第七節(jié)偏導數(shù)的幾何應用

1、第七章第七章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學第七節(jié)第七節(jié) 偏導數(shù)的幾何應用偏導數(shù)的幾何應用 理學院數(shù)學系 主講教師：付一平1. 設空間曲線的方程設空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導式中的三個函數(shù)均可導.一、空間曲線的切線與法平面m.),(0000tttzzyyxxm 對應于對應于;),(0000ttzyxm 對應于對應于設設m 考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm ,000zzzyyyxxx 的方程為的方程為割線割線，因此，因此的方向向

2、量為的方向向量為割線割線mmzyxmm ,0,時時即即當當 tmm曲線在曲線在m處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttt ,)(,)(,)(000dzdydxdttdttdttdtt 或或法平面：過法平面：過m點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當當0 t時，

3、時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即2. 空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy )(),(, 1, 1,),(00),(00000 xxdxdzdxdytzyxmyx 切切向向量量為為處處在在,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為例例2.),(200022處的切線及法平面方程處的切

4、線及法平面方程上一點上一點，求在曲線求在曲線zyxxmzmxy 3.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxgzyxf1方方法法線線方方程程種種情情形形的的結結論論，即即得得切切再再由由第第，、方方程程組組中中求求出出可可由由隱隱函函數(shù)數(shù)求求導導法法，從從2)()(xzxy ,)()(100000 xzzzxyyyxx 和和法法平平面面方方程程. 0)()()(00000 zzxzyyxyxx也可直接用求導公式：也可直接用求導公式：的求導公式為的求導公式為確定的函數(shù)確定的函數(shù)方程方程)(),(0),(0),(xzzxyyzyxgzyxf ,),(),(),(),(zyzyzxzx

5、ggffggffzygfzxgfdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyggffggffzygfxygfdxdz 的切向量可取的切向量可取因此曲線在因此曲線在),(0000zyxm切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy0,myxyxxzxzzyzyggffggffggfft 方法方法2求微分，得求微分，得對方程對方程 0),(0),(zyxgzyxf 00dzgdygdxgdzfdyfdxfzyxzyx,21z

6、yxzyxgggnfffn ，記記,dzdydxt 切向量切向量,0021 tntn則上面方程即為則上面方程即為21/nnt 故可取切向量故可取切向量解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導并移項，得求導并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz 00222dzdydx

7、zdzydyxdx 00242)1 , 2, 1(dzdydxdzdydx處，有處，有在點在點，取切向量取切向量21/nnt 而而60611124221， kjinn,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx1. 設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxf二、曲面的切平面與法線.00的切線同在一個平面上的切線同在一個平面上處處的所有光滑曲線在的所有光滑曲線在上過點上過點曲面曲面mm 引理引理),(),(),(000tttt 曲線在曲線在m0處的切向量處的切向量證證 設設m0 (x0,y0,z0)為為曲

8、面上一定點，在曲曲面上一定點，在曲面上任取一條通過點面上任取一條通過點m0的曲線的曲線,)()()(: tztytx ntm曲曲面面方方程程，即即有有滿滿足足上上，所所以以曲曲線線上上的的點點要要在在曲曲面面由由于于曲曲線線 即有即有. 0)(),(),( tttf . 0|)(),(),(00 tttttfdtdtt 求導，得求導，得處關于處關于對上式兩邊在對上式兩邊在0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxftzyxftzyxfzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 引進向量即有引進向量即有 tn則有則有)(),()(),(0

9、0000000tzyxftzyxfyx )(),(0000tzyxfz 0 可見可見,tn 法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 由前面的討論可知曲面在由前面的討論可知曲面在m處的法向量即處的法向量即所以切平面方程為所以切平面方程為)(,()(,(00000000yyzyxfxxzyxfyx 0)(,(0000 zzzyxfz例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),(

10、xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx2. 空間曲面方程為空間曲面方程為),(yxfz 曲面在曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在m處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令,1cos22y

11、xxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx解解設設 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx

12、因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 121320202020 xzyx所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)曲面的夾角曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于如果兩個曲面在該點的夾角等于 90 度，則稱這兩個曲面在度，則稱這兩個曲面在該點正交

13、。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。面為正交曲面。例例 7 證明對任意常數(shù)證明對任意常數(shù) ，球面，球面 與錐與錐面面 是正交的。是正交的。2222zyx,2222tgzyx即即證明證明球面球面 的法線方向數(shù)為的法線方向數(shù)為0),(2222zyxzyxfzyx2,2,2zyx,錐面錐面 的法線方向數(shù)為的法線方向數(shù)為0tg),(2222zyxzyxg2tg,zyx22020202000000tg)tg,(),(zyxzyxzyx在兩曲面交線上的任一點在兩曲面交線上的任一點 處，兩法向量的內(nèi)積處，兩法向量的內(nèi)積),(000zyx因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面