對面積的曲面積分31589

1、一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法 10.4 對面積的曲面積分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 設(shè)為一物質(zhì)曲面 其面密度為r(x y z) 求其質(zhì)量 v物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題 求質(zhì)量的近似值 取極限求質(zhì)量的精確值 s1 s2 sn (si也代表曲面的面積) 把曲面分成n個小塊 下頁iiiinis),(1r(i, i, i )是si上任意一點) iiiinism),(lim10r(為各小塊曲面直徑的最大值) 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 把任意分成n小塊 s1 s2 sn (si也代表曲面的面積)在si上任意一點(i i i )v對面積

2、的曲面積分的定義 下頁 則稱此極限為函數(shù) f(x y z) 在曲面上對面積的曲面 設(shè)曲面是光滑的 函數(shù)f(x y z)在上有界 積分或第一類曲面積分 記作dszyxf),( 即 iiiinisfdszyxf),(lim),(10 iiiinisf),(lim10 如果當各小塊曲面的直徑的最大值0時 極限 總存在 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁在積分中 f(x y z)叫做被積函數(shù) 叫做積分曲面 如果f(x y z)在光滑曲面上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的 今后總假定f(x y z)在上連續(xù) 如果是分片光滑的 例如可分成兩片光滑曲面1及2(記作12) 就規(guī)定說明 對面積的曲面積分有對弧長的曲線積類似的

3、性質(zhì) 首頁v對面積的曲面積分的定義 iiiinisfdszyxf),(lim),(10 2121),(),(),(dszyxfdszyxfdszyxf 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 二、對面積的曲面積分的計算法下頁 面密度為f(x y z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為 另一方面 如果由方程zz(x y)給出 在xoy面上的投影區(qū)域為d 那么曲面的質(zhì)量元素為 根據(jù)元素法 曲面的質(zhì)量為 dszyxfsfmiiiini),(),(lim10 dxdyyxzyxzyxzyxfdayxzyxfyx),(),(1),(,),(,22 dyxdxdyyxzyxzyxzyxfm),(),(1),(,22 因此 dyxdxdy

4、yxzyxzyxzyxfdszyxf),(),(1),(,),(22 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁v化曲面積分為二重積分 設(shè)曲面的方程為zz(x y) 在xoy面上的投影區(qū)域為dxy 函數(shù)zz(x y)在dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 被積函數(shù)f(x y z)在上連續(xù) 則 討論 如果積分曲面由方程yy(z x)給出或由xx(y z)給出 那么 f(x y z)在上對面積的曲線面積分如何計算?提示 對于 yy(z x) 有 zxdxzdzdxxzyxzyzxzyxfdszyxf),(),(1),(,),(22 xydyxdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf),(),(1),(,),(22 上頁下頁

5、鈴結(jié)束返回首頁 解 下頁 的方程為222yxaz-dxy x2y2a2-h2 例 1 計算曲面積分dsz1 其中 是球面 x2y2z2a2 被平面zh(0ha)截出的頂部 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解 下頁 的方程為222yxaz- dxy x2y2a2-h2 222yxaxzx- 222yxayzy- 因為 所以 dxdyyxaadxdyzzdsyx222221- -2002222harardrdahaaln2-xyddxdyyxaadsz2221 例 1 計算曲面積分dsz1 其中 是球面 x2y2z2a2 被平面zh(0ha)截出的頂部 -xyddxdyyxaadsz2221-2002222harardrdahaaln2 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁z0及xyz1所圍成的四面體的整個邊界曲面 解 整個邊界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次記為1、2、3及4 于是 結(jié)束 例 2 計算曲面積分xyzds 其中 是由平面 x0 y0 4321xyzdsxyzdsxyz