復(fù)變函數(shù)第13講x

1、1本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算考察三種類型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.;)sin,(cos120的的積積分分、形形如如dr ;)(2的的積積分分、形形如如dxxr ).0()(3 adxexraix的的積積分分、形形如如2的的積積分分、形形如如dri)sin,(cos120 這類積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分這類積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分. .則則令令,iez .2 , 0cos,sin)cos,(sin上上連連續(xù)續(xù)在在的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且且為為這這里里r,izddedzi ,zidzd ieeii2sin,212ziz 2cosiiee,212z

2、z 的的有有理理函函數(shù)數(shù)，為為則則設(shè)設(shè)zzfzizzzizrzf)(,1)21,21()(22 1|.)(zdzzfi且且3在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬能代換求解在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題題. .解：解：).10(cos212cos202 pdppi計(jì)計(jì)算算例例1 1則則令令,iez . 0cos21, 102 ppp故故由于由于),1(2122cos2222zzeeii ),1(212coszzeeii 4dzzipzzpzziz 122221212112，單單極極點(diǎn)點(diǎn)級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有兩兩個(gè)個(gè)極極點(diǎn)點(diǎn)在在)(),2(

3、01|)(pzzzzf 1|124.)()(1(21zzdzzfdzpzpzziz于是于是,)1(21)()(lim),(re224ppipzfpzpzfspz 5,21)(1(21lim)(lim0),(re224020pippzpzizzfzzfszz 因此因此.1221)1(2122222224pppipppipii .?cos45cos0為為正正整整數(shù)數(shù)思思考考：mdxxxmi .23cos45cos2120midxxxmi ，提提示示：6的的積積分分、形形如如 dxxri)(2不失一般性，設(shè)不失一般性，設(shè).2)(次次至至少少比比分分子子的的次次數(shù)數(shù)高高次次數(shù)數(shù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且

4、且分分母母的的為為這這里里xxr.,)(現(xiàn)現(xiàn)在在來來說說明明其其求求法法積積分分是是存存在在的的在在實(shí)實(shí)軸軸上上沒沒有有奇奇點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)并并且且，當(dāng)當(dāng)zr. 2,)(1111 nmbzbzazazzrmmmnnn.011沒沒有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解分分子子、分分母母互互質(zhì)質(zhì)，且且 mmmbzbz7)1(. ),(re2)()( rrckkrzzrsidzzrdxxr根據(jù)留數(shù)定理，得到根據(jù)留數(shù)定理，得到xyo-rr.3z.2z1zrc.為為半半徑徑的的上上半半圓圓周周是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心，示示，其其中中我我們們?nèi)∪》e積分分路路徑徑如如圖圖所所rcr.)(在在該該半半圓圓內(nèi)內(nèi)都都包包含含的的所所有有極

5、極點(diǎn)點(diǎn)上上半半平平面面內(nèi)內(nèi)可可使使充充分分大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)kzzrr.的的增增大大而而改改變變的的半半徑徑這這個(gè)個(gè)等等式式不不因因rcr8 rcrdzzr.0)(lim所所以以,|1|1|1|)(|221111zmzbzbzazazzrznmmmnnnm 足足夠夠大大，則則，只只要要因因?yàn)闉?為為某某一一正正常常數(shù)數(shù)其其中中m為為充充分分大大的的圓圓周周上上，有有因因此此，在在半半徑徑 r rrccrmrrmdszrdzzr.|)(|)(2再由（再由（1 1），得），得. ),(re2)( kkzzrsidxxr9. ),(re)()(0 kkzzrsidxxrxr為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則如如果果

6、. 0, 0,)(2022222 babxaxdxxi其其中中計(jì)計(jì)算算例例解：解：因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),.21)(21122222ibxaxxi記記為為所所以以 )()(22222bzazzzr其位于上其位于上半平面半平面的奇點(diǎn)是的奇點(diǎn)是: :, biai（均為單極點(diǎn)）均為單極點(diǎn)）10.)(2211baii .),(re),(re21bizrsaizrsii 則則,)(2)()(lim),(re2222222baiabzazzaizaizrsaiz 而而,)(2),(re22abibbizrs 同同理理可可得得于是于是11.125)1614873(2 iiii,48733)

