高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書專題十空間幾何體

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題十空間幾何體見同學(xué)用書 p63見同學(xué)用書 p631 常見的空間幾何體常見的幾何體有：棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球2 空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是正視圖、側(cè)視圖、俯視圖3 空間幾何體的表面積與體積1棱柱的體積 v sh其中 s 表示棱柱的底面積， h 表示棱柱的高，棱錐的體積v 1，其中 s、h 分別表示棱錐的底面積和高sh 32圓柱的表面積 s 2r r h、體積 v r2·h，其中 r 、h 分別為圓柱底面的半徑和高3圓錐的表面積 s rl r、體積 v13r 2h，其中 r 、l 、h 分學(xué)習(xí)必備歡迎下載別為圓錐底面的半徑、母線長、錐高4圓

2、臺的表面積 s r 2 r2 rl rl、體積 v 1ss3s sh，其中 r、r、l 、h 分別為圓臺上底面的半徑、下底面的半徑、母線長、圓臺的高， s和 s分別為上、下底面的面積5球的表面積 s4 r2、體積 v4r3，其中 r 為球的半徑 3見同學(xué)用書 p63考點一空間幾何體的三視圖考點精析1在描畫三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線畫出，即“眼見為實，不見為虛”，在三視圖的判定與識別中要特殊留意其中的虛線2由空間幾何體的三視圖畫直觀圖時，留意抓住“長對正，高平齊，寬相等”的基本原就， 由三視圖畫出直觀圖后要驗證其是否正確例 1 12021·北京卷 某四

3、棱錐的三視圖如下列圖，該四棱錐最長棱的棱長為 學(xué)習(xí)必備歡迎下載a 1b.2c.3d 2考點： 由三視圖仍原實物圖分析： 由幾何體的三視圖畫出直觀圖，并依據(jù)直觀圖的特點判定和運算解析： 將三視圖仍原成幾何體的直觀圖，如圖，由三視圖可知，底面 abcd 是邊長為 1 的正方形， sb底面 abcd，sb ab 1，由勾股定理可得 sasc 2，sd sb2 db2 12 3，故四棱錐中最長棱的棱長為 3，應(yīng)選 c.答案： c點評： 此題考查了幾何體的三視圖，考查了規(guī)律推理才能、空間想象才能，求解運算才能，是基礎(chǔ)題例 1 22021 ·湖北卷 在如下列圖的空間直角坐標(biāo)系oxyz 中，一個四

4、周體的頂點坐標(biāo)分別為0， 0，2， 2， 2，0，1，2， 1， 2， 2， 2，給出的編號為，的四個圖，就該四周體的正視圖和俯視圖分別為 學(xué)習(xí)必備歡迎下載a 和b和c和d和考點： 畫出三視圖分析：在坐標(biāo)系中， 標(biāo)出已知的四個點， 依據(jù)三視圖的畫圖規(guī)章，可得結(jié)論解析：在坐標(biāo)系中， 標(biāo)出已知的四個點， 依據(jù)三視圖的畫圖規(guī)章，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為 .答案： d規(guī)律總結(jié)縱觀這幾年的高考試題， 有關(guān)三視圖的內(nèi)容已成為高考的一個熱點，試題主要以挑選題、填空題的形式顯現(xiàn)，主要考查三視圖的識別與判定問題，以及逆向思維才能變式訓(xùn)練【1 1】 2021 ·江西卷 一幾何體的直觀圖如下列圖，

5、以下給出的四個俯視圖中正確選項學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析： 該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體， 且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選b.答案： b考點二空間幾何體的表面積與體積考點精析1求表面積與體積的關(guān)鍵是分清幾何體是多面體仍是旋轉(zhuǎn)體，是否能直接利用公式求解， 不能用公式直接求解的可采納割補(bǔ)法、等價轉(zhuǎn)化法求解，留意表面積與側(cè)面積的區(qū)分2常見問題是幾何體的表面積與體積的運算公式記憶不精確，.導(dǎo)致錯用公式，特殊是錐體體積公式中往往簡潔漏掉13例 2 12021·安徽卷 一個四周體的三視圖如下列圖，就該四

