平行四邊形培優(yōu)講義新打印版

1、平邊四邊形知識點一知識框架二知識概念平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩

2、條對稱軸）矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對角線） 或底×高正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形

3、的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相垂直的矩形；對角線相等的菱形；梯形的定義： 一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。 梯形常用輔助線：平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題1、如圖，已知在四邊形ABCD中，AD=BC，D=DCE求證：四邊形ABCD是平行四邊形

4、2、如圖，在ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AECF，AE及CF相等嗎？說明理由.3、有一個四邊形的四邊長分別是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求證：此四邊形是平行四邊形4、ABCD中,AC、BD交于點O，AE=CF，求證：BE=DF5、(變式練習(xí)2)ABCD中,AC、BD交于點O，AE=CF，BM=DN求證：四邊形MFNE是平行四邊形6、 (變式練習(xí)3)如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是AC上兩點，且AE=CF，又點M、N分別在AB、CD上，且MFEN，MN交AC 于O。求證：EF及MN互相平分。7、(變式練習(xí)4)如圖所示，ABCD的對角線AC、B

5、D交于O，EF過點O交AD于E，交BC于F，G是OA的中點，H是OC的中點，四邊形EGFH是平行四邊形，說明理由.8、(變式練習(xí))ABCD中，DE平分ADC交BC的延長線于E，BF平分ABC交AB的延長線于F，求證：四邊形 DEBF是平行四邊形9、(變式練習(xí)1)如圖所示，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結(jié)AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點P，CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？BACDEFGHOABCFDGHEO10、(變式練習(xí)2)如圖，E、F分別為口ABCD的邊AD、BC的中點。求證：（1）BE=DF；（2）O為GH的中點。11、ABCD中

6、，E在AB上，F(xiàn)在CD上，且AE=CF,M為DE中點，N為FB中點,求證：FM=NE ME=NF12、已知如圖：在ABCD中，延長AB到E，延長CD到F，使BE=DF，則線段AC及EF是否互相平分？說明理由.13、.如圖所示，已知點D是ABC的邊AB上的中點，點E是AC上的一點，DFBE,EFAB,證明：AE、DF互相平分14、如圖，已知AD是ABC的邊BC上的中線，BME是AMD繞點M按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到的，連結(jié)AE，求證：DE=AC15、如圖，在ABCD中，DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB 求證：四邊形AFCE是平行四

7、邊形16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AFBC，ECBC，BADE，BDAE，EF=FC，甲、乙兩人同時從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是BAEF，乙乘2路，路線是BDCF，假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達(dá)F站，請說明理由.17、在平行四邊形ABCD中，BNDM，BEDF，求證：四邊形MENF是平行四邊形.18、如圖，在ABCD中，AB=2AD，延長AD到F,使DF=AD,再延長DA到E,使AE=AD,求證:BFCE.ADFCBE19、如圖19130，分別以ABC的三邊為邊長，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE，EF。求證：四邊形

8、ADEF是平行四邊形。圖320、如圖3，在中，是邊的中點，分別是及其延長線上的點，連結(jié)，試判斷四邊形是何種特殊四邊形，并說明理由。21、如圖2，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AECF，BGDH，試說明：EF及GH相互平分矩形拓展題1、如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）AABCDBADBCCABBC DACBDABOCD第1題2、如圖，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，現(xiàn)將其按下列步驟折疊：（1）將BAD對折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如圖（2）將AFB沿BF折疊，AF及DC交點G，如圖則所得梯形BDGF的

9、周長等于（ ）A.12+2 B.24+2 C.24+4 D.12+43、如圖，邊長為(m+3)的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，若拼成的矩形一邊長為3，則另一邊長是( )A2m+3B2m+6Cm+3Dm+6(第3題)m+3m3（第4題）4、如圖，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于點M，CNAN于點N則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）() Aa B C D 5、如圖，已知矩形紙片，點是的中點，點是上的一點，現(xiàn)沿直線將紙片折疊，使點落在紙片上的點處，連接，則及相等的角的個數(shù)為( )A.4 B.3 C.2 D.16、

10、矩形紙片ABCD中，AB3，AD4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B處，折痕為AE在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離及到點B的距離相等，則此相等距離為_7小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖，AD>CD）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖）如果第二次折疊后，M點正好在NDG的平分線上，那么矩形ABCD長及寬的比值為ABCDABCDEFABCDEGMN8、如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點及BC邊的中點D重合，若BC=8，CD=6，則CF=_。9、

