方舟子數(shù)列開度

1、方舟子：植物的神秘?cái)?shù)字是上帝安排的和諧美？撲克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三葉草。在西方歷史上，三葉草是一種很有象征意義的植物，據(jù)說第一葉代表希望，第二葉代表信心，第三葉代表愛情，而如果你找到了四葉的三葉草，就會(huì)交上好運(yùn)，找到了幸福。在野外尋找四葉的三葉草，是西方兒童的一種游戲，不過很難找到，據(jù)估計(jì)，每一萬株三葉草，才會(huì)出現(xiàn)一株四葉的突變型。在中國，梅花有著類似的象征意義。民間傳說梅花五瓣代表著五福。民國把梅花定為國花，聲稱梅花五瓣象征五族共和，具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是梅花有五枚花瓣并非獨(dú)特，事實(shí)上，花最常見的花瓣數(shù)目就是五枚，例如與梅同屬薔薇科的其他物種，像桃、李、

2、櫻花、杏、蘋果、梨等等就都開五瓣花。常見的花瓣數(shù)還有：3枚，鳶尾花、百合花(看上去6枚，實(shí)際上是兩套3枚)；8枚，飛燕草；13枚，瓜葉菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雛菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他數(shù)目花瓣的花則很少。為什么花瓣數(shù)目不是隨機(jī)分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,.這些數(shù)目有什么特殊嗎？有的，它們是斐波納契數(shù)。斐波納契(1170-1240)是中世紀(jì) 窗體頂端窗體底端意大利數(shù)學(xué)家，他不是在數(shù)花瓣數(shù)目，而是在解一道關(guān)于兔子繁殖的問題時(shí)，得出了這個(gè)數(shù)列。假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們在長到一個(gè)月大小時(shí)開始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子

3、產(chǎn)下另一對兔子，過了一個(gè)月后它們也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下一對兔子，假定沒有兔子死亡，在一年后總共會(huì)有多少對兔子？在一月底，最初的一對兔子交配，但是還只有1對兔子；在二月底，雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有2對兔子；在三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對兔子，兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有5對兔子；如此這般計(jì)算下去，兔子對數(shù)分別是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, .看出規(guī)律了嗎？從第3個(gè)數(shù)目開始，每個(gè)數(shù)目都是前面兩個(gè)數(shù)目之和。植物似乎對斐波納契數(shù)著了迷。不僅花，還有葉、枝條

4、、果實(shí)、種子等等形態(tài)特征，都可發(fā)現(xiàn)斐波納契數(shù)。葉序是指葉子在莖上的排列方式，最常見的是互生葉序，即在每個(gè)節(jié)上只生1葉，交互而生。任意取一個(gè)葉子做為起點(diǎn)，向上用線連接各個(gè)葉子的著生點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這是一條螺旋線，盤旋而上，直到上方另一片葉子的著生點(diǎn)恰好與起點(diǎn)葉的著生點(diǎn)重合，做為終點(diǎn)。從起點(diǎn)葉到終點(diǎn)葉之間的螺旋線繞莖周數(shù)，稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同，之間的葉數(shù)也可能不同。例如榆，葉序周為1(即繞莖1周)，有2葉；桑，葉序周為1，有3葉；桃，葉序周為2，有5葉；梨，葉序周為3，有8葉；杏，葉序周為5，有13葉；松，葉序周為8，有21葉用公式表示(繞莖的周數(shù)為分子，葉數(shù)為分母)，分別為1/2,

5、 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 這些是最常見的葉序公式，據(jù)估計(jì)大約有90%植物屬于這類葉序，而它們?nèi)际怯伸巢{契數(shù)組成的。你如果觀察向日葵的花盤，會(huì)發(fā)現(xiàn)其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一是順時(shí)針方向，一組是逆時(shí)針方向。再數(shù)數(shù)這些螺旋線的數(shù)目，雖然不同品種的向日葵會(huì)有所不同，但是這兩組螺旋線的數(shù)目一般是34和55、55和89或89和144，其中前一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針線數(shù)，后一個(gè)數(shù)字是逆時(shí)針線數(shù)，而每組數(shù)字都是斐波納契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。再看看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那么復(fù)雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數(shù)目通常是8和13。有時(shí)候這種螺旋線不是那么明顯

6、，需要仔細(xì)觀察才會(huì)注意到，例如花菜。如果你拿一顆花菜認(rèn)真研究一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)花菜上的小花排列也形成了兩組螺旋線，再數(shù)數(shù)螺旋線的數(shù)目，是不是也是相鄰的兩個(gè)斐波納契數(shù)，例如順時(shí)針5條，逆時(shí)針8條？掰下一朵小花下來再仔細(xì)觀察，它實(shí)際上是由更小的小花組成的，而且也排列成了兩條螺旋線，其數(shù)目也是相鄰的兩個(gè)斐波納契數(shù)。為什么植物如此偏愛斐波納契數(shù)？這和另一個(gè)更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個(gè)“神秘”數(shù)字有關(guān)。假定有一個(gè)數(shù)，它有如下有趣的數(shù)學(xué)關(guān)系：2 - 1 -0 =0即：2 - -1 =0解這個(gè)方程，有兩個(gè)解：(1 + 5) / 2 = 1.6180339887.(1 - 5) / 2