6、周體的表面積是 a 13b 1 22c 23d 22學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點： 由三視圖求表面積分析： 把三視圖仍原成直觀圖，再運算其表面積解析： 如圖，該四周體有兩個面為等腰直角三角形，另外兩個面為正三角形故該四周體的表面積×s 2×1×2×2 2×1222×2×3 23.2答案： c點評： 此題考查了由三視圖求幾何體的表面積，依據(jù)三視圖判定幾何體的外形及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵例 2 22021·天津卷 一個幾何體的三視圖如下列圖單位： m，就該幾何體的體積為 m3 .考點： 由三視圖求幾何體的體積分析： 先

7、通過三視圖仍原幾何體，再利用體積公式求解 解析： 該三視圖對應(yīng)的幾何體是一個圓柱和兩個圓錐的組合體從題圖中所給數(shù)據(jù)知其體積為2×1× ×312× 1 × 12× 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載2832 3.8 答案：3點評： 此題考查了由三視圖求幾何體的體積，依據(jù)三視圖判定幾何體的外形及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵例 2 32021·河北模擬 一個幾何體的三視圖及尺寸如下列圖，就該幾何體的外接球半徑為a. 12b.31617c. 4d. 17 4考點： 球內(nèi)接多面體；由三視圖仍原實物圖分析： 由三視圖可知：該幾何體是一個如下列圖的三棱

8、錐，它是一個正四棱錐的一半，其中底面是一個兩直角邊都為6的直角三角形，高為 4.設(shè)其外接球的球心o 為 o，就其必在高線 ef 上，利用外接球的半徑建立方程，據(jù)此方程可求出答案學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析： 由三視圖可知：該幾何體是一個如下列圖的三棱錐，它是一個正四棱錐的一半，其中底面是一個兩直角邊都為6的直角三角形，高 ef 4.設(shè)其外接球的球心為o，外接球半徑為r，就 o 點必在高線 ef上，就在直角三角形aof 中， ao2of2af2 efeo2 af2， 即 r24r2 322，.解得： r174答案： c點評： 此題考查由三視圖仍原實物圖考查多面體的外接球的運算，考查空間想象力這是一個綜合

9、題目規(guī)律總結(jié)柱、錐、臺、球體及其簡潔的組合體的表面積與體積問題是歷年 高考必考內(nèi)容， 把簡潔幾何體的表面積、 體積問題與三視圖結(jié)合在一起是近幾年的熱點問題，而多面體與球的組合問題特殊是球的外接與內(nèi)切問題 既是近幾年的熱點問題，又是難點問題簡潔幾何體的表面積與體積的考查， 一般為中低檔試題， 但近年有加大難度的趨勢；學(xué)習(xí)必備歡迎下載且創(chuàng)新力度較大，一般以挑選題、填空題為主變式訓(xùn)練【21】2021 ·全國卷 已知 a，b 是球 o 的球面上兩點， aob 90°， c 為該球面上的動點，如三棱錐oabc體積的最大值為36，就球 o 的表面積為 a 36b 64c 144d 25

10、6解析： 設(shè)球 o 的半徑為 r， a， b 在球 o 的球面上且 aob90°， s121122 aob r， vo abc vc aob s aob·h rh其中 h 是 c36到平面 aob 的距離 ，所以三棱錐 oabc 的體積最大，即h 最大，又 c 在球面上，故 h 最大值為 oc r， v的最大值為 13，即13 36， r66o abcrr6，故 s 球 4r2144 .應(yīng)選 c.答案： c【2 2】 2021 ·福建卷 某幾何體的三視圖如下列圖，就該幾何體的表面積等于 學(xué)習(xí)必備歡迎下載a 822b1122c 14 22d15解析： 方法 1由三視

11、圖可知，該幾何體是直四棱柱且底面為直1角梯形， 所以 s 表 2×2× 12×1 1× 2×22× 2 2×2 1122，應(yīng)選 b.方法 2由三視圖可知， 該幾何體是直四棱柱且底面是直角梯形，所以 s ss× 21 212×211 2×1× 311表側(cè)上底 2× 22，應(yīng)選 b.答案： b見同學(xué)用書 p66例 如下列圖，在正三棱柱abc a1b1c1 中， ab3，aa14，m 為 aa1 的中點， p 是 bc 上一點，且由 p 沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱cc1 到 m 的最短路線長