11、如圖2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，將ADC按逆時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)到AEF（點A、B、E在同一直線上），連結(jié)CF，則CF =.ABCFE第11題圖（）D10、如圖矩形紙片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一點E，ED2cm，AD上有一點P，PD3cm，過P作PFAD交BC于F，將紙片折疊，使P點及E點重合，折痕及PF交于Q點，則PQ的長是_cm.11、把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF若AB= 3cm，BC= 5cm，則重疊部分DEF的面積是cm212、如圖所示，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點O，P是平行四邊形ABC

12、D外一點，且APCBPD90°求證：平行四邊形ABCD是矩形13、如圖自矩形ABCD的頂點C作CEBD,E為垂足,延長CE至F,使CF=BD,連接AF,求BAF的大小菱形的性質(zhì)及判定鞏固練習(xí)題1、下列四邊形中不一定為菱形的是（）A對角線相等的平行四邊形B每條對角線平分一組對角的四邊形C對角線互相垂直的平行四邊形 D用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形2 下列命題中錯誤的是（）平行四邊形的對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形ABCD矩形的對角線相等對角線相等的四邊形是矩形3 如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（）ABCD4 菱形的周長為32cm，一個內(nèi)角的度數(shù)是6

13、0°，則兩條對角線的長分別是（）A8cm和4cm B4cm和8cm C8cm和8cm D4cm和4cm5 如圖，菱形ABCD中，B60°，AB2，E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則AEF的周長為（）A B C DDCBOAE6 如右圖，四邊形是菱形，過點作的平行線交的延長線于點，則下列式子不成立的是（）A. B. C. °D.7 如右圖，在菱形中，對角線相交于點為的中點，且，則菱形的周長為（）ADCEBABCD8、如圖，菱形中，垂直平分，垂足為，那么，菱形的面積是，對角線的長是9、已知菱形的面積是，對角線cm，則菱形的邊長是cm10、如圖，矩形

14、ABCD中，AB2，BC3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E、F，連接CE，則CE的長_. 11、如圖所示，兩個全等菱形的邊長為1厘米，一只螞蟻由點開始按的順序沿菱形的邊循環(huán)運動，行走2008厘米后停下，則這只螞蟻停在點12、如圖，菱形中，是對角線的交點，則cm13、如圖所示，已知ABCD，AC，BD相交于點O，添加一個條件使平行四邊形為菱形，添加的條件為_（只寫出符合要求的一個即可）13題圖 14題圖12題圖14、 如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊BC，CA，AB上的點，且DEAB，DFCA，要使四邊形AFDE是菱形，則要增加的條件是_（只寫出符合要求的一個即可）15、菱形A

15、BCD的周長為48cm，BAD：ABC=1：2，則BD=_，菱形的面積是_16、在菱形ABCD中，AB=4，AB邊上的高DE垂直平分邊AB，則BD=_，AC=_17、如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長線于E，DFBC，交BC的延長線于F。請你猜想DE及DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想18、已知：如圖，AD平分BAC，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F求證：四邊形AEDF是菱形 19、如圖，四邊形中，平分，交于（1）求證：四邊形是菱形；（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由20、如圖8，在平行四邊形ABCD中，分別為邊的中點，連接（1）求證：（2）若，則四邊形是什么特

16、殊四邊形？請證明你的結(jié)論ABCDEF21、如圖，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，四邊形AEFG是菱形嗎?22、如圖，三角形ABC中，AD是BAC的平分線，E是AC上一點，AE=AB,EFBC交AD于F，BE及AD交及G，求證：四邊形BDEF是菱形。AEFCDB23、如圖、在三角形ABC中，A=90 º，B的平分線交AC于D，交高AH于E,，DFBC,F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形。EDHA24、如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AHBC，交BD于E，垂足為H，已知CH=4，AH=8（

17、1）求菱形的周長；（2）求OE的長度25、如圖，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t0）.過點D作DFBC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當(dāng)t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.正方形練習(xí)題1、正方形ABCD的邊長為1，它的兩條對角線相交于點O，則AB

