人教a版必修4學(xué)案：2.3.1平面向量基本定理(含答案)

1、數(shù)學(xué)大師 §2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2. 3.1 平面向量基本定理自主學(xué)習(xí)知識梳理1 .平面向量基本定理（1）定理：如果 ei, 金是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對于這一平面內(nèi)的 向量a, 實(shí)數(shù) ？i,紅，使a =.（2）基底：把 的向量ei, e2叫做表示這一平面內(nèi) 向量的一組基底.2 .兩向量的夾角與垂直（1）夾角：已知兩個(gè) a和b,作OA = a , OB = b，則 = 0 （0 V 陛180°）,叫做向量 a與b的夾角.范圍：向量a與b的夾角的范圍是 .當(dāng)0= 0°時(shí)，a與b.當(dāng)0= 180°時(shí)，a與b.（2）垂直：如果a與b的夾角是

2、 ,則稱a與b垂直，記作 .口自主探究設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量.通過作圖法可以證明：一定存在一組實(shí)數(shù) （4，尬）使a=歸e1 +力及成立，并且（比 物是唯一的，請你根據(jù) 圖1和圖2敘述這一過程.對點(diǎn)講練知識點(diǎn)一對基底概念的理解陟如果e1，e2是平面“內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）41+2（米 衣R）可以表不平面 a內(nèi)的所有向量；對于平面a內(nèi)任一向量a,使a= 21+2的實(shí)數(shù)對（入山有無窮多個(gè)；若向量 4e1+即2與 泅+區(qū)e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 使得 加e1+即2= 乂泅 + e2）；若存在實(shí)數(shù) 入使得 41+2=0,則|1=

3、0.A.B.C.D.回顧歸納 考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線.此外，一 個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來.變式訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：e與 e1 + e2；e1一2e2 與 e2 2e1；e1 一2e2 與 4e22e1；e1+e2 與 e1 一e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是 .（寫出所有滿足條件的序號） 知識點(diǎn)二用基底表示向量【仞2 如圖，梯形ABCD中，AB/CD,且AB = 2CD, M、N分別是 DC和AB的中點(diǎn), 若 AB = a, AD=b 試用 a, b 表示

4、DC、BC> MN.回顧歸納 用基底表示向量的關(guān)鍵是利用三角形或平行四邊形將基底和所要表示的向 量聯(lián)系起來.解決此類題時(shí)，首先仔細(xì)觀察所給圖形. 借助于平面幾何知識和共線向量定理, 結(jié)合平面向量基本定理解決.變式訓(xùn)練2 如圖，已知 ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E, F為BC的三等分點(diǎn)， 若AB = a, AC= b,用 a, b 表示 AD, AE, AF.知識點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用31如圖所示，在 ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC, AM與BN相交于點(diǎn) P,求證：AP ： PM = 4 ： 1.回顧歸納 (1)充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點(diǎn)共線

5、，注重方程思想的應(yīng)用；(2)用基底表示向量也是運(yùn)用向量解決問題的基礎(chǔ)，應(yīng)根據(jù)條件靈活應(yīng)用，熟練掌握.變式訓(xùn)練3如圖所示，已知 AOB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，OD = 2Db, DC和OA交于點(diǎn)E,設(shè)OA=a, OB= b.(1)用a和b表示向量OC、DC;(2)若oE=肥)A,求實(shí)數(shù)入的值.9課堂小結(jié)1.對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：基底是兩個(gè)不共線向量； 基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.2,準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解

6、，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決課時(shí)作業(yè)、選擇題12e1 + e2, e1 + 2e2e1 + e2, e1 e2）60°D. 1201.若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()A . e1 e2, e2 e1B .C. 2e23e1,6e1一4e2D.2 .等邊 ABC中，aB與BC的夾角是(A. 30°B. 45°C.3 .下面三種說法中，

7、正確的是 ()一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量.A.B.C.D.4.在 ABC 中，D 于（）A.1e1 + 3e244C.Te1 Te244E, F依次是BC的四等分點(diǎn)，以AB = e1，AC=e2為基底，則AF等B.4e1+4e2D.：e1+L445,已知 ABC和點(diǎn)M滿足mA+施+ MC = 0.若存在實(shí)數(shù) m使得AB+AC=mAM成立, 則m的值為()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空題6 .設(shè)向量 m=2a 3b, n= 4a- 2b, p=3a+2b,試用 m, n