12、為29，設(shè)這條最短路線與cc1 的交點為 n.求： 1該三棱柱側(cè)面綻開圖的對角線長；2pc 與 nc 的長學(xué)習(xí)必備歡迎下載考場錯解： 第2問：過 m 作 mn cc1 于 n，就由已知有 mnnp 3 np29， np293， 此時 n 為 cc1 的中點，nc 2，pcnp2 nc234629.專家把脈： 依題意有mn np的最小值為29，而錯解中認(rèn)為mn 最小，就 mnnp 就最小，這是錯誤的對癥下藥： 1正三棱柱abca1b1c1 的側(cè)面綻開圖是一個長為9，寬為 4 的矩形，其對角線長為924297.2如下列圖，將側(cè)面bb1c1c 繞棱 cc1 旋轉(zhuǎn) 120°，使其與側(cè)面aa1

13、c1c 在同一平面上，點p 運動到 p1 的位置，連接mp1，就 mp1就是由點 p 沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱cc1 到點 m 的最短路線設(shè) pc x，就 p1c x， 在 rtmap1 中，由勾股定理得 3x2 2229，求得 x2，ncp1c2 pcp1c2，map1a5，4 nc5.專家會診： 棱柱、棱錐、球是幾何體中的重要載體，學(xué)習(xí)中除了學(xué)習(xí)必備歡迎下載堅固把握有關(guān)概念、 性質(zhì)、面積體積公式之外， 仍要敏捷運用有關(guān)學(xué)問進(jìn)行位置的判定與論證， 進(jìn)而達(dá)到運算的目的 在運算時要留意把某些平面圖形分別出來運用平面幾何的學(xué)問來進(jìn)行運算， 這是立體幾何中運算問題的重要方法和技巧見同學(xué)用書 p135一、挑選

14、題1 2021 ·陜西卷 一個幾何體的三視圖如下列圖，就該幾何體的表面積為 a 3b 4c 2 4d 3 4解析： 由三視圖可知該幾何體的直觀圖是截去一半的圓柱，其表面積為 s 2 ×2×1 ×212 2×23 4.答案： d2 2021 ·廣西卷 正四棱錐的頂點都在同一球面上，如該棱錐的高為 4，底面邊長為2，就該球的表面積為 81a.4b16學(xué)習(xí)必備歡迎下載c 9d.27 4解析： 設(shè)球的半徑為 r，又棱錐的高為4，底面邊長為2， r2 4 r222， r 94球的表面積為4·9 28144.答案： a3 2021 &#

15、183;北京一模 某簡潔組合體的三視圖如下列圖，就該組合體的體積為 23a.3 2b.433 2c.2332d.833 2解析： 由三視圖知，幾何體是一個簡潔的空間組合體，前面是半個圓錐，圓錐的底面是半徑為2 的圓，母線長是4，依據(jù)勾股定理知圓錐的高是4222 23，學(xué)習(xí)必備歡迎下載×半個圓錐的體積是 121× ×322× 23 43 ，3后面是一個三棱錐，三棱錐的底面是底邊長為4、高為 2 的等腰三角形，三棱錐的高是23，×三棱錐的體積是 1314×2× 23 83，×23438343幾何體的體積是 2333答案

16、： b4 2021 ·雅禮模擬 在斜三棱柱 abc a1b1c1 中， a0，b0 分別為側(cè)棱 aa1， bb1 上的點，且知 bb0 a0a1，過 a0，b0，c1 的截面將三棱柱分成上下兩個部分體積之比為 a 21b43c 32d 11解析： 設(shè)三棱柱 abc a1b1c1 的體積為 v.側(cè)棱 aa1 和 bb1 上各有一動點 a0， b0 滿意 bb0 a0a1，四邊形 a0b0ba 與四邊形 a0b0b1a1 的面積相等故四棱錐 c1 a0b0b1a1 的體積等于三棱錐 c1a1b1a 的體積等于1v.就分成的上部分體積等于32v.3故過 a0， b0，c1 三點的截面把棱柱

17、分成上下兩部分，就其體積學(xué)習(xí)必備歡迎下載比為 2 1.答案： a5 2021 ·黃岡模擬 某幾何體的正視圖與俯視圖如下列圖，如俯視圖中的多邊形為正六邊形，就該幾何體的側(cè)視圖的面積為a. 152b633c. 33d 432解析：側(cè)視圖由一個矩形和一個等腰三角形構(gòu)成，矩形的長為 3，寬為 2，面積為 3×26.等腰三角形的底邊為3，高為3，其面積為1×3×3，所以側(cè)視圖的面積為6 23152 2 ，應(yīng)選 a.答案： a6 2021 ·長郡三模 某幾何體的三視圖 單位： cm如下列圖，就該幾何體最長的一條側(cè)棱長度是a 5 cmb.27cmc.29cm