7、= - 0.6180339887.注意這兩個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是完全相同的。正數(shù)解(1.6180339887.)被稱為黃金數(shù)或黃金比率，通常用表示。這是一個(gè)無理數(shù)(小數(shù)無限不循環(huán)，沒法用分?jǐn)?shù)來表示)，而且是最無理的無理數(shù)。同樣是無理數(shù)，圓周率用22/7，自然常數(shù)e用19/7,2用7/5就可以很精確地近似表示出來，而則不可能用分母為個(gè)位數(shù)的分?jǐn)?shù)做精確的有理近似。黃金數(shù)有一些奇妙的數(shù)學(xué)性質(zhì)。它的倒數(shù)恰好等于它的小數(shù)部分，也即1/ = -1，有時(shí)這個(gè)倒數(shù)也被稱為黃金數(shù)、黃金比率。如果把一條直線AB用C點(diǎn)分割，讓AB/AC= AC/CB，那么這個(gè)比等于黃金數(shù)，C點(diǎn)被稱為黃金分割點(diǎn)。如果一個(gè)等腰三角形的頂角是

8、36度，那么它的高與底線的比等于黃金數(shù)，這樣的三角形稱為黃金三角形。如果一個(gè)矩形的長寬比是黃金數(shù)，那么從這個(gè)矩形切割掉一個(gè)邊長為其寬的正方形，剩下的小矩形的長寬比還是黃金數(shù)。這樣的矩形稱為黃金矩形，它可以用上述的方法無限切割下去，得到一個(gè)個(gè)越來越小的黃金矩形，而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來，則形成了一個(gè)對數(shù)曲線。常見的報(bào)紙、雜志、書、紙張、身份證、 窗體頂端窗體底端信用卡用的形狀都接近于黃金矩形，據(jù)說這種形狀讓人看上去很舒服。的確，在我們的生活中，黃金數(shù)無處不在，建筑、藝術(shù)品、日常用品在設(shè)計(jì)上都喜歡用到它，因?yàn)樗屛覀兏械矫琅c和諧。那么黃金數(shù)究竟和斐波納契數(shù)有什么關(guān)系呢？根據(jù)上面的方

9、程：2 - -1 =0，可得： = 1 + 1/ = 1 + 1/ (1 + 1/) = . = 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +.) 根據(jù)上面的公式，你可以用計(jì)算器如此計(jì)算：輸入1，取倒數(shù)，加1，和取倒數(shù)，加1，和取倒數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)總和越來越接近。讓我們用分?jǐn)?shù)和小數(shù)來表示上面的逼近步驟： 1 1 + 1/1 = 2/1 = 2 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5 1 + 1/(1+1/(1+1) = 5/3 = 1.666667 1 + 1/(1+1/(1+(1+1) = 8/5 = 1.6 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1) = 13/8 =

10、1.625 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1) = 21/13 = 1.615385 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1) = 34/21 = 1.619048 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1) = 55/34 = 1.617647 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1) = 89/55 = 1.618182.發(fā)現(xiàn)了沒有？以上分?jǐn)?shù)的分子、分母都是相鄰的斐波納契數(shù)。原來相鄰兩個(gè)斐波納契數(shù)的比近似等于，數(shù)目越大，則越接近，當(dāng)無窮大時(shí)，其比就等于。斐波納契數(shù)與黃金數(shù)是密切聯(lián)系在一起的。植物喜愛斐波納契數(shù)，

11、實(shí)際上是喜愛黃金數(shù)。這是為什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想讓世界充滿了美與和諧？植物的枝條、葉子和花瓣有相同的起源，都是從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來的。新芽生長的方向與前面一個(gè)芽的方向不同，旋轉(zhuǎn)了一個(gè)固定的角度。如果要充分地利用生長空間，新芽的生長方向應(yīng)該與舊芽離得盡可能的遠(yuǎn)。那么這個(gè)最佳角度是多少呢？我們可以把這個(gè)角度寫成360°×n，其中0n 1，由于左右各有一個(gè)角度是一樣的(只是旋轉(zhuǎn)的方向不同)，例如n=0.4和n=0.6實(shí)際上結(jié)果相同，因此我們只需考慮 0.5n1的情況。如果新芽要與前一個(gè)舊芽離得盡量遠(yuǎn)，應(yīng)長到其對側(cè)，即n = 0.5 =1/2，但是這

12、樣的話第2個(gè)新芽與舊芽同方向，第3個(gè)新芽與第1個(gè)新芽同方向，也就是說，僅繞1周就出現(xiàn)了重疊，而且總共只有兩個(gè)生長方向，中間的空間都浪費(fèi)了。如果0.6 = 3/5 呢？繞3周就出現(xiàn)重疊，而且總共也只有5個(gè)方向。事實(shí)上，如果n是個(gè)真分?jǐn)?shù) p/q，則意味著繞p周就出現(xiàn)重疊，共有q個(gè)生長方向。顯然，如果n是沒法用分?jǐn)?shù)表示的無理數(shù)，就會(huì)“有理”得多。選什么樣的無理數(shù)呢？圓周率、自然常數(shù)e和2都不是很好的選擇，因?yàn)樗鼈兊男?shù)部分分別與1/7,5/7和2/5非常接近，也就是分別繞1, 5和2周就出現(xiàn)重疊，分別總共只有7, 7和5個(gè)方向。所以結(jié)論是，越是無理的無理數(shù)越好，越“有理”。我們在前面已經(jīng)提到，最無理的無理數(shù)，就是黃金數(shù)1.618。也就是說，n的最佳值0.618，即新芽的最佳旋轉(zhuǎn)角度大約是360°×0.618 222.5°或 137.5°。前面已提到，最常見的葉序?yàn)?/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相鄰兩葉所成的角度(稱為開度)，如果我們要把它們換算成n(表示每片葉子最多繞多少周)，只需用1減去開度，為1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。它們是相鄰兩個(gè)斐