7、,(reiizrs 而而于是于是.91023242dxxxxxi 計(jì)計(jì)算算例例解：解：9102)(242 zzzzzr其位于上其位于上半平面半平面的奇點(diǎn)是的奇點(diǎn)是: :,3,ii（均為單極點(diǎn)）均為單極點(diǎn)）,161),(reiizrs 12 問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進(jìn)輔問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進(jìn)輔助半圓周，得到一個(gè)閉合路徑（半圓周加實(shí)軸）上的復(fù)助半圓周，得到一個(gè)閉合路徑（半圓周加實(shí)軸）上的復(fù)變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無窮），并且變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無窮），并且可證明：可證明：的的積積分分、形形如如 )0()(3adxexriiax.1)(

8、分分子子、分分母母互互質(zhì)質(zhì)次次至至少少比比分分子子的的次次數(shù)數(shù)高高次次數(shù)數(shù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)，且且分分母母的的為為這這里里xxr.,)(現(xiàn)現(xiàn)在在來來說說明明其其求求法法積積分分是是存存在在的的在在實(shí)實(shí)軸軸上上沒沒有有奇奇點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)并并且且，當(dāng)當(dāng)zr.0)(lim rcaxirdxexr13事實(shí)上事實(shí)上.2sin,20 有有時(shí)時(shí)注注意意到到：當(dāng)當(dāng),| )(|1zmzrznm 足足夠夠大大，則則只只要要，樣樣，因因?yàn)闉槿缛缤幪幚砝砩仙弦灰粋€(gè)個(gè)問問題題一一.為為某某一一正正常常數(shù)數(shù)其其中中m為為充充分分大大的的圓圓周周上上，有有因因此此，在在半半徑徑 r rrrccayiazciazdsermd

9、sezrdzezr|)(|)(.不不等等式式j(luò)ordan .220sin0sindemdemarar 14于是于是 rcrdzzr.0)(lim所所以以 20)/2().1(2)(ararciazearmdemdzezrr)2(. ,)(re2)( kkiaziaxzezrsidxexr故故.)(在在上上半半平平面面的的極極點(diǎn)點(diǎn)依依然然是是其其中中zrzk ,sin)(cos)()(axdxxriaxdxxrdxexriax .sin)(cos)(2的的方方法法和和）也也給給出出了了計(jì)計(jì)算算（axdxxraxdxxr15.)(recos)(;)(imsin)( dxexraxdxxrdxexr

10、axdxxriaxiax即：即：例計(jì)算例計(jì)算.0,cos22 bdxbxxi其其中中解：相當(dāng)于：解：相當(dāng)于：. 1,1)(22 abxxr點(diǎn)點(diǎn)，故故在在上上半半平平面面的的一一個(gè)個(gè)單單極極為為顯顯然然)(zrbi.,re22222bebibzesidxbxebizix 16.1recos2222bixebdxebxdxbxxi 思考：思考：.0?sin22 bdxbxxi其其中中例計(jì)算例計(jì)算.0,sin022 bdxbxxxi其其中中.,re22222bizixiebibzzesidxbxxe 提提示示：.21im2122bixedxbxxei 17例計(jì)算例計(jì)算.sin dxxxi解：先考察積

11、分解：先考察積分.0 dxxeiix在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理，得在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理，得xy-rrcr-hhch.0 dzzedzzedzzedzzerhizcizhrizcizhr（因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無奇點(diǎn)因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無奇點(diǎn)）18取極限，令：取極限，令：,0rh .dxxedzzedzzeixrhizhriz 則則.0 dzzerciz下面考察最后一項(xiàng)：下面考察最后一項(xiàng)：xy-rrcr-hhch.0 dzzedzzedzzedzzerhizcizhrizcizhr.的的情情況況 hcizdzze19dzizizzdzzehhcciz!)(2112展展開開hhccdzzgzdzziziiz)(!1321232記記為為由于由于.1idzzhc 再注意到再注意到g(z)在原點(diǎn)臨近有界，所以在原點(diǎn)臨近有界，所以.0)()( hmmdsdszgdzzghhhccc2