18、d.31cm學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析： 由三視圖知幾何體為四棱錐， 且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為直角梯形，其直觀圖如圖：pa 2， ab 2， cd4，ad3， acad2 cd2 5，在直角三角形pac 中， pcpa2ac229.答案： c7 2021 ·長郡一模 四棱錐pabcd的五個頂點都在一個球面 上，且底面 abcd 是邊長為 1 的正方形， pa平面 abcd，pa2， 就該球的表面積為 a b2c 3d 4解析： 把四棱錐補(bǔ)成正四棱柱， 就四棱錐的外接球是正四棱柱的外接球正四棱柱的對角線長等于球的直徑， 2r1212（2） 2 2， r1，外接球的表面積s4 .答

19、案： d8 2021 ·山東卷 已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周的曲面所圍成的幾何體的體積為22a. 3b.423c 22d42解析： 繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周可得到2個以2為底面半徑，以2為高的圓錐， v 2122×2 42.×3× ×3答案： b9 2021 ·湖南卷 某工件的三視圖如下列圖，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，就原工件材料的利用率為材料利用率新工件的體積原工件的體積88a. 9b.2724（21）3

20、c.d.8（2 1） 3學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析： 由三視圖知該工件是底面半徑為1，高為 22的圓錐如下列圖，正方體底面落在圓上，設(shè)棱長為 a，就截面圓的半徑o1a2a，2又 po1 22a，且 po1a pob，2o1a12 a1221所以po 22，即22 a22，解得 a 3，a3所以原工件材料的利用率為1 8.應(yīng)選 a.9 × 223答案： a二、填空題10正四周體的四個頂點都在同一個球面上，且正四周體的高為4，就這個球的表面積是 3解析：我們不妨設(shè)該正四周體的棱長為a，其外接球的半徑是r， 內(nèi)切球的半徑是r ，就該正四周體的高h(yuǎn) r r ，如下列圖，就在rt oo1a 中， o

21、o1r ，oa r，o1a3a，r r63 a，66從而有r2 r 212，a3解得 r4 a， r 12a.學(xué)習(xí)必備歡迎下載依據(jù) r6a，h6a 4.r 3.s4 r236.43答案： 3611如圖，在多面體 abcdef 中，已知 abcd 是邊長為 1 的正方形，且 ade、 bcf 均為正三角形， ef ab， ef 2，就該多面 體 的 體 積 為 解析： 一個完整的三棱柱的圖象為：棱柱的高為2，底面三角形為等腰三角形，且其底為1，高為2，2其體積為：12×1×222 × 2 2 ，割去的四棱錐體積為：1× 1×3222 6 ，所以，

22、幾何體的體積為：22226 3 .答案：23122021 ·江蘇卷 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為 4 的圓錐和底面半徑為2、高為 8 的圓柱各一個如將它們重新制作成總體 積與高均保持不變， 但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，就新的底面半徑為 學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析： 設(shè)新的圓柱和圓錐底面半徑為r ，就總體積 v1r 2× 4 r2×83× 122 × ×5 3× 4 ×2×8，即28 21963 r 3，解得 r 7.答案：713三棱錐pabc中， abc 是底面， pa pb， papc， pb

23、 pc，且這四個頂點都在半徑為2 的球面上， pa 2pb，就這個三棱錐的三個側(cè)棱長的和的最大值為 解析： pa， pb，pc 兩兩垂直，又三棱錐 p abc 的四個頂點均在半徑為2 的球面上，以 pa， pb， pc 為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑 16 pa2 pb2 pc2，又 pa2pb， 5pb2 pc2 16，設(shè) pb4cos ， pc 4sin，5就這個三棱錐的三個側(cè)棱長的和pa pb pc3pb pc 12cos 4sin 5 470sin 45570.就這個三棱錐的三個側(cè)棱長的和的最大值為4570.學(xué)習(xí)必備歡迎下載答案： 4705三、解答題14如下列圖是一建筑物的三視圖， 現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，如每平方米用