高一數(shù)學(xué)數(shù)列解題方法

1、數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：數(shù)列的應(yīng)用學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)：目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 等差數(shù)列、等比數(shù)列公式、性質(zhì)的綜合及實(shí)際應(yīng)用；2. 把握常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3. 能綜合應(yīng)用等差、等比數(shù)列的公式和性質(zhì)，并能解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.4. 用數(shù)列學(xué)問(wèn)分析解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題.重點(diǎn)：1. 把握常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3. 用數(shù)列學(xué)問(wèn)解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題難點(diǎn)：用數(shù)列學(xué)問(wèn)解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)問(wèn)要點(diǎn)梳理學(xué)問(wèn)點(diǎn)一：通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和的關(guān)系任意數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；留意： 由前 n 項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：（ 1）求，（ 2）求出當(dāng)

2、n2 時(shí)的，（ 3）假如令n2 時(shí)得出的中的 n=1 時(shí)有成立，就最終的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個(gè)形式，否就就只能寫成分段的形式.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二：常見(jiàn)的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1. 迭加累加法：，就，2. 迭乘累乘法：，就，學(xué)問(wèn)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題1. 數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與討論的一個(gè)重要內(nèi)容, 解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型, 有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列學(xué)問(wèn)建立數(shù)學(xué)模型.2. 建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.仔細(xì)審題，精確懂得題意，達(dá)到如下要求：明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和

3、數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系， 將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將已知與所求聯(lián)系起來(lái)，據(jù)題意列出滿意題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.規(guī)律方法指導(dǎo)1. 由特別到一般及由一般到特別的思想是解決數(shù)列問(wèn)題的重要思想；2. 數(shù)列是一種特別的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決. 如通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式等 .3. 加強(qiáng)數(shù)列學(xué)問(wèn)與函數(shù)、不等式、方程、對(duì)數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合 . 解決這些問(wèn)題要留意：（ 1）通過(guò)學(xué)問(wèn)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地把握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（ 2）通過(guò)解數(shù)列與其他學(xué)問(wèn)的綜合問(wèn)題，培育分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜

4、合才能 .精析類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1 在數(shù)列中，求.解析： ，當(dāng)時(shí)，將上面?zhèn)€式子相加得到：（），當(dāng)時(shí)，符合上式故.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，如為常數(shù)， 就數(shù)列是等差數(shù)列； 如不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式不是等差數(shù)列.2. 當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如的解析式，而的和是可求的，就可用多式累（迭）加法舉一反三：【變式 1】已知數(shù)列，求.【答案】【變式 2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.解析： 由題意，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式.總結(jié)升華：1.在數(shù)列中，如為常數(shù)且，就數(shù)列是等比數(shù)列；如不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)數(shù)列不是等比數(shù)列 .2

5、如數(shù)列有形如舉一反三：的解析關(guān)系，而的積是可求的，就可用多式累（迭）乘法求得.【變式 1】在數(shù)列中，求.【答案】【變式 2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】 由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3 數(shù)列中，,，求.思路點(diǎn)撥： 對(duì)兩邊同除以得即可 .解析： ，兩邊同除以得，成等差數(shù)列，公差為d=5，首項(xiàng)，.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除以可使等式左邊顯現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列 . 其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng) .2如數(shù)列有形如的關(guān)系，就可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式 1】數(shù)列中，求.【答案】【變

6、式 2】數(shù)列中，,，求.【答案】.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4 已知數(shù)列中，求.法一： 設(shè)，解得即原式化為設(shè)，就數(shù)列為等比數(shù)列，且法二： 由得：設(shè)，就數(shù)列為等比數(shù)列法三：， 總結(jié)升華：1一般地，對(duì)已知數(shù)列的項(xiàng)滿意，（為常數(shù)，） , 就可設(shè)得利用已知得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng) . 其次種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造這兩種方法均是常用的方法.2如數(shù)列有形如（ k、b 為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，就可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式 1】已知數(shù)列中，求【答案】 令，就，即，為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比，故.【變式 2】已知數(shù)列滿意, 而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】 ，設(shè)，就，即，數(shù)

