102(1)0(

31、)( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN離散傅里葉變換PPT課件69令 n=n+i N, i=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,則2 ()110221100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,Mjkrmrme因為 k/m=整數(shù)k/m整數(shù) 離散傅里葉變換PPT課件70(),( )0,MkmXXkmk/m=整數(shù)k/m整數(shù) 結(jié)論： k=im時，表示

32、周期序列的第i次諧波譜線，幅度擴大m倍，故截取周期序列的整數(shù)個周期進(jìn)行DFT可得到其頻譜結(jié)構(gòu)。周期序列的周期不知道時的處理：截取M點做DFT 截取長度擴大1倍做DFT 分析主譜頻率差別離散傅里葉變換PPT課件71 在實際應(yīng)用中，有時只對信號的某一頻段感興趣，或只需計算單位圓上某一段的頻譜值。例如，在對窄帶信號進(jìn)行分析時，常希望在窄頻帶內(nèi)對頻率的取樣很密集，以便提高頻率分辨率，而在窄頻帶外不予以考慮。 對于這種情況，如果采用DFT方法，則需要在窄頻帶內(nèi)外都增加頻域取樣點，而窄頻帶外的計算量是浪費的。此外，有時對非單位圓上的取樣感興趣，例如在語音信號處理中，常常需要知道其Z變換的極點所在處的復(fù)頻率

33、，這時就需要在這些極點附近的曲線上進(jìn)行頻域取樣，這樣，就要沿著螺旋線對Z變換取樣。這種沿螺旋線上取樣點計算的Z變換，稱為線性調(diào)頻Z變換(Chirp Z Transform，簡稱CZT)。離散傅里葉變換PPT課件72圖 3.4.7 單位圓與非單位圓采樣 離散傅里葉變換PPT課件73要計算序列在半徑為r的圓上的頻譜， 那么N個等間隔采樣點為 , k=0, 1, 2, , N-1， zk點的頻譜分量為 2jkNkzre210()( )( )kNjknNkz znX zX zx n r e( )( )nx nx n r210()( ) ( ),01NjknNknX zx n eDFT x nkN令 若

34、要計算有限角度2/M內(nèi)的N點等間隔頻譜采樣，可取L=MN，作N點DFT，只取分析角度內(nèi)的N點等間隔采樣。對曲線，分別計算很多弧線上的采樣，運算量大，效率低。離散傅里葉變換PPT課件743 Chirp-Z變換一個長度為N的序列x(n)，其Z變換為為了使z可以沿著z平面更一般的路徑(不只是單位圓)取值，可以沿一段螺旋線對z作等分角取樣，這些取樣點上的zk表示為其中M為所要分析的復(fù)頻譜的點數(shù)，不一定等于N。W和A為任意復(fù)數(shù)，極坐標(biāo)下可表示為得到A0，W0正實數(shù)離散傅里葉變換PPT課件75取樣點zk所在的路徑如圖所示(1)A0表示起始取樣點z0的矢量長度，通常A01，否則將處于單位圓|z|=1之外。(2)0表示起始取樣點z0的矢量的相角，它可以是正值或負(fù)值。(3)0表示兩相鄰取樣點矢量之間的角度差。0為正時，表示zk的路徑沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)；0為負(fù)時，zk的路徑沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。(4)W0表示螺旋線的伸展率。W01時，隨著k的增加螺旋線向內(nèi)盤旋；W01時，則隨k的增加螺旋線向外盤旋；W0=1對應(yīng)于半徑為A0的一段弧線，在A0=1時這段弧線是單位圓的一部分。離散傅里葉變換PPT課件76將zk代入Z變換公式得到1010()( )( ),01NknknNnknnX zx nAWx n A WkM22