洛必達(dá)法則農(nóng)科F版

1、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個個函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或如如果果當(dāng)當(dāng) xfxfxfxfxaxxax例如例如,lim0 xtgxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxaxax 那那末末或或?yàn)?/p>

2、為無無窮窮大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的某某領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)定理定理1 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時(shí)時(shí)及及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xaxax證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xau內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xfxf則有則有)(

3、)()()()()(1111xfxfafxfafxf )()( ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax 例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原式原式. 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(0lim.(0,0)xxx

4、ababx求)00(解解0lim.1xxxa inab inbainb原式注：注：1、用羅必塔法則一定要驗(yàn)證條件，特別是條件、用羅必塔法則一定要驗(yàn)證條件，特別是條件(1);2、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例：求例：求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、運(yùn)算過程中有非零極限因

5、子，可先算出極限。、運(yùn)算過程中有非零極限因子，可先算出極限。注意：注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例5 5解解.tansinlim20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原式原式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在都存在且

6、都存在且及及可以除外可以除外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)在在設(shè)設(shè)定理定理2.,該法則仍然成立該法則仍然成立時(shí)時(shí)及及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xaxax)0(lim)2);0(lnlim)16 為正整數(shù)，為正整數(shù)，求求例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原式原式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！無窮大量無窮大量的的階階數(shù)數(shù)依依次次遞遞增增。、xxxexx ln型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2l

7、im 原式原式2limxxe 2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式000sin1 cossinlimlimlim22xxxxxxxx xx. 0 通過通分或分子有理化及其它初等變換轉(zhuǎn)化為通過通分或分子有理化及其它初等變換轉(zhuǎn)化為 或或 不定型。不定型。00型型00,1 ,0.

8、 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 通過通過)(ln)()()(xfxgxgexf 將三種不定式轉(zhuǎn)化為將三種不定式轉(zhuǎn)化為0型。型。例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1 10 0解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 11 1解解.)(limln10 xxctgx 求求)(0 ,)()ln(ln1ln1ctgxxxectgx 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(ln1lim0ctgxxx xxctgxx1sin11lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 12 2.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx 注意：注意：洛必達(dá)法則只用于洛必達(dá)法則只用于)( )00(用洛必達(dá)法則過程中要及時(shí)化簡用洛必達(dá)法則過程中要及時(shí)化簡, 并靈活結(jié)合其他并靈活結(jié)合其他求極限方法求極限方法.1212sinlim30 xxxx洛必達(dá)法則有時(shí)并不適用洛必達(dá)法則有時(shí)并不適用,lim:xxxxxeeee