7、列是以為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列，.類型五：和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5 已知數(shù)列中，是它的前n 項(xiàng)和，并且,.(1) 設(shè), 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2) 設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和 .解析：（ 1）由于，所以以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得即，變形得由于，所以由此可知，數(shù)列是公比為2 的等比數(shù)列 .由,所以,所以,所以.（ 2），所以將代入得由此可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)，故.（ 3），所以當(dāng) n 2 時(shí)，由于也適合此公式，故所求的前 n 項(xiàng)和公式是.總結(jié)升華： 該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問(wèn)題，解題時(shí)，要留意利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理轉(zhuǎn)換，將非等

8、差、等比差、等比數(shù)列，求得問(wèn)題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判定的等差或等比數(shù)列，這的常見(jiàn)策略 .舉一反三：【變式 1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為 1，前 n 項(xiàng)和滿意.（ 1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（ 2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式 .【答案】（ 1），又，是一個(gè)首項(xiàng)為1 公比為的等比數(shù)列；（ 2）是一個(gè)首項(xiàng)為1 公比為的等差比數(shù)列【變式 2】如,【答案】 當(dāng) n2 時(shí)，將代入 ，求.,整理得兩邊同除以得（常數(shù)）是以為首項(xiàng)，公差d=2 的等差數(shù)列，.【變式 3】等差數(shù)列中，前 n 項(xiàng)和，如. 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.【答案】 為等差數(shù)列，公差設(shè)為,如，就,.

9、,，, ,- 得類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6. 在始終線上共插13 面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上， 面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路點(diǎn)撥：此題求走的總路程最短，是一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題，而如何求和是關(guān)鍵，應(yīng)先畫一草圖，討論他從第一面旗到另一程，然后求和.解析： 設(shè)將旗集中到第x 面小旗處，就從第一面旗到第面旗處，共走路程為了，回到其次面處再到第面處是，回到第三面處再到第面處是，從第面處到第面處取旗再回到第面處的路程為， 從第面處到第面處取旗再回到第面處，路程為20× 2，總的路程為：，時(shí),有最小值答

10、：將旗集中到第7 面小旗處，所走路程最短.總結(jié)升華： 此題屬等差數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式 1】某企業(yè)12 月份的產(chǎn)值是這年1 月份產(chǎn)值的倍，就該企業(yè)年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（）ab c d 【答案】 d；解析： 從 2 月份到 12 月份共有11 個(gè)月份比基數(shù)（1 月份）有產(chǎn)值增長(zhǎng)，設(shè)為，就【變式 2】某人 1 月 31 日存入如干萬(wàn)元人民幣，年利率為，到 1 月 31 日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為就該人存款的本金為（）a1.5 萬(wàn)元b 2 萬(wàn)元c 3 萬(wàn)元d 2.5 萬(wàn)元【答案】 b；解析： 本金利息利率，利息利息稅稅率利息

11、（元），本金（元）【變式 3】依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，猜測(cè)某種家用商品從年初開頭的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬(wàn)件）近似地滿意. 按比例猜測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)萬(wàn)件的月份是 a5 月、 6 月b 6 月、 7 月c 7 月、 8 月d 9 月、 10 月【答案】 c；解析： 第個(gè)月份的需求量超過(guò)萬(wàn)件，就解不等式，得，即.【變式 4】某種汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10 萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9 千元，汽車的修理費(fèi)平均為第一年4 千元，第三年6 千元，依次成等差數(shù)列遞增，問(wèn)這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【答案】 設(shè)汽車使用年限為年，為使用該汽車平均費(fèi)用.當(dāng)且僅當(dāng)，即（年）時(shí)等

12、到號(hào)成立.因此該汽車使用10 年報(bào)廢最合算 .【變式 5】某市底有住房面積1200 萬(wàn)平方米， 方案從起， 每年拆除20 萬(wàn)平方米的舊住房. 假定該市每年新建住房面積是上積的 5%.（ 1）分別求底和底的住房面積；（ 2）求 2026 年底的住房面積. （運(yùn)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01 ）【答案】（ 1） 底的住房面積為12001+5% 20=1240（萬(wàn)平方米），2底的住房面積為12001+5% 201+5% 20=1282（萬(wàn)平方米）， 底的住房面積為1240 萬(wàn)平方米；底的住房面積為1282 萬(wàn)平方米 .（ 2） 底的住房面積為12001+5% 20 萬(wàn)平方米，22底的住房面