18、O的周長為_ ，面積為_2、如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點，EC=AC，AE交CD于F，則AFC=_ 2題圖 3題圖 6題圖3、如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AE=2, EF=. 點E在AB上，點F在AD上，則CF=_4、在正方形ABCD中，E是BC上一點，AE把正方形分成兩部分，且，AB=6, 則AE=_5、若正方形面積縮小為原來的，則它的邊長是原來邊長的_6、如圖，ABCD是正方形，M是BC中點，將正方形折起，使點A及點M重合，設(shè)折痕為EF, 若正方形面積為64，那么AEM的面積是_7、如圖，以正方形ABCD的對角線BD為邊作正三角形BDE,過E作EFAD,交DA的延長線

19、于F,則AEF=_；若正三角形BDE的周長是，正方形面積為_ 7題圖 8題圖 10題圖8 、如圖，在正方形ABCD中，P是AD上任一點，PEAC,PFBD,點E、F分別是垂足，BD+AC=14，則PE+PF=_9、正方形ABCD邊長為8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為_10、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，E為AD中點，P為CE的中點，則=_11、在ABC中，AB=AC，D是BC中點，DEAB,DFAC,垂足分別為E,F,只添加一個條件_,使四邊形AEDF為正方形（寫出一個條件即可）12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60

20、6;，至正方形,則旋轉(zhuǎn)后兩個正方形重疊部分的面積是_13、如圖，在正方形ABCD中，M為BC上任一點，N是CD的中點，且AM=DC+CM求證：AN平分DAM14、已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MNDM且交CBE的平分線于N. 求證：MD=MN. 若M是AB上任意一點，MD=MN還成立嗎？若成立，請證明之；若不成立，請說明理由。15、如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，過點E作AE的垂線分別交CD、AB的延長線于點F、G. 求證：BE=BG+CF16、如圖，在正方形ABCD中，PAQ是正三角形，設(shè)AB=10,求PB的長17、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角

21、線AC上任一點，BFEF,求證：BF=EF18、如圖，正方形ABCD邊長為1，E是CD的中點，點F在BC邊上移動.試判斷當(dāng)點F移到什么位置時，AE是DAF的平分線？19、如圖，在正方形ABCD中，E是DB延長線上的一點，且ECB=15°.求證：EC=BD四邊形綜合培優(yōu)題1、以ABC的邊AB、AC、BC為邊作等邊ABD、等邊ACE和等邊BCF。（1）求證四邊形ADFE是平行四邊形（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是矩形；（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADFE不存在；（4）當(dāng)ABC分別滿足什么條件時，平行四邊形是菱形、正方形2、如圖：正方形ABCD的對角線AC、BD相

22、交于點O，E是AC上的一點，連接EB，過點A作AMBE，垂足M，AM交BD于點F求證OE=OF如圖2所示，若點E在AC的延長線上，AMEB的延長線于點M，交DB的延長線于點F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由3、如圖，在梯形ABCD中，A+B=90°，AB/CD,M,N分別是AB,CD的中點，求證：MN=.4、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，ABCDMNE（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并

23、給出證明圖1ABCFDE5、在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F（1）在圖1中證明CECF；（2）若ABC90°，G是EF的中點（如圖2），求BDG的度數(shù)圖2ABCFDEG（3）若ABC120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)GCE，分別連結(jié)DB、DG（如圖3），求BDG的度數(shù)圖3ADBCEFG6、已知正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且始終保持PEPD（1）如圖1，當(dāng)點P在對角線AC上時，觀察、猜想PE及PB有怎樣的關(guān)？并證明你的結(jié)論。ABPDCE圖1（2）如圖2，當(dāng)點P運動到CA的延長線上時，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如

24、果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖3畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE及PB有怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論。ABPDCE圖2ABPDC圖3ABCDGEF7、如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCB45°，CD2，BDCD過點C作CEAB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連結(jié)EG、AF（1）求EG的長；（2）求證：CFABAF（用兩種方法證明）ABCDGEF8、以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四

25、邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)ADC=（0°90°）， 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由 9、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E、F分別是AB、DC邊的中點，AB=4，B=60°（1）求點E到BC邊的距離；(2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PMBC，垂足為M，過點M作MNAB交線段AD于點N，連接PN、探究：當(dāng)點P在線段EF上運動時，PMN的形狀是否發(fā)生變化？若不變，請求出PMN的面積和周長；若變化，請說明理由10、將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（ABC）的長直角邊及含45°角的三角尺（ACD）的斜邊恰好重合已知AB2，P是AC上的一個動點（1）當(dāng)點P運動到ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；（2）當(dāng)點P在運動過程中出現(xiàn)PDBC時，求此時PDA的度數(shù)；（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時DPBQ的面積DA