8、表示p的結(jié)果是 7 .在 ABC 中，AB = c, AC=b.若點(diǎn) D 滿足BD = 2dC,則AD =.三、解答題8 .如圖在平行四邊形 ABCD中，M, N分別為DC, BC的中點(diǎn)，已知AM = c, AN = d, 試用c, d表示AB, ad.9 .如圖所示，在AOAB中，OC = 4oA, oD = 1OB, AD與BC交于點(diǎn) M ,設(shè)OA= a, OB =b,以a、b為基底表示 OM.§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2. 3.1平面向量基本定理答案知識梳理1. (1)不共線 任意 有且只有一對?1e1+江e2(2)不共線所有2. (1)非零向量/AOB 0,180

9、°同向反向 (2)90 ° a±b自主探究解 在平面內(nèi)任取一點(diǎn) O.作OA=e1, OB = e2, O = a.過點(diǎn)C作平行于直線 OB的直線, 與直線OA交于點(diǎn)M;過點(diǎn)C作平行于直線 OA的直線，與直線 OB交于點(diǎn)N.由共線向量定理知，存在實(shí)數(shù)為、次使 尸尸,一 -t 廣OM=?iei, ON= ?2e2,由于 OC =OM+ ON,所以 a= Hei + 22e2.卜面說明這里的為、？2是唯一的.設(shè) a= X iei + X 2e2為ei+ 2ef22=入'iei+ 入'2e2.（萬一Xi' ）ei+（江一忒）e2= 0,ei、e2

10、不共線./一T =江一江=0.K = i 江'=淪（九，M）是唯一存在的.對點(diǎn)講練【仞Md B 由平面向量基本定理可知,是正確的.對于，由平面向量基本定理可知, 基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的.一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此對于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即方=尬=3=22= 0時(shí)，這樣的 入有無數(shù)個(gè)，故選B.變式訓(xùn)練i解析 對于 4e2 2ei = - 2ei + 4e2= 2(ei 2e2),1- ei-2e2與4e22ei共線，不能作為基底.陟21解是平行四邊形.如圖所示，連接 CN,則四邊形ANCD_.一 一 i一 i則 DC = AN=2AB = 2a,一 一 一 一 i

11、一BC=NC-NB= AD-2ABib 2a，一 一 一 一 i 一MN = CN-CM = -AD-CDi =-AD-2變式訓(xùn)練2 f i - = AB+2BC一彳 AB =：a b. 24解 AD = AB+ BD=a+、i!_a)= 2a+ 2b ；一 一 i 一AE = AB + BE = AB + 3BC =a + 3(b-a)2 i= 3a+3b；一 一 一 一 2 一 2AF = AB+BF = AB + 3BC =a + 3(b-a)=% +2b.33陟31 解設(shè)AB=b, AC=c,則AM = 1b + 1c, >AN=|Ac, BN=E3A+>AN = |c-b

12、. 2233. ap/i Am, Bp / BN,存在n代r,使得AP=瓜M, Bp=廊,又AP+PB = AB,一 、 4、11由入,b+ 2c3 3。一 b = b 得2.冷M腳=AB,2 計(jì)b + 2 卜 3 科 c= b.又與c不共線.4入=5；122人一§尸0.，.4 f 一故 AP=AM,即5變式訓(xùn)練3解且 oD=2oB,解得AP ： PM = 4 ： 1.(1)由題意，A是BC的中點(diǎn),._一一. f f f由平行四邊形法則，OB+ OC = 2OA.一.OC=2OA-OB=2a-b, DC = OC OD=(2 a b) 3b = 2a 3b.(2)EC / DC. 又

13、EC= OC- OE =(2a- b)-后一 5= (2-4ab, DC = 2a-b, 32一入1. =253課時(shí)作業(yè)3.B1. D 2.D4. A /D, E, F依次是BC的四等分點(diǎn), =1(,3 +AC) = 1(e1 + e2),f T r±. AF = AE+ EF11 一BC= AC AB= e2 e1=2(e1 + e2) + BC11=2(e1 + e2) + 4(e2-e1)1一，3-4e1+4e2.5. B 設(shè)BC的中點(diǎn)為 D,由已知條件可得 M為4ABC的重心，AB + AC=2AD, 2 f -又AM = §AD,故 m=3.7136. p= m

14、+ -8n解析 tsi p = xm + yn ,貝 U 3a+2b = x(2a3b) +y(4a2b)= (2x+ 4y)a+(3x 2y)b_72x+ 4y= 3x= 4? 小-3x-2y=2、，13y= 8217.3b +3c解析 AD = AB+ BD = AB+ -BC 3= Ab+|(ac-Ab)3=1AB + 2AC = 2b+ 1c. 3333-、心8 .解設(shè)AB=a, AD = b,因?yàn)镸, N分別為DC, BC的中點(diǎn), 所以 BN=|b, DM =|a,c= b + 2a1 d= a + |ba = 3 2d c,解得 2b = " 2c- d3rr ->2-2即AB=3(2dc), AD = 3(2c d).- 、9 .解 設(shè)OM = ma+nb (m, n