13、積為12001+5% 201+5% 20 萬(wàn)平方米，3底的住房面積為12001+5% 201+5% 201+5% 20 萬(wàn)平方米，201918192026 年底的住房面積為12001+5% 201+5% 201+5% 20萬(wàn)平方米20即 12001+5% 201+5% 201+5% 201+5% 20 2522.64 （萬(wàn)平方米）， 2026 年底的住房面積約為2522.64 萬(wàn)平方米 .高考題萃1（ 2021 四川）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）證明：是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式 .解析：（）由于，由知，得所以，（）由題設(shè)和式知所以是首項(xiàng)為2，公比為2 的等比數(shù)列 .（）2（ 2021 全國(guó)

14、 ii ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）如，求的取值范疇解析：已知，（）依題意，即，由此得因此，所求通項(xiàng)公式為，（）由知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求的的取值范疇是3（ 2021 天津）已知數(shù)列中，且（）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）如是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)解析：（）由題設(shè)，得，即又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（）由（），將以上各式相加，得所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)明顯成立（）由（），當(dāng)時(shí)，明顯不是與的等差中項(xiàng)，故由可得，由得整理得，解得或（舍去），于是另一方面，由可得所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)4（ 2021 陜西）已知數(shù)列的首

15、項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的，；（）證明：解析：（），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立另解： 設(shè)，就，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值 原不等式成立（）由（）知，對(duì)任意的，有令，就，原不等式成立學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1如數(shù)列中，且n 是正整數(shù) ，就數(shù)列的通項(xiàng)= .2對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在 x 2 處的切線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，就數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式是 3. 設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，數(shù)列的前三項(xiàng)依次是，且，就數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為 .4. 假如函數(shù)滿意：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，且，就5已知數(shù)列中，, ，求通項(xiàng)公式.6已知數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 .7已知

16、各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿意，且，求的通項(xiàng)公式 .8設(shè)數(shù)列滿意，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和才能提升：9數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和10數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為,已知是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，試比較與的大小關(guān)系 .11某國(guó)采納養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目是一個(gè)公差為的等差數(shù)列 與此同時(shí)， 國(guó)家賜予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采納固定利率，而且運(yùn)算復(fù)假如固定年利率為，那么， 在第年末， 第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，其次年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)槭镜降谀昴┧塾?jì)的儲(chǔ)備金總額（）寫出與的遞推關(guān)系式；

17、（）求證：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列12 底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從開頭，方案每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化綠化 .（ 1）設(shè)該縣的總面積為1， 底綠化面積為，經(jīng)過(guò) n 年后綠化的面積為，試用表示；（ 2）求數(shù)列的第 n+1 項(xiàng)；（ 3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010 ， lg3=0.4771 ）綜合探究：13已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x 軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)（）用表示；（）如，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）如，是數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，證明.參考答案：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.答案：

18、解析： 由題設(shè)的遞推公式可得即,2n+1答案： 2-2解析：，nn曲線在 x=2 處的切線的斜率為，切點(diǎn)為（ 2， -2 ）,所以切線方程為y+2 =kx-2,令 x=0 得, 令.23nn+1數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 2+2 +2 +2 =2-23.答案： 9784.答案：5解析： 將遞推關(guān)系整理為兩邊同除以得當(dāng)時(shí)，將上面?zhèn)€式子相加得到：，即，（） .當(dāng)時(shí)，符合上式故.6.解析： 由題設(shè)所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即的通項(xiàng)公式為，7.解析：由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得因，故，即不成立，舍去或，因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為8.解析：（），當(dāng)時(shí)， - 得，在中，令，得符合上式（）， - 得即，才能提升：9 解析：（）， 又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得：又也滿意上式，10.解析： 為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為,就有,，,，即（ 1）當(dāng)時(shí)，,而,時(shí)，.（ 2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，（ 1）在時(shí)恒有（ 2）在時(shí)，如就；如就；如就.11.解析：（）（），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)